1.2 第1课时二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

第1章二次函数 1.2二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列关于二次函数y=2x2的说法，正确的是 () A.它的图象经过点（一1，一2） B.它的图象的对称轴是直线x=2 C.当x<0时，它的图象从左到右呈下降趋势 D.横坐标为0的点是它的图象的最高点 2.一题多解若二次函数y=x2的图象经过，点P(2,4),则该函数的图象必经过点 () A.(-2,-4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(4,-2) 3.一题多解如图所示的四个二次函数图象分别对应①y=ax2,②y=bx2,③y ① cx2,④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系为 (用“>”连接). 4.已知一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（一3,9）. (1)求这个二次函数的表达式 ③ (2)点(1.1,1.21)是否在这个函数的图象上？ (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.*当ab>0时，函数y=ax2与y=ax十b的图象大致是 () A. B. C D 6.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3,3)，(1,3).若抛物线y= ax2与该正方形有公共点，则实数a的取值范围是 A合a3 g≤a≤1 013 c号a<3 D.3≤a≤1 (第6题) 7.已知点M(m,2026)在二次函数y=x2的图象上，且452=2025，则下列结论正确的是（) A.m>45 B.m<45 C.m>45 D.|m<45 3 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 8.转化与化归思想如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐 标系，作出函数y子与y=一了2的图象.则涂色部分的面积是 9.如图，直线l经过点A(4,0)和B(0,4),它与抛物线y=ax2在第一象限内交于 点P.若△4OP的面积为号求a的值。 (第8题) A (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10如垂直Tx轴的直线AD分别与抛物线C:y=xx≥0和地物线C:y-子女0)交丁 A,B两点，过点A作CD∥x轴，分别与y轴和抛物线C2交于点C,D,过点B作EF∥x轴，分 5v猫和敬物线C交于点E.F:连结OP,OB.AE.D.S的为 B (第10题) 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x,直线1：y=一子，点下0，》，P是该抛物线上 的动点，连结PF,过点P作PN⊥L于点N. (1)求证：PF=PN (2)设点E(一2,6)，求PE+PF的最小值及此时点P的坐标. (第11题) 4 “答案与解析”见D2等时，n(n+1)=(n+5n+6)一n(n+1).整理，得n2一 3潮-6=0，解得M-3计图m,-3二因.因为1 2 2 的值不是正整数，所以不存在灰色瓷砖与白色瓷砖块数相 等的情形 11.(1)因为∠BAC=90°，AB=AC=6,D为BC的中点， 所以∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°.所以AD= BD=CD.又因为AE=CF,所以△AED≌△CFD. (2)因为△AED≌△CFD,所以S△Am=S△cm.所以 S四边无ABDF=S△ABm十S△ADr=S△CPD十S△ADr=S△AC= 2Sam=子AB·AC-子×6×6=9.(3)根据题意， 得CF=AE=z,所以AF=6-.所以Sm=AP· 1 1 AE=2(6-x)·x=-22+3z.所以y=SAmr= 5aas-5aw=9-(-2x2+3）-合r2-3x+9 1 (0≤x≤6).(4)根据题意，得AF=BE=x一6，AD= BD,∠DAC=∠ABD=45°，所以∠DAF=∠DBE= 135°.所以△ADF≌△BDE.所以S△ADr=S△BE.所以 S四边无ADFr一S△ADF=Sm边无ADr一S△DE,即S△Dm= Sa+5:因为Sawm=25c=子AB·AC=9, 1 1 所以y=S△ner=S△EAP+S△ADs=2(x一6)·x+9= x2-3x+9(x>6). 1 1.2二次函数的图象 第1课时二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 1.C对于二次函数y=2x2,当x=-1时，y=2×(一1)2= 2,所以它的图象经过点（一1,2），不经过点（一1，一2）.故A 错误.它的图象是抛物线，其对称轴是y轴，即直线x=0. 故B错误.因为a=2>0,所以它的图象开口向上，在对称 轴左侧，即当x<0时，它的图象从左到右呈下降趋势.故C 正确.它的图象的顶点为坐标原点(0,0)，为最低点.故D 错误 2.B解法一：因为二次函数y=ax2的图象经过点P(2, 4),所以4=4a,解得a=1.所以y=x2.当x=-2时，y= 4,所以该函数的图象必经过点（一2,4）.解法二：因为二 次函数y=Q.x2的图象关于y轴对称且经过点P(2,4),所 以该函数的图象必经过点（一2,4）. 3.a>b>d>c解法一：由题图，得a,b均为正数，c,d 均为负数.因为二次项系数的绝对值越大，图象的开口越 小，所以a>b>d>c.解法二：因为直线x=1与四个二 次函数图象的交点从上到下依次为(1，a),(1,b),(1,d), (1,c),所以a>b>d>c 4.(1)因为这个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是 y轴，所以可设这个二次函数的表达式为y=aa2.因为点 (一3,9)在该二次函数的图象上，所以9=a×(一3)2，即 9a=9,解得a=1.所以这个二次函数的表达式为y=x2. (2)把x=1.1代入y=x2,得y=1.1=1.21,所以点 (1.1,1.21)在这个函数的图象上. 5.D当a<0时，因为ab>0,所以b<0.此时函数y= x2的图象是顶点在原点、开口向下的抛物线，函数y= ax十b的图象过第二、三、四象限，符合条件的是D选项. 当a>0时，因为ab>0,所以b>0.此时函数y=ax2的图 象是顶点在原点、开口向上的抛物线，函数y=a.x十b的图 象过第一、二、三象限，没有符合条件的选项. 方法归纳 判断函数图象的方法 (1)分类讨论法：按系数的正负进行讨论. (2)逐项排除法：假定选项中某一函数图象正确，然 后判断另一函数图象是否合理 6.A当抛物线y=a.x2经过点(1,3)时，a=3.当抛物线 y-a经过点(3,1)时a一.因为抛物线开口向上，所 以a的值越大，开口越小.观察题图，得实数a的取值范围 是g≤u≤3， 7.C因为二次函数y=x2的图象开口向上，2026> 2025,所以点M比点(45,2025)离二次函数y=x2图象 的对称轴(y轴)远.所以当点M在对称轴左侧时，m< 一45；当点M在对称轴右侧时，m>45.综上所述，m>45. 1 88因为函数y=32与y=一3x的图象关于x轴 对称，所以易得题图中涂色部分的面积是题图中正方形面 积的一半.又因为边长为4的正方形的面积为16，所以涂 色部分的面积是8. 9.设直线l对应的函数表达式为y=bx十b.因为点A(4, 4k十b=0 0),B(0,4)在直线1上，所以 所 b=4, 解得一1， b=4. 以y=-x十4.由A(4,0),得OA=4.又因为△AOP的面 积为号所以宁×4=号，解得=是将y=号代入 y=-x十4，得x一子所以点P的坐标为（子，）因为 点P(仔，是)在地物线y=ar上，所以铝a=具，解得 a一治所以。的值为器 10 ·设点A,B的横坐标为a(a>0),则易得点A的纵 坐标为a2,点B的纵坐标为.因为BEx轴，所以点F 的纵坐标为因为F是抛物线C:y=2(r≥0)上的 a?1 点，所以点F的横坐标为√=2a因为CDx轴，所 以点D的纵s标为a.因为D是抛物线C:y一千(u≥0) 上的点，所以点D的横坐标为√4a=2a.所以AD=2a一 a-u.BF-a-2a-Za.CE-a:_a- 1 1 3 -4=4a2,0E= 1 1 1 1a2厅以SB之BFOE22aX4 1 S△EAD AD CE 1 6 11.(1)因为P是抛物线y=x2上的动点，所以设点P的 坐标为(p,p2).因为F(O,),所以PF -0+(-)厂√(+)厂=+子.因为 PNL1,直线L:y=-4,所以PN=p2-(-)=p2+ 子所以PF=PN.(2)因为(-2：=4<6，所以点 E(一2,6)在抛物线y=x2的上方.由(1)知，PF=PN,所 以PE十PF=PE十PN.如图，当E,P,N三点共线时， PE+PF有最小值，即为EN的长.因为EN=6 (←)=空当x=-2时y=(-2=4所以PE+PF 的最小值为，此时点P的坐标为（一2，. N O (第11题)》 第2课时二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的 图象及其特征 1.C因为二次函数y=一a(x一h)2的图象开口向上，对 称轴在y轴右侧，所以一a>0,h>0.所以a<0,h>0. 2.C因为抛物线y=-2(x-1)2+3,且一2<0，所以抛 物线的开口向下，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x=1. 故AB错误，C正确.把x=3代人y=一2(x一1)2十3，得 y=一5<0.故D错误. 3.A因为抛物线y=ax2一1的顶，点坐标是(0，一1)，抛 物线y=a(x一1)2的顶点坐标是(1,0)，所以将抛物线 y=ax2一1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到 抛物线y=a(x一1)2.所以将点A(2,3)向右平移1个单 位，再向上平移1个单位得到点A'的坐标为(3,4) 4.三因为一次函数y=kx十b的图象不经过原点和第二象 限，所以k>0,b<0.所以一k<0.因为抛物线y=一2(x+ k)2+b的顶点是（一k,b),所以抛物线y=一2(x十k)2+b 的顶点在第三象限。 5.(1)因为把抛物线y=a(x一h)2十k先向左平移2个单 位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=号x十1D2-1, 所以可以看成是将抛物线y=立(：十1-1先向右子移 2个单位，再向下平移4个单位得到抛物线y=a(x一 h)P+k.因为将抛物线y=2(x十1)2-1先向右平移2个 单位，再向下平移4个单位得到地物线y=(红一1D2一 5所以a=h=1,6=-5.(2)范物线y=号 1)2一5的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为 (1,-5). 6.B对于A,一次函数y=cx十a的图象与y轴交于负 半轴，a<0,与二次函数y=a(x一2)2十c的图象开口向 上，即a>0相矛盾.故A错误.对于B,因为一次函数y= cx十a的图象过第一、二、四象限，所以a>0,c<0.又因为 二次函数y=a(x一2)2十c的图象开口向上，顶点(2，c)在 第四象限，所以a>0,c<0.故B正确.对于C,二次函数 y=a(x一2)+c图象的对称轴为直线x=2,在y轴右侧. 故C错误对于D,一次函数y=cx十a的图象过第一、二、 三象限，c>0,与二次函数y=a(x一2)2十c图象的顶点 (2,c)在第四象限，即c<0相矛盾.故D错误. 7.A因为抛物线y=一(x十6)2十5向上平移后，对称轴 不变，所以_4，即a十b=c十d①.如图，平移前抛 22 物线与x轴的两个交点之间的距离小于平移后抛物线与 x轴的两个交点之间的距离，即b一a<d一c②.由①②可 知，选项A正确！ (第7题) 3