专题复习一待定系数法求二次函数表达式同步训练2026-2027学年浙教版数学九年级上册

数学 · 九年级上册 专题复习一 待定系数法求二次函数表达式 【重点提示】二次函数表达式的三种形式：①一般式 ；②顶点式 ；③交点式(分解式)。求函数表达式时，要根据已知条件合理选择表达式形式。 ▍基础过关集训 1. 一抛物线和抛物线 的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是 ，则该抛物线的函数表达式为（　）。 A. B. C. D. 2. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点为 ，且过点 ，则 关于 的函数表达式为（　）。 A. B. C. D. 3. 已知抛物线 经过 和 两点，则 ＿＿＿＿。 4. 已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，则该二次函数的表达式为＿＿＿＿。 5. 如图所示，将 Rt 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 。若点 的坐标为 ，则过点 ，， 的抛物线的函数表达式为＿＿＿＿。 6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 ，。 (1) 求抛物线的函数表达式及对称轴。 (2) 设点 关于原点的对称点为 ， 是抛物线对称轴上一动点，且点 的纵坐标为 ，记抛物线在 ， 两点之间的部分为图象 (包含 ， 两点)。若直线 与图象 有公共点，结合函数图象，求点 纵坐标 的取值范围。 ▍进阶能力拓展 7. 若一次函数 与 的图象交于 轴上同一点，则 的值为（　）。 A. B. C. D. 8. 若所求的二次函数图象与抛物线 有相同的顶点，且在对称轴的左侧 随 的增大而增大，在对称轴的右侧 随 的增大而减小，则所求二次函数的表达式为（　）。 A. B. C. D. 9. 如图所示，已知二次函数 的图象经过点 ，，该图象与 轴的另一个交点为 ，则 的长为＿＿＿＿。 10. 已知二次函数的图象经过原点及点 ，且图象与 轴的另一个交点到原点的距离为 ，则该二次函数的表达式为＿＿＿＿。 11. 如图所示，Rt 的直角边 在 轴上，，，将 Rt 绕点 逆时针旋转 得到 Rt，抛物线 经过 ， 两点。 (1) 求二次函数的表达式。 (2) 连结 ，点 是抛物线上一点，直线 把 的周长分成相等的两部分，求点 的坐标。 ▍中考真题实训 12. 【长春】如图所示，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 。若抛物线 (， 为常数)与线段 交于 ， 两点，且 ，则 的值为＿＿＿＿。 13. 【玉林】如图所示，已知抛物线： 与 轴交于 ， 两点( 在 的左侧)，与 轴交于点 。 (1) 直接写出点 ，， 的坐标。 (2) 将抛物线 经过向右与向下平移后，使得到的抛物线 与 轴交于 ， 两点( 在 的右侧)，顶点 的对应点为 ，若 ，求点 的坐标及抛物线 的函数表达式。 (3) 在(2)的条件下，若点 在 轴上，则在抛物线 或 上是否存在点 ，使以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由。 ▍综合应用探究 14. 如图所示，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知二次函数的图象经过点 ， 和点 。 (1) 求 ， 两点的坐标。 (2) 求该二次函数的表达式。 (3) 若抛物线的对称轴与 轴的交点为点 ，则在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由。 (4) 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线，与抛物线相交于点 ，当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出四边形 的最大面积及此时点 的坐标。 参考答案 1. B 2. D 3. 4. 5. 6. (1) 把点 ， 代入抛物线 ，得 ，解得 。∴抛物线的函数表达式为 ，对称轴为直线 。 (2) 如图所示，作出抛物线在 ， 两点之间的图象 。由题意得 ，二次函数 的最小值为 ，由函数图象得出点 纵坐标的最小值为 。设直线 的表达式为 ，将点 ， 的坐标代入得 ，解得 ，∴直线 的表达式为 。当 时，，∴ 的取值范围是 。 7. D 8. D 9. 10. 或 11. (1) ∵将 Rt 绕点 逆时针旋转 得到 Rt，∴，。则点 ，，代入 ，得 ，解得 。∴二次函数的表达式为 。 (2) 如图所示，∵，，∴。∵直线 把 的周长分成相等的两部分，且 ，∴，即点 为 的中点，。∴点 坐标为 。设直线 的表达式为 ，将点 坐标代入，得 ，解得 。∴直线 的表达式为 。由 得 ，。∴点 的坐标为 或 。 12. 13. (1) 对于 ，令 ，得到 ，解得 或 ，∴，。令 ，得到 ，∴。 (2) 设平移后的抛物线的函数表达式为 。如图所示，过点 作 于点 ，连结 ，。∵ 是抛物线的顶点，∴，。∵，，∴。∴。∴。又∵ 经过 ，∴，解得 或 (不合题意，舍去)。∴。∴，。 (3) 当点 的纵坐标为 时，存在满足条件的平行四边形，此时 和 为平行四边形的两邻边。对于 ，令 ，，解得 或 ，可得 。对于 ，令 ，方程无解。当点 的纵坐标为 时，存在满足条件的平行四边形，此时 和 为平行四边形的两邻边。令 ，则 ，解得 ，可得 ，。令 ，则 ，解得 或 ，可得 ，。综上所述，点 的坐标为 或 或 或 或 。 14. (1) 令 ，可得 ；令 ，可得 ，∴， 两点的坐标分别为 ，。 (2) 设二次函数的表达式为 ，将点 ，， 的坐标代入函数表达式得 ，解得 。∴该二次函数的表达式为 。 (3) 存在。∵，∴抛物线的对称轴是直线 ，∴。∵，∴。在 Rt 中，由勾股定理得 。∵ 是以 为腰的等腰三角形，∴。如图 1 所示，作 对称轴直线 于点 ，∴，∴。∴，，。 (4) 如图 2 所示，过点 作 于点 ，设 ，，∴。∵四边形 的面积 ，∴当 时，四边形 的面积最大，最大为 ，此时点 坐标为 。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $