1.2 第2课时二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图象及其特征-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

坐标为a2,点B的纵坐标为.因为BEx轴，所以点F 的纵坐标为因为F是抛物线C:y=2(r≥0)上的 a?1 点，所以点F的横坐标为√=2a因为CDx轴，所 以点D的纵s标为a.因为D是抛物线C:y一千(u≥0) 上的点，所以点D的横坐标为√4a=2a.所以AD=2a一 a-u.BF-a-2a-Za.CE-a:_a- 1 1 3 -4=4a2,0E= 1 1 1 1a2厅以SB之BFOE22aX4 1 S△EAD AD CE 1 6 11.(1)因为P是抛物线y=x2上的动点，所以设点P的 坐标为(p,p2).因为F(O,),所以PF -0+(-)厂√(+)厂=+子.因为 PNL1,直线L:y=-4,所以PN=p2-(-)=p2+ 子所以PF=PN.(2)因为(-2：=4<6，所以点 E(一2,6)在抛物线y=x2的上方.由(1)知，PF=PN,所 以PE十PF=PE十PN.如图，当E,P,N三点共线时， PE+PF有最小值，即为EN的长.因为EN=6 (←)=空当x=-2时y=(-2=4所以PE+PF 的最小值为，此时点P的坐标为（一2，. N O (第11题)》 第2课时二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的 图象及其特征 1.C因为二次函数y=一a(x一h)2的图象开口向上，对 称轴在y轴右侧，所以一a>0,h>0.所以a<0,h>0. 2.C因为抛物线y=-2(x-1)2+3,且一2<0，所以抛 物线的开口向下，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x=1. 故AB错误，C正确.把x=3代人y=一2(x一1)2十3，得 y=一5<0.故D错误. 3.A因为抛物线y=ax2一1的顶，点坐标是(0，一1)，抛 物线y=a(x一1)2的顶点坐标是(1,0)，所以将抛物线 y=ax2一1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到 抛物线y=a(x一1)2.所以将点A(2,3)向右平移1个单 位，再向上平移1个单位得到点A'的坐标为(3,4) 4.三因为一次函数y=kx十b的图象不经过原点和第二象 限，所以k>0,b<0.所以一k<0.因为抛物线y=一2(x+ k)2+b的顶点是（一k,b),所以抛物线y=一2(x十k)2+b 的顶点在第三象限。 5.(1)因为把抛物线y=a(x一h)2十k先向左平移2个单 位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=号x十1D2-1, 所以可以看成是将抛物线y=立(：十1-1先向右子移 2个单位，再向下平移4个单位得到抛物线y=a(x一 h)P+k.因为将抛物线y=2(x十1)2-1先向右平移2个 单位，再向下平移4个单位得到地物线y=(红一1D2一 5所以a=h=1,6=-5.(2)范物线y=号 1)2一5的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为 (1,-5). 6.B对于A,一次函数y=cx十a的图象与y轴交于负 半轴，a<0,与二次函数y=a(x一2)2十c的图象开口向 上，即a>0相矛盾.故A错误.对于B,因为一次函数y= cx十a的图象过第一、二、四象限，所以a>0,c<0.又因为 二次函数y=a(x一2)2十c的图象开口向上，顶点(2，c)在 第四象限，所以a>0,c<0.故B正确.对于C,二次函数 y=a(x一2)+c图象的对称轴为直线x=2,在y轴右侧. 故C错误对于D,一次函数y=cx十a的图象过第一、二、 三象限，c>0,与二次函数y=a(x一2)2十c图象的顶点 (2,c)在第四象限，即c<0相矛盾.故D错误. 7.A因为抛物线y=一(x十6)2十5向上平移后，对称轴 不变，所以_4，即a十b=c十d①.如图，平移前抛 22 物线与x轴的两个交点之间的距离小于平移后抛物线与 x轴的两个交点之间的距离，即b一a<d一c②.由①②可 知，选项A正确！ (第7题) 3 方法归纳 抛物线上纵坐标相等的点与对称轴的关系 若，点(a,n)和，点(b,n)(a≠b)在抛物线y=a(x- m)2十k(a≠0)上，则抛物线的对称轴也可以表示为直线 x=9 2 已，根据这个关系，可得也 2 =m.特别地，当n 0时，这两个点为抛物线与x轴的交点 8.144根据题意，得把抛物线y=a(x一4)2向左平移 6个单位后得到抛物线y=a(x+2)2,a(x十2)2=一3(x h)2,则a=-3,h=-2,抛物线y=-3(x一4)2的顶点A 的坐标为(4,0).因为当x=0时，y=一3(x一4)2=一48， 即B(0,一48)，抛物线y=一3(x+2)2的顶点M的坐标 为(-2,0)，所以SAMs=2X(4什2)X48=144 9.8当点C的横坐标为一3时，抛物线的顶点为A(1, 4),对称轴为直线x=1,此时点D的横坐标为5，则CD 8.当抛物线的顶点为B(4,4)时，对称轴为直线x=4,且 CD=8,所以C(0,0),D(8,0).此时点D的横坐标最大，最 大值为8. 10.(1)如图，过点P作PM⊥x轴于点M.因为点A(1, 0),B(0,-2),所以OA=1,OB=2.由题意，得AB=AP, ∠BAP=90°.所以∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB= 90°.所以∠ABO=∠PAM.在△ABO和△PAM中， ∠AOB=∠PMA=90°， ∠ABO=∠PAM,所以△ABO≌△PAM.所以 AB=PA, AM=OB=2,PM=OA=1.所以OM=OA+AM=1+ 2=3.所以点P的坐标为(3，一1).因为点A(1,0),B(0, -2)在抛物线C:y=a(-)+h上，所以 0=a(1-)+, a= 解得 所以抛物线C,对 -2=a(0-8）+h, 9 h=81 应的函数达式为y=(-）°+ (2)将抛物 线C:y=-号（女-）+号先向左平移2个单位，再向 上平移1个单位得到抛物线C:y=一·（女-）广十 1 兴当x=3时y=号×(3-）+贤-1，所以点 0 P在抛物线C2上 0 B (第10题) 11.(1)一1.因为抛物线y=aa2+2是“美丽抛物线”， 所以顶点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(0,0).所以 AC=2.如图①，连结BD.因为四边形ABCD为正方形，所 以BD与AC互相垂直平分，且BD=AC=2.所以易得点 D的坐标为(1,1).因为点D在抛物线y=ax2+2上，所以 1=a×1+2,解得a=-1. (2)4.因为抛物线y=一 (x一1)P+k是“美丽抛物 1 线”，所以顶点A的坐标为(1，k),点C的坐标为(1,0).如 图②，连结BD.同(1)，可得点D的坐标为 (合+1，)因为点D在抛物线y=-号（红-10P+大 上，所以令=-（冬+1-1）°+6，解得，=0（舍去）. k2=4. (3)因为抛物线y=a(x一h)2十k是“美丽抛物线”，所以 顶点A的坐标为(h,k),点C的坐标为(h,0).同(1)，可得 点D的坐标为（兮k+h,),因为点D在抛物线y ax-)P+k上，所以受-a(修+h-h)'十6.因为> 0,所以ak=一2. ① ② (第11题) 第3课时 二次函数y=ar2+b.xr+c(a≠0)的 图象及其特征 1.D因为y=一x2十6x一7=一(x一3)2十2，所以该抛 物线开口向下，对称轴为直线x=3,与y轴的交点坐标为 (0,一7)，顶点坐标为(3,2).故ABC错误，D正确 2.C解法一：因为y=x2-2x一3=(x-1)2一4，所以将 其图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位后，所得图 象对应的函数表达式为y=(x一3)2一2.解法二：因为 4第1章二次函数 第2课时 二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的 图象及其特征 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.二次函数y=一α(x一h)2的图象如图所示，则下列结论中，正确的是 () (第1题) A.a>0,h>0 B.a>0,h<0 C.a<0,h>0 D.a<0,h<0 2.对于抛物线y=一2(x一1)2十3，下列判断中正确的是 ( A.抛物线的开口向上 B.抛物线的顶点坐标是（一1,3） C.对称轴为直线x=1 D.当x=3时，y>0 3.将抛物线y=ax2-1平移后与抛物线y=a(x-1)2重合，抛物线y=ax2-1上的点A(2,3)同 时平移到点A',则点A'的坐标为 () A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4) 4.已知一次函数y=kx+b的图象不经过原点和第二象限，则抛物线y=一2(x十k)2十b的顶点位 于第 象限 5.把抛物线y=a(r一)+6先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=号(+ 1)2-1. (1)试确定a,h,k的值， (2)指出抛物线y=a(x一h)十k的开口方向、对称轴和顶点坐标. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.数形结合思想二次函数y=a(x一2)2十c与一次函数y=cx十a在同一平面直角坐标系中的大致 图象是 () B D. 5 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 7.★在平面直角坐标系中，抛物线y=一(x十6)2+5与x轴相交于(a,0),(b,0)两点，其中a<b. 现在将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴相交于(c,0),(d,0)两点，其中c<d,则下列 叙述中，正确的是 () A.a+b=c+d,b-a<d-c B.a+b=c+d,b-a>d-c C.a+b<c+d;b-a<d-c D.a+b<c+d,b-a>d-c 8.若把抛物线y=a(x一4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=一3(x一h)2,且抛物线y=a(x一 4)2的顶点为A,与y轴交于点B,抛物线y=一3(x一h)2的顶点为M,则S△MaB= 9.如图，点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y=a(x一m)2十n的顶点 A,4 在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C,D两点（点C在点D的左侧），点C B(4,4) 的横坐标的最小值为一3，则点D的横坐标的最大值为 八 10,如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=a-》}°+h分别与x轴、y轴 (第9题) 交于点A(1,0),B(0,一2)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AP. (1)求点P的坐标及抛物线C1对应的函数表达式. (2)将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2,请你判断点P是 否在抛物线C2上. (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.舒新定义题如图，抛物线y=a(x一h)2十k(a<0,k>0)的顶点为A,对称轴与x轴交于 点C,当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B,D恰好在抛物线上时，我们把这样 的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形， (1)若抛物线y=ax2十2是“美丽抛物线”，则a= (2)若抛物线)=一（红-1）2+k是“关丽抛物线”，则及= (3)若抛物线y=a(x一h)2十k是“美丽抛物线”，求a,k之间的数量关系. (第11题) 6 >“答案与解析”见D3