第一章 二次函数 单元测试 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

嘉兴一实学校九年级第一章二次函数单元独立作业 姓名：__________ 班级：__________ 成绩：__________ 一、单项选择题（每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中，y是关于x的二次函数的为（ ） A. y=-2x B. y= C. y=2x² D. y=3x-9 2. 抛物线y=(x-2)²+1的顶点坐标是（ ） A. (-1,2) B. (2,1) C. (-2,1) D. (-2,-1) 3. 将抛物线y=3x²+1的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. y=3(x+2)²-4 B. y=3(x+2)²-3 C. y=3(x-2)²-4 D. y=3(x-2)²-3 4. 对于二次函数y=-x²+2x-4，下列说法正确的是（ ） A. 当x>0，y随x的增大而减小 B. 当x=1时，y有最大值-3 C. 图象的顶点坐标为(-1,-3) D. 图象与x轴有两个交点 5. 二次函数y=(x-3)(x+5)的图象的对称轴是（ ） A. 直线x=3 B. 直线x=-5 C. 直线x=1 D. 直线x=-1 6. 点P₁(-2,y₁)，P₂(2,y₂)，P₃(5,y₃)均在函数y=-2x²+1的图象上，则y₁,y₂,y₃的大小关系是（ ） A. y₃>y₂>y₁ B. y₃>y₁>y₂ C. y₃>y₁=y₂ D. y₁=y₂>y₃ 7. 对于二次函数y=x²+2mx+1，当x<4时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ） A. m<-4 B. m≤-4 C. m>-4 D. m≥-4 8. 已知二次函数y=(k-3)x²+2x+1的图象在x轴上方，则k的取值范围是（ ） A. k>4 B. k≥4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 9. 已知二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图所示（开口向下，对称轴为直线x=1，与x轴一个交点在(-2,0)与(-1,0)之间，与y轴交于正半轴），则（ ） A. abc>0 B. a-2b+4c<0 C. 3b<2c D. 2a-b=0 10. 二次函数y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： 且当x=-0.5时，其对应的函数值y>1。有下列结论： ①ac<0； ②b²-4ac>0； ③-2和4是关于x的方程ax²+bx+c=t的两个根； ④当0<x<1时，y<-2； ⑤m+n>2。 其中正确的结论的个数是（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题4分，满分24分） 11. 抛物线y=2x²-4与y轴的交点坐标是____________。 12. 已知抛物线y=2x²+bx-1的对称轴是直线x=1，那么b的值等于____________。 13. 已知二次函数y=-x²-4x+5。当y>0时，x的取值范围是____________；当-5<x<0时，y的取值范围是____________。 14. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图，它与x轴的一个交点坐标为(-3,0)，对称轴为x=-1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是____________。 15.设二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，部分对应值如下表： 当x=4时，y=____________。 16. 已知二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A(-3,0)，当-3≤x≤0时，y的最小值为-4，则m的值为____________。 三、解答题（共4小题，总分36分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 17.（8分）已知二次函数y=ax²+6x-5的图象经过点(3,4)。 (1) 求a的值； (2) 求二次函数图象与x轴的交点坐标。 18.（8分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h=20t-5t²，请根据要求解答下列问题： (1) 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (2) 在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 19.（10分）王叔叔在和兴路做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-2x+140(x>40)。 (1) 若设利润为w元，请求出w与x的函数关系式。 (2) 若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大 利润是多少？ 20.（10分）如图，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为(2,1)。 (1) 求抛物线的函数解析式； (2) D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，过点D作DE⊥x轴， 交AC于点E，设点D的横坐标为m，求用含m的代数式表示DE； (3) 连接AC，CD，AD，求△ACD的最大面积。 附加题 1. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(-1,0)和C(0,1)。若此抛物线的顶点在第一象限，设t=a+b+c，则t的取值范围是____________。 2. 如图，抛物线L：y=x²+bx-3（b为常数），当抛物线L经过点M(-4,m)，N(6,m)时。若0≤x≤n时，函数y=x²+bx-3的最大值与最小值的差总为，n的取值范围是____________。 参考答案及详细解析 一、单项选择题 1. C 【解析】二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。A选项是正比例函数（一次函数），B选项是反比例函数，D选项是一次函数，只有C选项y=2x²符合二次函数定义。 2. B 【解析】抛物线顶点式y=a(x-h)²+k的顶点坐标为(h,k)。本题中h=2，k=1，所以顶点坐标为(2,1)。 3. B 【解析】抛物线平移规律："左加右减，上加下减"。向左平移2个单位，即将x替换为x+2：y=3(x+2)²+1；再向下平移4个单位：y=3(x+2)²+1-4=3(x+2)²-3。 4. B 【解析】将函数配方：y=-x²+2x-4=-(x-1)²-3。开口向下，对称轴x=1，顶点(1,-3)。 A. 当x>1时，y随x增大而减小；当0<x<1时，y随x增大而增大。故A错误。 B. 开口向下，顶点处取得最大值，当x=1时，y最大值=-3。故B正确。 C. 顶点坐标应为，不是。故C错误。 D. 判别式Δ=2²-4×(-1)×(-4)=4-16=-12<0，图象与x轴无交点。故D错误。 5. D 【解析】方法一：展开得y=x²+2x-15，对称轴x=-b/(2a)=-2/2=-1。 方法二：交点式y=(x-3)(x+5)与x轴交于(3,0)和，对称轴为两交点中点：x=(3+(- 5))/2=-1。 6. D 【解析】y=-2x²+1，开口向下，对称轴为y轴（x=0）。 关于y轴对称的点函数值相等：x=-2和x=2关于y轴对称，所以y₁=y₂。 开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小。x=5离对称轴最远，所以y₃最小。因此y₁=y₂>y₃。 7. B 【解析】y=x²+2mx+1，开口向上，对称轴x=-b/(2a)=-2m/2=-m。 当x<4时y随x增大而减小，说明对称轴在x=4或x=4的右侧，即-m≥4，解得m≤-4。 8. A 【解析】二次函数图象在x轴上方，需满足两个条件： ① 开口向上：k-3>0，即k>3； ② 与x轴无交点：判别式Δ=2²-4(k-3)×1<0，即4-4k+12<0，解得k>4。 综合得k>4。 9. C 【解析】由图象可知：开口向下→a<0；对称轴x=-b/(2a)=1→b=-2a>0；与y轴交于正半轴→c>0。 A. abc<0（a负，b正，c正），故A错误。 D. 由对称轴x=1得-b/(2a)=1→b=-2a→2a+b=0，不是2a-b=0，故D错误。 B. x=-1/2时的函数值为y=a(-1/2)²+b(-1/2)+c=(a-2b+4c)/4。由图可知x=-1/2在x轴上方（在两交点之间），y>0，故a-2b+4c>0，B错误。 C. x=-1时，函数值在x轴上方（因为交点在-2和-1之间），即y=a-b+c>0。代入a=-b/2，得-b/2-b+c>0→c>3b/2→3b<2c。故C正确。 10. C 【解析】由x=0和x=1时y都=-2，得对称轴x=1/2，即-b/(2a)=1/2→b=-a。 又c=-2（x=0时y=-2）。 当x=-0.5时y>1，代入得0.25a-0.5b-2>1，将b=-a代入：0.25a+0.5a>3→0.75a>3→a>4>0，故b=-a<0，c=-2<0。 ①ac<0：a>0，c<0，正确。 ②b²-4ac>0：开口向上，最小值在x=1/2处，y=-0.25a-2<-3<0，故与x轴有两个交点，判别式>0，正确。 ③方程ax²+bx+c=t的两根：x=-2时y=t，由对称性，另一根与x=-2关于x=1/2对称，即x=2×(1/2)-(-2)=3，不是4，错误。 ④当0<x<1时：开口向上，对称轴x=1/2，最小值<-3<-2，端点x=0和x=1处y=-2，故区间内y<-2，正确。 ⑤m+n：x=-1和x=2关于x=1/2对称，故m=n。m=2a-2>2×4-2=6，故m+n=2m>12>2，正确。 综上，①②④⑤正确，共4个。 二、填空题 11. (0, -4) 【解析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入x=0得y=2×0-4=-4，故交点为(0, -4)。 12. -4 【解析】对称轴x=-b/(2a)=1，a=2，代入得-b/(2×2)=1→-b=4→b=-4。 13. -5<x<1；0<y≤9 【解析】先配方：y=-x²-4x+5=-(x+2)²+9，开口向下，顶点。 令y=0，解得x=-5或x=1。开口向下，y>0时x在两根之间：-5<x<1。 当-5<x<0时，最大值在顶点x=-2处，y=9；最小值趋近于x=-5处的y=0（不包含端点），故 0<y≤9。 14. (1, 0) 【解析】抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称。设另一交点为(x,0)，则(-3+x)/2=-1→x=1，故另一交点为(1,0)。 15. 5 【解析】由x=0和x=2时y都=-3，得对称轴x=1。x=-2和x=4关于x=1对称，故x=4时的函数值等于x=-2时的函数值，即y=5。 16. 2 【解析】将A代入得9-3m+n=0→n=3m-9。函数为y=x²+mx+3m-9，开口向上，对称轴x=-m/2。 ①若对称轴在区间左边（-m/2≤-3，即m≥6），最小值在x=-3处，y=0≠-4，舍去； ②若对称轴在区间内（-3<-m/2<0，即0<m<6），最小值在顶点处： ymin=-m²/4+3m-9=-4→m²-12m+20=0→m=2或m=10（舍去）； ③若对称轴在区间右边（-m/2≥0，即m≤0），最小值在x=0处： y=n=3m-9=-4→m=5/3>0，与m≤0矛盾，舍去。 综上，m=2。 三、解答题 17. 【解答】 (1) 将点(3,4)代入y=ax²+6x-5： 4 = a×3² + 6×3 - 5 = 9a + 13 解得：9a = -9 → a = -1。 (2) 由(1)知函数为y=-x²+6x-5。 令y=0，即-x²+6x-5=0 → x²-6x+5=0 → (x-1)(x-5)=0。 解得x₁=1，x₂=5。 所以抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)和(5,0)。 18. 【解答】 (1) 小球落地时高度h=0： 20t - 5t² = 0 → 5t(4-t) = 0 解得t=0（飞出时刻，舍去）或t=4。 所以小球从飞出到落地所用时间为4秒。 (2) 将h配方：h=-5t²+20t=-5(t-2)²+20。 开口向下，当t=2时，h取得最大值20。 所以飞行2秒时高度最大，最大高度为20米。 19. 【解答】 (1) 每件利润为(x-40)元，销售量为y件，故： w = (x-40)·y = (x-40)(-2x+140) = -2x² +140x+80x - 5600 = -2x² + 220x - 5600。 (2) 由题意，每天销售量不少于44件： -2x + 140 ≥ 44 → -2x ≥ -96 → x ≤ 48。 又x>40，所以40 < x ≤ 48。 将w配方：w=-2x²+220x-5600=-2(x-55)²+450。 开口向下，对称轴x=55。区间(40,48]在对称轴左侧，w随x增大而增大。 故当x=48时，w取得最大值： w_max = -2(48-55)² + 450 = -2×49 + 450 = 352（元）。 答：销售单价定为48元时利润最大，最大利润为352元。 20. 【解答】 (1) 已知抛物线顶点C(2,1)，设顶点式： y = a(x-2)² + 1。 抛物线过原点(0,0)，代入得： 0 = a(0-2)² + 1 = 4a + 1 → a = -。 所以抛物线解析式为： y = -(x-2)² + 1 = -x² + x。 (2) 求点A坐标：令y=0，即-x²+x=0→x(x-4)=0，得x=0或x=4，故A(4,0)。 求直线AC解析式：A(4,0)，C(2,1)，斜率k=(1-0)/(2-4)=-。 直线方程：y = -(x-4) = -x + 2。 点D横坐标为m，在抛物线上：D。 DE⊥x轴，交AC于E，故E点横坐标也为m，代入直线AC：E。 DE = yD - yE = - = -m² + m - 2。 (3) △ACD可拆分为△CDE和△ADE，它们共底DE，高分别为(m-2)和(4-m)： S△ACD = ·DE·(m-2) +·DE·(4-m)= ·DE·[(m-2)+(4-m)]= DE = -m² + m - 2。 这是开口向下的二次函数，对称轴m = -(3/2)/(2×(-1/4)) = 3。 当m=3时，面积最大： Smax = -×9 + ×3 - 2 = -9/4 + 9/2 - 2 =。 所以△ACD的最大面积为。 附加题答案 1. 0 < t < 2 【解析】代入C(0,1)得c=1；代入A得a-b+1=0→b=a+1。 顶点在第一象限： ① 横坐标 -b/(2a)>0 → -(a+1)/(2a)>0 → (a+1)/a<0 → -1<a<0。 ② 纵坐标 /(4a)>0，代入得 -(a-1)²/(4a)>0。分子恒负，故分母4a<0→a<0，与①一致。 t=a+b+c=a+(a+1)+1=2a+2。 因为-1<a<0，所以0<2a+2<2，即0<t<2。 2. 1 ≤ n ≤ 2 【解析】M和N(6,m)函数值相同，关于对称轴对称，故对称轴x=(-4+6)/2=1。 又对称轴x=-b/(2×)=-2b，所以-2b=1→b=-。 函数为y=x²-x-3，开口向上，对称轴x=1，顶点y=-=-3.25。 x=0时y=-3。 分情况讨论： ① 0<n≤1：区间在对称轴左侧，函数递减。最大值x=0处y=-3，最小值x=n处。差=n(2-n)，令其=，解得n=1（唯一解）。 ② 1<n≤2：区间包含对称轴。最小值在x=1处y=-3.25。最大值在端点x=0处（因为n≤2时，x=n离对称轴距离≤x=0离对称轴距离），y=-3。差=-3-=，恒成立。 ③ n>2：最大值在x=n处，差=(n-1)²>，不成立。 综上，n的取值范围是1≤n≤2。 学科网（北京）股份有限公司 $