2.3用频率估计概率 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础计算到综合应用，通过真实情境数据培养数据意识与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |一阶学习|频率计算、概率估计单一概念|以布丰投针试验为情境，强化频率稳定性理解| |二阶学习|多情境频率稳定、期望值简单应用|结合刮刮乐返奖率，渗透模型意识| |三阶学习|复杂数据、统计图表、概率综合计算|通过生日问题模拟试验，发展数据分析与推理能力|

2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：2.3用频率估计概率 【思维导图】 【知识梳理】 频率与概率 1. 频率：在重复试验中，频率 = 。频率是试验得到的数据，会随着试验变化而波动。 2. 概率：事件本身固有的理论数值，固定不变。 3. 大数规律：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近。试验次数越多，频率越接近概率。 易错：频率不等于概率，少量试验得到的频率不能当作概率。 常见易错点汇总 1. 判断事件类型，必须关注前提条件。 2. 可能性大小只代表机会，不能预测单次试验结果。 3. 古典概率公式只适用于等可能的试验。 4. 放回与不放回试验，总结果数不一样，计算概率时不要混淆。 一阶学习（基础训练） 1.1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（　　） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【分析】用频率估计概率的方法计算即可． 【解答】解：随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.314附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.314；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为8000时，则“针与直线相交”的频数可能最接近2500， 故选：B． 2.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 3.在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2， ∴， ∴． 故选：D． 4.在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：C． 二阶学习（提升训练） 1.一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在，则该球的颜色最可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：根据题意，该球的频率稳定在左右，所以抽到该球的概率为， 总球数为， ∵抽到白球的概率为：， 抽到黑球的概率为：， 抽到红球的概率为：， 抽到黄球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是黑色． 故选：C． 2.刮刮乐是中国福利彩票发行中心发行的网点即开型福利彩票，返奖率达．某彩票点12月份总计销售这种刮刮乐彩票2万元，该彩票店12月份刮刮乐开出奖金的期望值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了概率，根据返奖率的定义，奖金等于销售额乘以返奖率求解即可． 【详解】解：销售额为2万元，返奖率为， 则奖金为（万元）． 故答案为：． 3.某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 _____件是合格的． 【答案】1080 【解析】 【分析】根据频数=总数频率，即可得答案． 【详解】∵（件）， ∴1200件衬衣中有1080件是合格的． 故答案为：1080． 4.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，所以从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= . 5.“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 __人有此习惯． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，解题关键是掌握用样本估计总体的方法．根据总人数有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数． 【详解】解：根据题意知有此习惯的人数估计为（人， 故答案为：90． 6.在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，利用频率估算概率即可． 【详解】从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 三阶学习（培优训练） 1.某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ） A. 0.65 B. 0.60 C. 0.70 D. 0.75 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据频率的稳定性原理，当试验次数大量增加时，频率会逐渐稳定在概率附近．观察表中数据，“射中环”的频率在附近波动，且随着射击次数增加，频率趋于，因此概率估计为． 【详解】∵ 射击次数从增加到时， “射中环”的频率分别为、、、、、、， 整体围绕上下波动， 当射击次数最大（次）时，频率为， ∴ 根据频率的稳定性，可估计这名运动员射击一次时“射中环”的概率为． 故选：C． 2.某数学兴趣小组为了估计投一枚图钉“钉尖朝上”的概率，进行了多次投图钉的试验，试验次数结果整理如下（频率保留三位小数）： 投图钉次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “钉尖朝上”的次数 30 61 94 124 153 183 216 246 277 309 “钉尖朝上”的频率 0.600 0.610 0.627 0.620 0.612 0.610 0.617 0.615 0.616 0.618 请你估计“钉尖朝上”的概率为_____（保留两位小数） 【答案】0.62 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据大量试验中频率的稳定性，当试验次数较大时，频率逐渐接近概率，通过计算总频率并保留两位小数可得估计值． 【详解】解：由表格可知，当试验次数很大时，频率趋于稳定， 当试验次数为500时，“钉尖朝上”的频率为，保留两位小数约为0.62。 故答案为：0.62． 3.在一个不透明的箱子里装入红球和黄球共10个，这些球除颜色外其余都相同，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量重复的实验，统计了“摸出红球”的频率，绘制了如上的统计图，则摸一次摸出红球的概率为______． 【答案】0.6 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于0.6，即摸到红球的概率为0.6． 【详解】解：∵摸到红球的频率逐渐稳定于0.6， ∴摸到红球的概率为0.6， 故答案为：0.6． 4.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是______（精确到0.01）． 【答案】0.78． 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的频率都在0.78左右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率． 【详解】通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故答案为：0.78． 5.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【解析】 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.901左右．根据频率稳定性，当试验种子数较大时，发芽频率趋近于概率，取1000粒时的频率0.901作为概率估计值，再计算种子中能发芽的重量． 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901， 该值可作为发芽概率的估计值． 因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为． 故答案为∶． 6.某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． （1）求表中的值，的实际含义是什么？ （2）根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 【答案】（1），，的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为 （2）优秀学生总人数约为人 【解析】 【分析】（1）先计算总人数，再用总人数乘以即可求得，用除以总人数，即可求得，再说明的实际意义即可； （2）利用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：总人数为人， ， ， 的实际含义为在抽取的个学生中，跳绳次数在的频率为； 【小问2详解】 解：（人）， 答：优秀学生总人数约为人． 7.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做 摸球实验，将球揽匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复：下表是 活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到百分位) (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只? (3)请画树状图或列表计算：从中一次任意摸两只球，这两只球颜色不同的概率是多少? 【答案】(1) (2)2，3 (3) 【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数； （3）列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，即可根据概率公式求解． 【详解】（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）由（1）摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白球的个数（个），黑球（个）． 故答案为：2，3； （3）列表得出： 黑1 黑2 白1 白2 白3 黑1 (黑1，黑2) (黑1，白1) (黑1，白2) (黑1，白3) 黑2 (黑2，黑1) (黑2，白1) (黑2，白2) (黑2，白3) 白1 (白1，黑1) (白1，黑2) (白2，白2) (白1，白3) 白2 (白2，黑1) (白2，黑2) (白2，白1) (白2，白3) 白3 (白3，黑1) (白3，黑2) (白3，白1) (白3，白2) 从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的数量为：12种，总数为：20种， 故这两只球颜色不同的概率是：． 8.某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 （1）填空：__________，__________． （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） （3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】（1）0.705，0.701 （2）0.7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【小问1详解】 解：；； 故答案为：0.705，0.701； 【小问2详解】 解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； 【小问3详解】 解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：2.3用频率估计概率 【思维导图】 【知识梳理】 频率与概率 1. 频率：在重复试验中，频率 = 。频率是试验得到的数据，会随着试验变化而波动。 2. 概率：事件本身固有的理论数值，固定不变。 3. 大数规律：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近。试验次数越多，频率越接近概率。 易错：频率不等于概率，少量试验得到的频率不能当作概率。 常见易错点汇总 1. 判断事件类型，必须关注前提条件。 2. 可能性大小只代表机会，不能预测单次试验结果。 3. 古典概率公式只适用于等可能的试验。 4. 放回与不放回试验，总结果数不一样，计算概率时不要混淆。 一阶学习（基础训练） 1.1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（　　） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 2.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 3.在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 4.在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 二阶学习（提升训练） 1.一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在，则该球的颜色最可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 2.刮刮乐是中国福利彩票发行中心发行的网点即开型福利彩票，返奖率达．某彩票点12月份总计销售这种刮刮乐彩票2万元，该彩票店12月份刮刮乐开出奖金的期望值为__________． 3.某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 _____件是合格的． 4.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_______． 5.“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 __人有此习惯． 6.在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到0.01） 三阶学习（培优训练） 1.某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（ ） A. 0.65 B. 0.60 C. 0.70 D. 0.75 2.某数学兴趣小组为了估计投一枚图钉“钉尖朝上”的概率，进行了多次投图钉的试验，试验次数结果整理如下（频率保留三位小数）： 投图钉次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “钉尖朝上”的次数 30 61 94 124 153 183 216 246 277 309 “钉尖朝上”的频率 0.600 0.610 0.627 0.620 0.612 0.610 0.617 0.615 0.616 0.618 请你估计“钉尖朝上”的概率为_____（保留两位小数） 3.在一个不透明的箱子里装入红球和黄球共10个，这些球除颜色外其余都相同，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量重复的实验，统计了“摸出红球”的频率，绘制了如上的统计图，则摸一次摸出红球的概率为______． 4.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是______（精确到0.01）． 7.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 8.某校为调查九年级学生跳绳情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并绘制统计表如下： 分组 频数 2 5 8 20 5 频率 0.04 0.1 0.16 0.2 0.1 根据相关信息，回答下列问题． （1）求表中的值，的实际含义是什么？ （2）根据1分钟跳绳不低于180次为优秀，该校九年级共680人，请估算优秀学生总人数． 9.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做 摸球实验，将球揽匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复：下表是 活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到百分位) (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只? (3)请画树状图或列表计算：从中一次任意摸两只球，这两只球颜色不同的概率是多少? 1 学科网（北京）股份有限公司 $