1.5 第1课时几何最值问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

直线y=4,所以一5<t4. y -----y=4 --y3 -10 --1y=-5 (第6题) 7.(3,0)或(4,0)当k=0时，函数表达式为y=一x一3， 它的“Y函数”的表达式为y=x一3，它们的图象与x轴都 只有一个交点，所以它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标 为(3,0).当k≠0时，此函数为二次函数，因为二次函数 y=冬x2+一1Dx十k-3的图象与x轴只有-个交点， 所以二次函数图象的顶点在x轴上，即 4×年k-3)-(k-1 一=0，解得k=一1.所以二次函数 的表达式为y=-子2-2x-4=-子（十40.所以它 的Y函数”的表达式为y=-一4)只.令y=0,则 -红-4)=0，解得，=，=4所以二次函数的Y函 数”图象与x轴的交点坐标为(4,0).综上所述，它的“Y函 数”图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0). 8.(1)当x=0时，y=-2x+4=4,所以A(0,4).当y 0时，-号x十4=0，解得x=8,所以B(8,0.设抛物线对 应的函数表达式为y=a(x十2)(x一8).把A(0,4)代人， 得aX2X(一8》=4，解得a=一，所以抛物线对应的西 数表达式为y=一子(x十2)(-8》.即y=-子计 x+4,(2)因为y=-x2+x+4=-x 3 3)+5所以M(,)如图过点M作MDLx轴于点 D,则四边形AOBM的面积=S#蒂ADM十S△M=之 (4+2)×3+2×5x5-31 4 C/O B (第8题) 0 9.(1)把x=-0.5代入y=|x2-21,得y= 1(-0.5)2-2×(-0.5)1=1.25,即m=1.25.(2)如图 ①所示.(3)答案不唯一.如当x>2时，y随x的增大而 增大 (4)①4.如图②，函数y=|x2一2x|的图象与直线y= 号有4个交点，所以方程1r-2=号有4个实数根， ②如图①所示.0.4. 4 -2 -101234x 234x ① ② (第9题) 1.5二次函数的应用 第1课时几何最值问题 1.C因为饲养室的宽为xm,所以长为(60一4x)m.所以 y=(60-4)=-4r+60x=-4(x-9)°+25.因为 060一4x20,所以10x<15.当10x15时，y随x 的增大而减小，所以当x=10时，ymx=200,即三间饲养室 的总面积最大为200m. 方法归纳 利用二次函数求几何图形面积的最值的一般步骤 (1)引入自变量 (2)用含有自变量的代数式分别表示与几何图形相 关的量 (3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并 且用函数表示这个面积， (4)根据函数表达式及自变量的取值范围求出其 最值」 2.0.625如图，由题意，以BC的中点为原点建立平面直 角坐标系，则抛物线的顶点为(0,0.5)，B(一1,0)，所以可 设抛物线对应的函数表达式为y=ax2十0.5.又因为抛物 线过点B(-1,0),所以0=a十0.5，解得a=-0.5.所以抛 物线对应的函数表达式为y=一0.5x2+0.5.根据抛物线 的对称性可知，左边的立柱与右边的立柱等长，中间的立柱 最短.延长左边第一根立柱MN交x轴于点E,则点E的横 坐标为-0.5.当x=-0.5时，y=-0.5×(-0.5)2+0.5= 9 0.375,所以MN=1-0.375=0.625(m).所以最长的不锈 钢管立柱的长度为0.625m. y/m个 2m D A 0.5m B E 0 C x/m (第2题) 1 3.由题意，得y=2 ×(8-x)(6-x)X2=x2-14x+ 48=(x一7)2一1，所以二次函数图象的对称轴为直线x= 7.所以当0.5x1时，y随x的增大而减小.所以当x= 0.5时，ymx=(0.5一7)2一1=41.25.所以改造后剩余油菜 花地所占的最大面积为41.25m. 4.D当AB的长是10m时，BC的长是18m,所以劳动 基地ABCD的面积是10×18=180(m).故①正确.设 AB=xm,则BC=(28一x)m.根据题意，得x(28一x)= 192,整理，得x2-28x+192=0,解得x=12或x=16,所 以AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积 为192m.故②正确.设矩形ABCD的面积为Sm,AB= xm,则C=(28-x)m根据题意，得8， 。解得 28-x≥12 8x≤16，S=x(28x)=一x2+28x=一(x一14)2十 196.因为一1<0,8x16,所以当x=14时，S取得最大 值，最大值为196：当x=8时，S取得最小值，最小值为 160.故③正确.综上所述，正确的结论有3个. 5.(1)根据题意，得y=20×10-4×20,2×10-2 2 200-(20-x)(10-x)=200-200+30x-x2=-x2+ 30x,所以y关于x的函数表达式为y=一x2+30x(4≤ x≤8).(2)由(1)知，y=-x2+30x=-(x-15)2+ 225.因为一1<0，所以当x<15时，y随x的增大而增大. 又因为4x8,所以当x=8时，y有最大值，最大值为 176.所以当x=8时，活动区面积最大，最大面积是176m. (3)设布置场地所用费用为元，则0=10（一x2十 30x)+8[200-(-x2+30x)]=-10z2+300x+1600+ 8x2一240x=一2x2+60x+1600.令=1850，则-2x2十 60x十1600=1850，解得x=25或x=5.因为4x8, ≤1850，所以4≤x≤5.因为活动区域面积为y=一x2十 30x,一1<0，对称轴为直线x=15,所以当x=5时，活动 区面积最大，此时的布置成本为1850元. 6.(1)①若所截矩形材料的一条边是BC,如图①，过点C 作CF⊥AE于点F,则S=AB·BC=6×5=30.②若所 截矩形材料的一条边是AE,如图②，过点E作EF∥AB, 交CD于点F,过点F作FG⊥AB于点G,过点C作 CH⊥FG于点H,则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG 为矩形，所以AE=FG=6,HG=BC=5,∠BCH=90°.因 为∠BCD=135°，所以∠FCH=135°-90°=45°.所以 △CHF为等腰直角三角形.所以BG=CH=FH=FG HG=6-5=1.所以AG=AB-BG=6-1=5.所以S= AE·AG=6×5=30.(2)能.如图③，在CD上取点 F,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AE于点N,过点C 作CG⊥FM于点G,则四边形ANFM为矩形，四边形 BCGM为矩形.所以MG=BC=5,BM=CG.因为 ∠BCD=135°，所以∠FCG=135°-90°=45.所以△CGF 为等腰直角三角形，FG=CG.设AM=x,则BM=6一x, 所以FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x.所 以S=AM·FM=x(11-x)=-x2+11x=-(x- 5.5)2+30.25.所以当x=5.5时，S取得最大值，最大值为 30.25.所以能截取矩形材料面积的最大值为30.25. D 0 D E------- C B-------- B B ① ② ③ (第6题) 第2课时距离问题、利润问题和抛物线形问题 1.C当t=2时，s=60×2-1.5×22=114,即当滑行的 时间为2s时，滑行的距离是114m.故①正确.因为s= 6-1.57=-多4-20y产+60，-号<0，所以二次丽数 的图象开口向下，当t=20时，s有最大值，为600.所以飞 机从着陆到停下来共需20s,滑行距离为600m.故②正确. 因为飞机前10s滑行的距离为60×10一1.5×102=450(m), 所以飞机停下前最后10s滑行的距离为600一450= 150(m).故③错误.综上所述，正确的结论是①②，共2个. 2.0.522设甲、乙两人均出发了t(0≤t≤1)h,甲、乙 两人之间的距离为ykm,则此时甲到A地的距离是(4一 4t)km,乙到A地的距离是4tkm.由勾股定理，得y= 0-4)+40-√32(-)+8.易知当1=号 时，y取得最小值22.所以当甲、乙两人出发05h时， 甲、乙两人之间的距离最近，最近距离是2√2km. 3.(1)设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的 成本为y元根据题意，得2x+3y=155 5·解得=25所 4x+y=135 y=35. 10拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 1.5二次函数的应用 第1课时几何最值问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.*如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20），中间用两道 墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m,设饲养室的宽为xm,占地总面积为 ym,则三间饲养室的总面积 () A.最小为200m2 B.最小为225m C.最大为200m D.最大为225m 2m D 入 m 0.5 B (第1题) (第2题) 2.学校体育器材室有一扇长2m、宽1m的矩形窗户，现需设计一个不锈钢的护栏.数学兴趣小组 的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到底部的距离为0.5， 为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱.根据兴趣小组同学的设计可知，最 长的不锈钢管立柱的长度为 m. 3.如图，景区内有一块矩形油菜花地，要在其中修建一条观花道（阴影部分），供游人赏花.设改造后 剩余油菜花地所占的面积为ym.若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占的最大面积. -8m x m 6m xm (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.境生活实际如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地G B ABCD,墙角两边DC和DA足够长，用总长为28的篱笆围成另外两边AB b。 和BC.有下列结论：①当AB的长是10m时，劳动基地ABCD的面积是 180m;②AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积为192m; (第4题) ③点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12m,到墙DA的距离是8m,如 果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是196，最小值是 160m.其中，正确结论的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 14 第1章二次函数 5.舒境生活实际在校园嘉年华活动中，九年级同学将对一块长20m、宽10m的场地进行布置， 设计方案如图所示.涂色区域为绿化区（四个全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度 相同，其宽度不小于4m,不大于8m.设出口长均为xm,活动区面积为ym. (1)求y关于x的函数表达式. (2)当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ (3)若活动区的布置成本为每平方米10元，绿化区的布置成本为每平方米8元，布置场地的预算 不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本 ←-xm→ 出口 10m 出口 -20m (第5题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 6.如图，有一块五边形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E> 90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积S尽可 能大 (1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积. (2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出能截取矩形材料面积的最大值；如果 不能，请说明理由 (第6题) “答案与解析”见D9 15