2.3 用频率估计概率&2.4 概率的简单应用-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

拔尖特训· 数学（浙教版）九年级全一册 2.3 用频率估计概率 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列说法中，正确的是 () A.小明做了3次抛硬币（质地均匀）的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，但他还是认为 再抛一次，正面朝上的概率是2 B.某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C小明微了3次掷图钉的试验，其中有2次钉尖朝上，由此他认为尖朝上的概率是号 D某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中配故该运动员中靶的概率是号 2.某射击运动员在相同条件下射击160次，其成绩记录如下表（结果保留两位小数）： 射击次数 20 ⊙ 60 80 100 120 140 160 “射中9环以上”的次数 15 33 63 79 97 111 130 “射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.80 0.79 0.79 0.79 0.81 (1)根据上表中的信息将两个空格的数据补全 (2)根据频率的稳定性，估计该运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（结果精确到0.1）. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.数形结合思想在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试 验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述 过程，统计了“摸到白球”出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图. (1)当摸球次数很大时，摸到白球的频率会接近 (2)估计盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个. (8》在(2)的条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 0时缬 0.50 0.45 0.40------ 040 6080 100摸球次数 (第3题) 30 >“答案与解析”见D20 第2章随机事件的概率 2.4概率的简单应用 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每名同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生 23名，老师从中随机抽出1张.若抽到男生的概率为P1,抽到女生的概率为P2,则P1与P2的 大小关系为 () A.P>P2 B.P <P2 C.P=P2 D.P1≤P2 2.甲、乙、丙、丁四名同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完 后，球到手上概率最高的同学是 A.甲 B.乙 C.丙 D. 丁 3.眉境生活实际小张家购置了一辆新车，爸爸、妈妈商议确定车牌号.前 6 三位选定为8ZK后，对后两位数字的意见有分歧，最后决定由毫不知情的 小张从如图所示的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右 (第3题) 组成两位数，续在8ZK之后，则选定的车牌号为8ZK86的概率是 4.在“五一”期间，某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客，从一个装 有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸 到红球就可免费得到一个景点吉祥物挂件.据统计，参与这种游戏的游客共有60000人，景点一 共为参与该游戏的游客免费发放了15000个景点吉祥物挂件 (1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物挂件的概率. (2)请估计纸箱中白球的数量， 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.一个密码箱的密码由从0到9的自然数构成.若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小 十2则苦码至少有 A.三位 B.四位 C.五位 D.六位 6.情境生活实际某市民政部门在国庆期间举行“即开式福利彩票”的销售活动，发行彩票100万 张（每张彩票售价10元），在这些彩票中，设置了如下奖项： 奖金/元 10000 5000 1000 500 100 10 数量/个 10 40 150 400 1000 10000 如果花10元购买1张彩票，那么所得奖金不少于500元的概率是 31 拔尖特训：数学（浙教版）九年级全一册 7.某农业科研站为测试甲、乙两个品种小麦种子的发芽情况，进行了多次重复试验，每次试验随机 抽取一定数量的种子进行培育，统计发芽情况如下表： 每次抽取种子的总数量n/粒 100 200 500 1000 2000 甲品种发芽的数量m1/粒 92 185 460 913 1820 甲品种发芽的频率”！ n 乙品种发芽的数量m2/粒 90 178 445 891 1782 乙品种发芽的频率”： n (1)计算表中的各个频率（结果保留三位小数） (2)估计在该试验中，随机选取一粒甲品种小麦种子能发芽的概率（结果保留两位小数）， (3)若科研人员在一批小麦种子中随机抽取1000粒，其中甲品种500粒、乙品种500粒，统计发 现：带防伪标记的甲品种种子有20粒，带防伪标记的乙品种种子有18粒.已知这批小麦种子中 带防伪标记的甲品种共1000粒、带防伪标记的乙品种共900粒，请估计这批小麦种子中甲品 种、乙品种的总数量分别是多少 ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.舒情境生活实际某商场开展“真情回馈”的幸运抽奖活动，共设五个奖金等级，最高奖金每份1万 元，平均奖金为180元，下面是奖金的分配表： 奖金等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 奖金额/元 10000 5000 1000 50 10 中奖人数 P 89 300 600 名顾客抽到一张奖券，奖金额为0元，她调查了周围不少正在兑奖的其他顾客，很少有超过 50元的.她气愤地去找商场领导理论，领导解释说这不存在什么欺骗，平均奖金确实为180元. 你认为商场所说的平均奖金是否欺骗了顾客？此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额？ 用统计与概率的有关知识做简要分析说明.以后遇到类似抽奖活动的问题，应该更关心什么？ 32 >“答案与解析”见D20是红球的概率是 6_3 2010 第1球 第2球 红2 红3 红1 白1 白2 红1 红2≤ 红3 白1 白2 红1 红3 红2 白1 白2 红1 白1 红2 红3 白2 红1 白2∈ 红2 红3 白1 (第1题) 2.(1)列表如下： 第一次 第二次 0 1 -2 3 0 0 1 -2 3 1 -1 0 -3 2 -2 2 0 5 3 -3 -2 -5 0 由表可知，共有16种等可能的结果，其中第一次记录下 来的数减去第二次记录下来的数所得结果为非负数的 有10种结果，所以第一次记录下来的数减去第二次记 ,105 录下来的数所得结果为非负数的概率为68· (2)列表如下： 第一次 第二次 0 -2 3 0 1 -2 3 1 -1 -3 2 -2 2 3 5 3 -3 -2 -5 由表可知，共有12种等可能结果，其中第一次记录下来 的数减去第二次记录下来的数所得结果为非负数的有 6种结果，所以第一次记录下来的数减去第二次记录下 来的数所得洁果为非负点的餐率为合一 方法归纳 要注意区分“放回”与“不放回” 在求解概率时，要注意正确区分是“放回”，还是“不 放回” 1.放回：(1)特征：抽完一个放回去，再抽下一个，总数 不变，同一个个体可以被重复抽到，前后两次结果相互 独立，如本题第(1)问.(2)用列表法分析所有等可能的 结果时，表格中对角线有结果（自己和自己组合）：画树 状图分析时，每一层的分支数量相同】 2.不放回：(1)特征：抽完一个不放回，直接抽下一个， 总数越来越少，同一个个体不能重复出现，前后两次结 果不独立，如本题第(2)问.(2)用列表法分析所有等可 能的结果时，表格中对角线无结果（不能自己和自己组 合)：画树状图分析时，每一层的分支数量依次减少 2.3用频率估计概率 1A抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是？，选 项A正确，符合题意；某彩票的中奖概率是5%，那么买 100张彩票可能有5张中奖，但不是一定有5张中奖，选项 B错误，不符合题意；小明做的试验次数太少，估计的事件 概率不合理，选项C错误，不符合题意；某射击运动员射击 一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，但中靶与不中 靶不是等可能事件，该运动员中靶的概率不一定是)，选 项D错误，不符合题意. 2.(1)48;0.81.(2)从频率的波动情况可以发现，随着 射击次数的增加，“射中9环以上”的频率稳定在0,8附近， 所以估计该运动员射击一次时“射中9环以上”的概率 是0.8. 3.(1)0.50.根据折线统计图可以发现：当摸球次数很 大时，摸到白球的概率将会稳定在0.50附近 (2)20×0.5=10(个)，20-10=10（个），所以估计盒子里 白、黑两种颜色的球分别有10个、10个.(3)设需要往盒 于里再放人x个白球根据题意，得叶：子，解得 20+x 5.经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意.所以需要 往盒于里再放入5个白球 2.4概率的简单应用 1.A根据题意，得全班共有25+23=48（名）同学，所以 抽到男生的概率户一装拍到女生的概率P,一袭所以 P1>P2. D20 2.A画树状图如图所示.由图可知，共有9种等可能的结 果，其中第二次传完后，球到甲手上的结果有3种，球到乙 手上的结果有2种，球到丙手上的结果有2种，球到丁手上 的结果有2种，所以第二次传完后，球到甲手上的概率是 各-弓，球到乙手上的概率是号，球到丙手上的概率是 号，球到丁手上的概率是号因为了>号，所以第二次传 完后，球到手上概率最高的同学是甲 甲 乙 丙 甲丙丁甲乙丁甲乙丙 (第2题) 3.号从四个数字中随机划去两个，剩下的两个数宇从左 到右组成两位数共有6种等可能的结果：86,86,88,96,98， 98,其中是86的结果有2种，所以选定的车牌号为8K86 的概本是号-号 4.(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物挂件的概率为 60000一0.25.(2)设纸箱中有x个白球，则纸箱中共有 15000 (12+x)个球.由题意，得0.25×(12+x)=12,解得x= 36.所以估计纸箱中白球的数量为36个. 5.B若密码有一位，则一次就拨对密码的概率为0：若 密码有两位，则一次就拔对密码的概率为10：若密码有三 位，则一次就拔对密码的概率为10若密码有四位，则一 次就拨对密码的概率为10000因为10000<2026< 1 100所以密码至少有四位 3 6.5000由表格中的数据可知，奖金不少于500元的有 四种情况：奖金为500元、奖金为1000元、奖金为5000元 奖金为10000元，所以需要分类讨论：①奖金为500元的 400 概率是10000002500：②奖金为100元的概率是 150 ，3 1000000 20000:③奖金为5000元的概率是 1000000-25000:④奖金为10000元的概率是 40 10 1000000-10000:所以所得奖金不少于500元的概率是 1 3 1 1 3 250020000+250001000005000: D 7.(1)如下表所示： 每次抽取种子的 100 200 500 10002000 总数量n/粒 甲品种发芽的 92 185 460 913 1820 数量m1/粒 甲品种发芽的频率 0.9200.9250.9200.9130.910 乙品种发芽的 90 178 445 891 1782 数量m2/粒 乙品种发芽的频率 0.9000.8900.8900.8910.891 n (2)随着试验次数增加，甲品种发芽频率稳定在0.91左 右，因此估计随机选取一粒甲品种小麦种子能发芽的概率 为0.91.(3)设这批小麦种子中甲品种的总数量是 x粒、乙品种的总数量是y粒.由题意，随机抽取1000粒， 其中甲品种种子500粒，带防伪标记的甲品种种子有20粒. 在抽取的甲品种500粒种子的样本中，带有防伪标记的甲 品种种子所占的比例，应当和放人的带有标记的甲品种种 于在全体种于中所占的比例是相近的，所以器-1，解 500 得x=50m同温，品-兰解得y一50m所以估计 这批小麦种子中甲品种的总数量是25000粒，乙品种的总 数量是25000粒. 8.这次抽奖的平均奖金为(10000×3+5000×8+1000× 89+50×300+10×600)÷(3+8+89+300+600)= 180(元).所以商场所说的平均奖金没有欺骗顾客.因为 300+600 P(中奖金额不超过50元)=3+8十89+30+600-0.9， P(中奖金额超过50元)=1一0.9=0.1，中奖金额的众数 为10元，中位数为10元，所以此种说法不能够很好地反映 中奖的一般金额.答案不唯一，如以后遇到类似抽奖活动 的问题，应该更关心众数和中位数是多少. 综合与实践2规划共享自行车的投放方案 (020 估计率件A的概本是品品 (2)因为共有 5个区，计划一个区投放黄色共享自行车，所以3号区投放 黄色共享自行车的概率为.(3)估计5个共享自行车 停车区每天早高峰期间的共享自行车平均使用次数分别 是210×品-12.30×70=12.160×品=16,40× 60 90 18 120三60,200×0=20，所以每天早高峰期间的共享自行 车总使用次数估算为12+12+16+60+20=120.所以