3.6 正多边形 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 九年级上册

浙教版数学九年级上册　第3章　圆的基本性质　课时作业 浙教版九年级上册　第3章　圆的基本性质 3.6　正多边形　课时作业 班级：__________　姓名：__________　学号：________　得分：________ 一、学习目标 1．理解正多边形的概念，了解正多边形与圆的关系． 2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，会进行正多边形的有关计算． 3．会用等分圆周的方法画正多边形，了解正多边形的对称性． 二、知识点梳理 知识点1　正多边形的概念 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形． 注意：“各边相等”和“各内角相等”两个条件缺一不可．如菱形各边相等但不一定是正多边形，矩形各角相等但不一定是正多边形． 知识点2　正多边形与圆 （1）把圆n（n≥3）等分，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的外接圆． （2）任何正多边形都有一个外接圆．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径． （3）正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的中心角为． （4）正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点3　正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： （1）中心角＝；每个内角＝；每个外角＝（中心角等于外角）． （2）R²＝r²＋；周长C＝na；面积S＝Cr＝nar． （3）常见结论：正三角形a＝R，r＝R；正方形a＝R，r＝R；正六边形a＝R，r＝R． 知识点4　正多边形的对称性 （1）正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心． （2）当n为偶数时，正n边形也是中心对称图形，对称中心就是它的中心． 三、典例精析 例1　如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4．求这个正六边形的边长、边心距、周长和面积． 例1图 解：连结OA，OB，作OM⊥AB于点M．中心角∠AOB＝＝60°，又OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，AB＝OA＝4． ∴AM＝2，边心距OM＝＝，周长为6×4＝24． 面积S＝6S△AOB＝6××4×＝． 例2　如图，正三角形ABC的边长为6，求它的半径R和边心距r． 例2图 解：设O为中心，连结OB，作OD⊥BC于点D，则BD＝3，∠OBD＝∠ABC＝30°． 设OD＝x，则OB＝2x．由OB²－OD²＝BD²得4x²－x²＝9，解得x＝． ∴边心距r＝，半径R＝． 例3　用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形． 例3图 作法：（1）在⊙O上任取一点A，以A为圆心、⊙O的半径为半径画弧，交⊙O于点B； （2）以B为圆心、同样长为半径画弧，交⊙O于点C；依次作出点D，E，F； （3）顺次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求． 依据：正六边形的边长等于它的半径． 易错警示 易错点1：误认为各边相等（或各角相等）的多边形就是正多边形． 易错点2：混淆正多边形的“半径”和“边心距”．半径是中心到顶点的距离，边心距是中心到边的距离． 易错点3：误认为所有正多边形都是中心对称图形．只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形． 四、基础巩固 （一）选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形 C．正多边形都是轴对称图形 D．正多边形都是中心对称图形 2．正六边形的中心角的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．若一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 4．⊙O的半径为2，则它的内接正方形的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 5．正三角形的半径与边心距之比为（　　） A．1∶2 B．2∶1 C．∶1 D．∶1 6．下列正多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 （二）填空题 7．正八边形的每个内角为________°，中心角为________°． 8．半径为6的圆的内接正六边形的边长为________，边心距为________． 9．边长为4的正方形的半径为________，边心距为________． 10．一个正多边形的每个外角都是40°，则它是正________边形，它的中心角为________°． 