3.1 第2课时确定圆的条件及三角形的外接圆-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

4.如图，连结AC.在矩形ABCD中，AB=3cm,BC= AD=4cm,∠B=90°，所以AC=√AB2+BC= √32+4=5(cm).因为⊙A的半径为4cm,所以AB< 4cm,AC>4cm,AD=4cm.所以点B在⊙A内，点D在 ⊙A上，点C在⊙A外 (第4题) 5.B如图，用字母标注已知格点，连结AB,AC,AD, AE,AF,AG,AH,AL.由勾股定理，得AB=√32+3 3√2，AC=AE=AH=√32+4=5，AD=√22+2 2√2，AF=AI=√12+4=√17，AG=√22+5=√29， 因为√29>5>3√2>√/17>2√2，所以距点A最近的4个 点依次为D,F,I,B.易知除点A外恰好有3个点在圆内 时，一定是最近的3个点D,F,I在圆内，即r>√17.同时 点B在圆外或圆上，即r≤3√2.所以r的取值范围是 √17<r≤32. C (第5题) 6.B如图，设OP与⊙O交于点N,连结MN,OQ.因为 OP=4,ON=2,所以N是OP的中点.因为M为PQ的中 点，所以MN为△POQ的中位线.所以MN=2OQ= 号×2=1.所以点M在以点N为圆心，1为半径的圆上. 当点M在ON上时，OM最小，最小值为2-1=1，所以线 段OM长的最小值为1. (第6题) 7.=如图，连结OP,OQ.因为AB⊥CD,PE⊥CD, PF⊥AB,所以∠PEO=∠EOF=∠OFP=90°.所以四边 形OEPF是矩形.所以EF=OP.同理，可得MN=OQ.因 D 为OP=OQ,所以EF=MN 0 FN D (第7题) 8.5因为OA=OB,∠AOB=90°，所以∠OAB= ∠OBA=45°.又因为PC⊥OA,所以∠DCA=90° 所以∠CDA=45°.所以∠OAB=∠CDA.所以CA=CD= 1.连结OP,设扇形的半径为R,则OC=OA一AC=R一1. 因为PD=2,CD=1,所以PC=PD+CD=2+1=3.在 Rt△OCP中，由勾股定理，得OC2+PC2=OP,即(R一 1)2+32=R2,解得R=5.所以该扇形的半径为5. 9.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=3, ∠ADC=90°.所以在Rt△CDA中，AC=√AD+CD= VF+3=5.因为DELAC,所以Sax=号AC·DE- 2CD·AD.所以DE=CDAD_3X4= AC 5 5 .(2)由 Q)知，DE-号因为DE⊥AC,所以在R△AED中， AE=√AD-DE=√-（得）-3.2因为AD=4, AC=5,AB=3,所以AB<AE<AD<AC.因为以点A为 圆心作圆，B,C,D,E四点中至少有1个点在圆内，且至少 有1个点在圆外，所以点B在圆内，点C在圆外.所以⊙A 的半径r的取值范围是3<r<5. 10.(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M.因为班车行驶 了0.5h的时候接收的信号最强，即到达点M处，所以 AM=60×0.5=30(km).又因为AB=50km,所以由勾股 定理，得BM=√AB2-AM=√50-30=40(km).所 以此时班车到发射塔的距离是40km.(2)能.理由：如 图，连结BC.因为AC=60×2=120(km),AM=30km,所 以CM=AC一AM=120-30=90(km).所以由勾股定理， 得BC=√BM+CM=√402+902=10W97(km).因为 10√97<100，所以到C城后还能接收到信号 北 M (第10题) 第2课时确定圆的条件及三角形的外接圆 1.C由不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，经 A 过点A,B,D或点A,C,D或点B,C,D分别能画一个圆， 共能画3个圆 2.B因为点F不在⊙O上，所以⊙O不是△ACF的外接 圆.所以点O不是△ACF的外心. 3.(一2,1)如图，因为△ABC的外心即是三角形三边垂 直平分线的交点，所以EF与MN的交，点O'即为所求的 △ABC的外心.所以△ABC的外心坐标是（一2,1）. E、 (第3题) 4.(1)如图，⊙O即为所求作的花坛.(2)因为∠A 90°，AB=8m,AC=6m,所以BC=√JAB2+AC= √8+6=10(m).所以△ABC的外接圆半径为10÷2= 5(m).所以林林家圆形花坛的面积为π×52=25π(m). (第4题) 5.C分情况讨论如下：①如图①，当4点都在同一个圆 上时，n=1.②如图②，当其中3点在同一直线上时，分别 过点A,B,C或点A,C,D或点A,B,D作圆，共3个圆， 即n=3.③如图③，当A,B,C,D4点不共圆，且其中的任 何3点都不共线时，分别过点A,B,C或点B,C,D或点 C,D,A或点D,A,B作圆，共4个圆，即n=4.综上所述， n的值不可能是2. A B 0 ① ② 回 (第5题) 6.D因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线，所以BD= CD,AD⊥BC.所以AD垂直平分BC.因为EF垂直平分 AC,所以点O是△ABC外接圆的圆心.因为OA=3,所以 △ABC外接圆的面积为π×32=9元. 7.B 思路导引 旋转 Rt△ABC Rt△AB'C BC=1,∠BAC=∠BAC':外心O是AB的中点 旋转角30 求出AB,AC的长，A0号AB OC-AC-OA 因为将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到 Rt△AB'C',点B在直线AC上，所以∠C'AB'= ∠BAB=30°.因为BC=1,所以AB=AB′=2.所以 AC=√AB2-BC=√22-1P=√3.如图，设△AB'C'的 外心为点O.因为∠C'=90°，所以易知△AB'C的外心O 是斜边AB'的中点所以A0=2AB'=1.所以C= AC-AO=√3-1. C B (第7题) 8.(2,1一√5)连结OB交对称轴于点O.易得A(0,2). 因为抛物线的对称轴为直线x=一边=2点A,B关于 对称轴对称，所以点B的坐标为(4,2).因为△ABC的外 接圆经过原点O,所以易知外接圆的圆心是线段OB的中 点0.所以0'(2,1).因为OB=√22+4区=25，所以 O'C=5.所以点C的坐标为(2,1-√5). 9.(1)因为∠ABC=∠DBE,所以∠ABC+∠CBD= ∠DBE+∠CBD,即∠ABD=∠CBE.在△ABD和 (BA=BC, △CBE中，∠ABD=∠CBE,所以△ABD≌△CBE.所 BD=BE. 以∠BAD=∠BCE.(2)四边形BDCE是菱形. 因为∠ABC=∠DBE,所以∠ABC-∠DBC=∠DBE一 ∠DBC,即∠ABD=∠CBE.在△ABD和△CBE中， BA=BC, ∠ABD=∠CBE,所以△ABD≌△CBE.所以AD=CE. BD=BE, 因为点D是△ABC的外接圆圆心，所以DA=DB=DC. 又因为BD=BE,所以BD=BE=CE=CD.所以四边形 BDCE是菱形 10.如图，连结AG,作线段AG和线段HG的垂直平分线 交于点O,HG的垂直平分线交HG于点K,交EF于点 M,连结OG,则A,G,H三点刚好在以点O为圆心，OG为 半径的圆上.因为∠BCD=∠DEF=90°，四边形ABCJ, CDEI,EFGH均为正方形，AB=2dm,CD=3dm,EF 5dm,所以易得AC=2√2dm,EC=3√2dm,EG= 5√2dm.所以AG=10√2dm,AE=EG=52dm.所以E 为线段AG的中点.因为∠GEF=45°，OE⊥AG,所以 ∠OEF=45°.所以易得△OEM是等腰直角三角形.所以 M0=EM=2ER.因为1HG=EF=5dm,所以OK=5+ 号(dm,KG=号dm所以在R△0KG中，0G= 2 vKc+0派=√侵》+(-5dm.所以该 金属框的半径为5而 2 dm (第10题) 3.2圆心角 1.C因为AB=BC=CD,所以∠AOB=∠BOC= ∠DC=80°.所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC- ∠C0D=360°-80°-80°-80°=120°.所以AD的度数 为120°. 2.等边因为OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且OD= OE=OF,所以AB=BC=CA.所以△ABC是等边三角形. 3.20 思路导引 AB-BC 连结OA,OB OA-OB-OC ∠AOB=∠BOC ∠OBC=∠OCB,∠OAB=∠OBA ∠0BA=∠0BC=号∠ABC ∠0CB=2∠ABC 连结OA,OB,则OA=OB=OC,所以∠OBC=∠OCB, ∠OAB=∠OBA.因为AB=BC,所以∠AOB=∠BOC. 所以2180-∠A0B)=180°-∠B0C),即∠OBA= ∠OB.因为∠ABC=40°，所以∠OCB=∠OBC= 3∠AC=20 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CD.所以 AB=CD.因为M为AD的中点，所以AM=DM.所以 AB+AM=CD+DM,即BM=CM.所以BM=CM, 5.A如图，连结OA.因为AB=CD,所以∠AOB= ∠COD,即∠BOD+∠AOD=∠AOC+∠AOD.因为 ∠BOD=84°，所以∠AOC=∠BOD=84°.因为OA=OC,所 以∠A00=号(180-∠A0C)=号×180-8M)=48 (第5题) 6.B取AB的中点E,连结OE,AE,BE,则AE=EB.所 以AE=EB,∠AOE=∠BOE.因为∠AOB=2∠BOC= ∠AOE+∠BOE,所以∠AOE=∠BOE=∠BOC.所以 AE=BE=BC,AE=BE=BC.在△AEB中，因为AB< AE+BE,所以AB<2BC.故①错误.因为AB=AE+ BE,所以AB=2BC.故②正确.因为OA=OB=OC,所以 ∠OBA-2(180°-∠AOB)=90°-∠B0C,∠OCA= 名1s0-∠A0C)=90-号∠0C所以∠0BA≠ 3 ∠OCA.故③错误.综上所述，正确的个数是1. 易错警示 由圆心角、弧、弦之间的相等关系误得倍数关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条孤、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等.但应注意的是，同圆中或等圆中，当两个圆心角或 两条孤存在倍数(1倍除外)关系时，对应的两条弦不存 在相应的倍数关系 7.125如图，过点O作OM⊥DE于点M,OK⊥FG于点 K,OP⊥HI于点P.因为DE=FG=HI,所以OM= OK=OP.所以AO平分∠BAC,CO平分∠ACB.所以 ∠0AC-∠BMC,∠0CA=号∠BCA.因为∠B=70, 所以∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°.所以∠OAC+ ∠CA=号（∠nAC+∠BCA)-×10=55所以 26第3章圆的基本性质 第2课时 确定圆的条件及三角形的外接圆 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，点A,B,C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个 数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 D AB (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.如图，AC,BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F.下列三角形中，外心不是点O的为() A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE 3.教材变式题如图，在平面直角坐标系中，A(0,一3)，B(2,一1)，C(2,3),则△ABC的外心坐标为 4,情境生活实际如图，林林家的房前有一块矩形空地，空地上有A,B,C三棵树，林林想建一个 圆形花坛，且使三棵树都在花坛的边上： (1)请你帮林林把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）， (2)在△ABC中，∠A=90°，AB=8m,AC=6m,试求林林家圆形花坛的面积. (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.分类讨论思想平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆 n个，则n的值不可能为 () A.4 B.3 C.2 D.1 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AC,交AD于 点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 A.3π B.4π C.6π D.9π (第6题) 39 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 7.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转30得到Rt△AB'C, 点B'在直线AC上.若BC=1,则点C与△ABC的外心之间的距离是 () A.1 B.√3-1 C.2-√3 D.3 B (第7题) (第8题) 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2一4ax十2(a>0)交y轴于点A,B是点A关于对称 轴的对称点，C是抛物线的顶点.若△ABC的外接圆经过原点O,则点C的坐标为 9.如图①，D是四边形ABEC内的一点，AB=BC,∠ABC=∠DBE,BD=BE,连结AD,ED. (1)求证：∠BAD=∠BCE. (2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论 (第9题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图所示为一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD=∠DEF=90°，AB=2dm,CD=3dm, EF=5dm,将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A,G,H三点刚好在金属框上，求该金属框的 半径 (第10题) 40 >“答案与解析”见D24