1.4 二次函数与一元二次方程的关系-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 1.4二次函数与一元二次方程的关系 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.数形结合思想二次函数y=a.x2一2ax十c的图象及局部细节如图所示，则关于x的方程ax2 2ax十c=0的较大的根的取值范围是 () A.0.4<x<0.5 B.0.5<x<0.6 C.2.4<x<2.5 D.2.5<x<2.6 -0.5-0. 2.某炮弹从炮口射出后飞行的高度h(m)与飞行的时间t(s)之间的函数表 达式为h=cwt一51，其中，(m/s)是发射时的初速度.当w=300时。 (第1题) 炮弹飞行的最大高度为 m,该炮弹在空中飞行了 s后落到地面上 3.如图，抛物线y=ax2十bx+c经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D与点C关于抛物线的对 称轴对称，直线y=mx十n经过点B,D. (1)求该抛物线对应的函数表达式， (2)求出点D的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式ax2+bx+c> m,x十n的解集. (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.数形结合思想如图，抛物线y=x2十bx十c(a≠0)的对称轴为直线x=2.若x1,x2是一元二次方 程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个根，且x1<x2,一1<x1<0,则下列结论中，正确的是() A.x1十x2<0 B.4<x2<5 C.b2-4ac<0 D.ab>0 X1 x-2 -101 5 1012345x (第4题) (第6题) 5.关于x的二次函数y=mx2一(2m一1)x-一2(m≠0)，甲同学认为：若m<0,则当x≤1时，y随x 的增大而增大.乙同学认为：若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长为3，则m的值是1或 下列判断中，正确的是 () A.甲、乙都错误 B.甲、乙都正确 C.甲正确、乙错误D.甲错误、乙正确 6.数形结合思想如图所示为二次函数y=一x2十mx的图象，对称轴为直线x=2.若关于x的一元 二次方程-x2+mx一t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是 12 第1章二次函数 7.考向新定义题规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”.例 如：函数y=x十3与y=-x十3互为y函数”.者函数y冬2十(k-1Dx十k-3的图象与 x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交，点坐标为 8,如图，在平面直角坐标系中，直线y=x十4与y轴交于点A,与x轴交于点B,点C的坐标 为(-2,0. (1)求经过A,B,C三点的抛物线对应的函数表达式. (2)如果M为抛物线的顶点，连结AM,BM,求四边形AOBM的面积. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 9.某班数学兴趣小组对函数y=|x2一2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 P 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 求上表中m的值， (2)根据(1)中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画 出该函数图象的另一部分 (3)观察函数图象，写出该函数的一条性质. (4)通过进一步探究函数图象，解决下列问题： ①方程1x-2-号有 个实数根 ②在(2)的平面直角坐标系中画出直线y=一x十1，根据图象及(1)中的数据可知，方程|x2一2x|= 一x+1的一个正实数根约为 (结果精确到0.1). 4 -101234x (第9题) “答案与解析”见D8 13意.③当t>2时，M=t2-2t+2,N=1,因为M=5N,所 以t2一2t十2=5，解得t=3或t=一1（舍去）.综上所述，t 的值为3. 7.-1或-2因为y=x2十2ax=(x十a)2-a2,所以二 次函数图象的对称轴为直线x=一a,开口向上.①若 一a<0,即a>0,则当x=0时，m=0;当x=3时，M=9+ 6a.因为M-m=4,所以9+6a-0=4,解得a=-6(舍 去).②若0≤-a≤1.5，即-1.5≤a≤0，则当x=一a时， m=-a2;当x=3时，M=9+6a.因为M一m=4,所以 9+6a十a2=4,解得a=-1或a=-5(舍去).③若 1.5<一a3,即一3a<一1.5，则当x=一a时，m= -a2;当x=0时，M=0.因为M-m=4,所以0一 (一a2)=4,解得a=一2或a=2(舍去).④若一a>3,即 a<一3，则当x=3时，m=9十6a;当x=0时，M=0.因为 M-m=4,所以0一(0十a)=4,解得a=-吕（舍去.综 上所述，a的值是-1或-2. 8.因为y=x+2nx+4m2=(x十m)2+3m,所以二次 函数图象的对称轴是直线x=一，且开口向上.①当 2m>一m,即m>0时，因为2mx2m十3，y的最小值 为9，所以当x=2m时，y=9.所以4m2+4m2+4m2=9, 解得侧号或则-一号（合去，此时二次西数的求达式 为y=x2十3x十3.②当2m≤-m≤2m十3，即-1≤ m≤0时，因为2m≤x≤2m十3，y的最小值为9，所以当 x=一m时，y=9.所以m2-2m2+4m2=9,解得m= 士√3（都不符合题意，舍去）.③当2m十3<一m,即m< 一1时，因为2mx2m十3，y的最小值为9，所以当x= 2m+3时，y=9.所以(2m+3)2+2m(2m+3)+4m2=9, 解得m=0(舍去)或m=一1.5.此时二次函数的表达式为 y=x2-3十9.综上所述，二次函数的表达式为y=x2十 W3x+3或y=x2-3x十9. 1.4二次函数与一元二次方程的关系 1.C二次函数y=a.x2-2a.x十c图象的对称轴为直线 一24=1，因为二次函数的图象与x轴的一个交点的 x=-2a 横坐标在-0.5和一0.4之间，且2-(-0.5)=2.5,2一 (一0.4)=2.4，所以二次函数的图象与x轴的另一个交点 的横坐标在2.4和2.5之间.所以关于x的方程ax2一 2a.x十c=0的较大的根的取值范围是2.4<x<2.5. 2112530将w=30代入A=7wt-52,得力= 2×30r-502=-5+1501=-54-15)2+1125.因 为一5<0，所以当t=15,即当飞行15s时，炮弹飞行的最 0 大高度为1125m.令h=0,则-5t2+150t=0,解得t=0 (舍去)或t=30.所以该炮弹在空中飞行了30s后落到地 面上 3.(1)因为抛物线y=ax2十bx十c经过点A(一3,0)， B(1,0),所以不妨设抛物线对应的函数表达式为y= a(x十3)(x-1).因为抛物线经过点C(0,3),所以3= a(0+3)(0一1)，解得a=一1.所以抛物线对应的函数表达 式为y=-(x+3)(x-1),即y=-x2-2x十3.(2)因 为抛物线y=a.x2+bx十c与x轴交于点A(-3,0),B(1, 0,所以抛物线的对称轴为直线=一-1.国为点 D与，点C(0,3)关于抛物线的对称轴对称，所以点D的坐 标为(-2,3).由题图，得关于x的不等式ax2+bx十c> mx十n的解集为一2x<1. 4.B因为x1,x2是一元二次方程ax2十bx十c=0的两 个根，所以x1,x2是抛物线y=ax2十b十c与x轴交点的 横坐标.因为抛物线的对称轴为直线x=2,所以工十2？= 2 2,即x1十x2=4>0.故A错误.因为一1<x1<0,所以 一1<4一x2<0,解得4<x2<5.故B正确.因为抛物线与 x轴有两个交点，所以b2一4ac>0.故C错误.因为抛物线 开口向下，所以a<0.因为抛物线的对称轴为直线x=2, 所以-品=2.所以6=-4a>Q.所以ab<0故D错误 5.B二次函数y=mx2-(2m-1)x-2(m≠0)图象的对 称轴为直线上=-一2卫-1一当m<0时，图象 2m 开口向下，1一动>1，所以当≤1时，)魔x的增大国塔 大.故甲正确设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为 x1,x2,即关于x的方程mx2一(2m一1)x一2=0的两个 根为1所以，+-2，=-名由题音， 得|x1-x2|=3,所以(x1一x2)2=9,即(x1十x2)2一 4:=9所以()'+及=9.化简并整想，得5m- m 4m一1=0.解得m=1或m=一5，经检验，m=1或 n=一}均符合题意故乙正确， 6.一5<t≤4关于x的一元二次方程-x2十mx一t=0 的解就是抛物线y=一x2十mx与直线y=t的交点的横 17 坐标因为抛物线的对称轴为直线x=一2×《-一2，所 以m=4.所以y=-x2+4x.当x=1时，y=3;当x=2 时，y=4;当x=5时，y=一5.如图，若关于x的一元二次 方程一x2十mx-一t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有 解，则直线y=t在直线y=一5和直线y=4之间且包括 8 直线y=4,所以一5<t4. y -----y=4 --y3 -10 --1y=-5 (第6题) 7.(3,0)或(4,0)当k=0时，函数表达式为y=一x一3， 它的“Y函数”的表达式为y=x一3，它们的图象与x轴都 只有一个交点，所以它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标 为(3,0).当k≠0时，此函数为二次函数，因为二次函数 y=冬x2+一1Dx十k-3的图象与x轴只有-个交点， 所以二次函数图象的顶点在x轴上，即 4×年k-3)-(k-1 一=0，解得k=一1.所以二次函数 的表达式为y=-子2-2x-4=-子（十40.所以它 的Y函数”的表达式为y=-一4)只.令y=0,则 -红-4)=0，解得，=，=4所以二次函数的Y函 数”图象与x轴的交点坐标为(4,0).综上所述，它的“Y函 数”图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0). 8.(1)当x=0时，y=-2x+4=4,所以A(0,4).当y 0时，-号x十4=0，解得x=8,所以B(8,0.设抛物线对 应的函数表达式为y=a(x十2)(x一8).把A(0,4)代人， 得aX2X(一8》=4，解得a=一，所以抛物线对应的西 数表达式为y=一子(x十2)(-8》.即y=-子计 x+4,(2)因为y=-x2+x+4=-x 3 3)+5所以M(,)如图过点M作MDLx轴于点 D,则四边形AOBM的面积=S#蒂ADM十S△M=之 (4+2)×3+2×5x5-31 4 C/O B (第8题) 0 9.(1)把x=-0.5代入y=|x2-21,得y= 1(-0.5)2-2×(-0.5)1=1.25,即m=1.25.(2)如图 ①所示.(3)答案不唯一.如当x>2时，y随x的增大而 增大 (4)①4.如图②，函数y=|x2一2x|的图象与直线y= 号有4个交点，所以方程1r-2=号有4个实数根， ②如图①所示.0.4. 4 -2 -101234x 234x ① ② (第9题) 1.5二次函数的应用 第1课时几何最值问题 1.C因为饲养室的宽为xm,所以长为(60一4x)m.所以 y=(60-4)=-4r+60x=-4(x-9)°+25.因为 060一4x20,所以10x<15.当10x15时，y随x 的增大而减小，所以当x=10时，ymx=200,即三间饲养室 的总面积最大为200m. 方法归纳 利用二次函数求几何图形面积的最值的一般步骤 (1)引入自变量 (2)用含有自变量的代数式分别表示与几何图形相 关的量 (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并 且用函数表示这个面积， (4)根据函数表达式及自变量的取值范围求出其 最值」 2.0.625如图，由题意，以BC的中点为原点建立平面直 角坐标系，则抛物线的顶点为(0,0.5)，B(一1,0)，所以可 设抛物线对应的函数表达式为y=ax2十0.5.又因为抛物 线过点B(-1,0),所以0=a十0.5，解得a=-0.5.所以抛 物线对应的函数表达式为y=一0.5x2+0.5.根据抛物线 的对称性可知，左边的立柱与右边的立柱等长，中间的立柱 最短.延长左边第一根立柱MN交x轴于点E,则点E的横 坐标为-0.5.当x=-0.5时，y=-0.5×(-0.5)2+0.5= 9