11．半径为2的圆的内接正三角形的边长为________． 12．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC＝________，AD＝________． （三）解答题 13．已知正六边形ABCDEF的半径为6，求这个正六边形的边长、周长、边心距和面积． 14．用直尺和圆规作⊙O的内接正方形（保留作图痕迹，写出作法）． 15．如图，五边形ABCDE是正五边形，连结AC，AD．求∠BAC和∠CAD的度数． 第15题图 16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在⌒AB上（不与A，B重合），求∠CPD的度数． 第16题图 五、能力提升 17．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，连结AC，CE，EA．（1）求△ACE的面积；（2）求△ACE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比． 第17题图 18．同一个圆的内接正三角形与内接正六边形的周长之比为________，边心距之比为________． 19．要从一张直径为20 cm的圆形纸片中剪出一个面积最大的正方形，这个正方形的边长和面积分别是多少？ 20．如图是一个正六边形螺帽的截面示意图，其边长为2 cm．要用扳手拧动它，扳手的开口宽度d（即正六边形两条平行对边之间的距离）至少为多少？ 第20题图 六、拓展探究 21．（1）探究：正n边形的中心角α与每个内角β之间有怎样的数量关系？请说明理由． （2）若一个正多边形的每个内角是中心角的3倍，求这个正多边形的边数． 22．用正多边形铺满地面（既无缝隙又不重叠），要求围绕一个顶点的几个内角之和恰好为360°．只用一种正多边形铺满地面时，可以使用哪几种正多边形？请说明理由． 23．已知正方形的边心距为3，求这个正方形的半径、边长和面积． 参考答案与解析 四、基础巩固 1．C　解析：正多边形必须同时满足各边相等、各角相等；正n边形有n条对称轴；只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形． 2．B　解析：＝60°． 3．C　解析：n＝＝10． 4．B　解析：内接正方形的对角线是直径4，边长为＝． 5．B　解析：正三角形的边心距所对的角为30°，边心距等于半径的一半，所以半径∶边心距＝2∶1． 6．C　解析：边数为偶数的正多边形才是中心对称图形． 7．135；45　解析：内角为＝135°，中心角为＝45°． 8．6；　解析：正六边形的边长等于半径；边心距为＝． 9．；2　解析：半径是对角线的一半，对角线为；边心距为边长的一半． 10．九；40　解析：n＝＝9，中心角等于外角． 11．　解析：边心距为1，边长的一半为＝，边长为． 12．；4　解析：AD是外接圆的直径，等于2×2＝4；∠ACD＝90°（直径所对的圆周角），AC＝＝． 13．解：正六边形的边长等于半径，为6；周长为6×6＝36； 边心距r＝＝；面积S＝×36×＝． 14．作法：（1）作⊙O的一条直径AC；（2）作直径BD⊥AC（作AC的垂直平分线）；（3）顺次连结AB，BC，CD，DA．四边形ABCD即为所求（如下图）． 第14题答图 15．解：正五边形的每个内角为＝108°．∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝＝36°． 同理∠EAD＝36°，∴∠CAD＝108°－36°－36°＝36°． 16．解：连结OC，OD．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COD＝＝90°． ∵∠CPD与∠COD都对着⌒CD，∴∠CPD＝∠COD＝45°． 五、能力提升 17．解：（1）由第12题知AC＝，同理CE＝EA＝，△ACE是等边三角形． 其边心距等于它的外接圆（半径为2）半径的一半，即1，∴高为2＋1＝3，面积为××3＝． （2）正六边形的边心距为＝，面积为×12×＝．∴面积之比为∶＝1∶2． 18．∶2；1∶　解析：设半径为R，正三角形边长为R，周长为R，正六边形周长为6R，比为∶2；正三角形边心距为R，正六边形边心距为R，比为1∶． 19．解：面积最大的正方形是圆的内接正方形，其对角线为直径20 cm． 设边长为a，则2a²＝20²，a＝（cm），面积为a²＝200（cm²）． 20．解：正六边形的半径等于边长，为2 cm，边心距为＝（cm）． 两条平行对边之间的距离等于边心距的2倍，∴d＝ cm．即扳手开口宽度至少为 cm． 六、拓展探究 21．解：（1）α＋β＝180°．理由：α＝，β＝＝180°－，∴α＋β＝180°． （2）由β＝3α得180°－＝3×，即＝180°，解得n＝8．这个正多边形是正八边形． 22．解：设用k个正n边形围绕一个顶点，则k·＝360°，即k＝＝2＋． k为正整数，所以n－2是4的约数，n－2＝1，2，4，即n＝3，4，6． ∴只用一种正多边形铺满地面时，只能用正三角形、正方形或正六边形． 23．解：正方形的边心距等于边长的一半，∴边长为2×3＝6，面积为6²＝36． 半径是对角线的一半，对角线为＝，∴半径为． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $