1.2 第3课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及其特征-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

方法归纳 抛物线上纵坐标相等的点与对称轴的关系 若，点(a,n)和，点(b,n)(a≠b)在抛物线y=a(x- m)2十k(a≠0)上，则抛物线的对称轴也可以表示为直线 x=9 2 已，根据这个关系，可得也 2 =m.特别地，当n 0时，这两个点为抛物线与x轴的交点 8.144根据题意，得把抛物线y=a(x一4)2向左平移 6个单位后得到抛物线y=a(x+2)2,a(x十2)2=一3(x h)2,则a=-3,h=-2,抛物线y=-3(x一4)2的顶点A 的坐标为(4,0).因为当x=0时，y=一3(x一4)2=一48， 即B(0,一48)，抛物线y=一3(x+2)2的顶点M的坐标 为(-2,0)，所以SAMs=2X(4什2)X48=144 9.8当点C的横坐标为一3时，抛物线的顶点为A(1, 4),对称轴为直线x=1,此时点D的横坐标为5，则CD 8.当抛物线的顶点为B(4,4)时，对称轴为直线x=4,且 CD=8,所以C(0,0),D(8,0).此时点D的横坐标最大，最 大值为8. 10.(1)如图，过点P作PM⊥x轴于点M.因为点A(1, 0),B(0,-2),所以OA=1,OB=2.由题意，得AB=AP, ∠BAP=90°.所以∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB= 90°.所以∠ABO=∠PAM.在△ABO和△PAM中， ∠AOB=∠PMA=90°， ∠ABO=∠PAM,所以△ABO≌△PAM.所以 AB=PA, AM=OB=2,PM=OA=1.所以OM=OA+AM=1+ 2=3.所以点P的坐标为(3，一1).因为点A(1,0),B(0, -2)在抛物线C:y=a(-)+h上，所以 0=a(1-)+, a= 解得 所以抛物线C,对 -2=a(0-8）+h, 9 h=81 应的函数达式为y=(-）°+ (2)将抛物 线C:y=-号（女-）+号先向左平移2个单位，再向 上平移1个单位得到抛物线C:y=一·（女-）广十 1 兴当x=3时y=号×(3-）+贤-1，所以点 0 P在抛物线C2上 0 B (第10题) 11.(1)一1.因为抛物线y=aa2+2是“美丽抛物线”， 所以顶点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(0,0).所以 AC=2.如图①，连结BD.因为四边形ABCD为正方形，所 以BD与AC互相垂直平分，且BD=AC=2.所以易得点 D的坐标为(1,1).因为点D在抛物线y=ax2+2上，所以 1=a×1+2,解得a=-1. (2)4.因为抛物线y=一 (x一1)P+k是“美丽抛物 1 线”，所以顶点A的坐标为(1，k),点C的坐标为(1,0).如 图②，连结BD.同(1)，可得点D的坐标为 (合+1，)因为点D在抛物线y=-号（红-10P+大 上，所以令=-（冬+1-1）°+6，解得，=0（舍去）. k2=4. (3)因为抛物线y=a(x一h)2十k是“美丽抛物线”，所以 顶点A的坐标为(h,k),点C的坐标为(h,0).同(1)，可得 点D的坐标为（兮k+h,),因为点D在抛物线y ax-)P+k上，所以受-a(修+h-h)'十6.因为> 0,所以ak=一2. ① ② (第11题) 第3课时 二次函数y=ar2+b.xr+c(a≠0)的 图象及其特征 1.D因为y=一x2十6x一7=一(x一3)2十2，所以该抛 物线开口向下，对称轴为直线x=3,与y轴的交点坐标为 (0,一7)，顶点坐标为(3,2).故ABC错误，D正确 2.C解法一：因为y=x2-2x一3=(x-1)2一4，所以将 其图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位后，所得图 象对应的函数表达式为y=(x一3)2一2.解法二：因为 4 y=x2一2x一3=(x一1)2一4，所以其图象的顶点坐标为 (1,一4).将其图象先向右平移2个单位，再向上平移2个 单位后，得到的图象的顶点坐标为(3，一2).所以图象对应 的函数表达式为y=(x一3)2一2.解法三：将二次函数 y=x2一2x一3的图象向右平移2个单位，所得图象对应 的函数表达式为y=(x一2)2一2(x一2)一3，再将所得图 象向上平移2个单位后，所得图象对应的函数表达式为 y=(x-2)2-2(x-2)-1,即y=(x-3)2-2. 3.一2因为抛物线y=x2一(m一2)x一2m的顶，点在x轴 上，所以4X1X(-2m)-[-6m-2)-0.整理，得(m十 4×1 2)2=0,解得1=12=-2. 4.一1由题表，得二次函数的图象经过点（一4,2），(1， 2),所以对称轴为直线x=二41-一3.因为点（一5，m) 2 2 关于直线x=一号对称的点为(2，一1D,所以m=一1 3 5.(1)由题意，得A(0,0),B(18,0),C(17,1.7),即抛物线 过原点，所以设大门所在抛物线对应的函数表达式为y= ax2+bx.因为点B(18,0),C(17,1.7)在抛物线上，所以 182a+18b=0, 解得/-0.1， 所以大门所在抛物线 172a+17b=1.7 b=1.8. 对应的函数表达式为y=一0.1x2+1.8x.(2)因为 y=-0.1x2+1.8x=-0.1(x-9)2十8.1，所以抛物线的 顶点坐标为(9,8.1).所以大门的高h为8.1m. 6.C因为二次函数y=ax2+ba+c的图象经过点 A(-1,0),B(0,-2,所以/-b+c=00, 把②代人①， (c=-2②. 得a一b一2=0，即a一b=2.故嘉嘉的结论正确.因为顶点 C在第四象限，所以一a b >0.又因为a=b十2，a>0,所 以一2<b<0.故琪琪的结论正确 7.B 思路导引 与矩形最后一次相交时， 代入解 求出m的最大值 过AD边与y轴的交点 方程 y=x-2mx+ 顶点坐标由横、纵坐标 顶点在直线 m+m+l (m,m+1)的关系得 yx+1上 与矩形第一次相交时，代入解 求出m的最小值 过点A(-1,1) 方程 因为y=x2-2m+m2+m+1=(x-m)2+m+1,所以 D 二次函数图象的顶，点坐标是(m,m十1).因为a=1>0,所 以二次函数的图象开口向上，开口大小一定.因为顶点坐 标为(m,m十1)，所以此二次函数图象的顶点在直线y x十1上.将抛物线沿直线y=x十1从左至右移动，如图 ①，当二次函数的图象与矩形第一次相交时，二次函数的 图象经过点A(-1,1),此时m取最小值.将A(一1,1)代 人y=x2-21.x+m2+m+1,得1+2+m2+m+1=1, 解得m,=-3,5m,=二35（合去.所以m的最小 2 2 值是一3,5，如图@，当二次函数的图象与矩形最后一次 2 相交时，二次函数的图象的顶点在AD边与y轴的交点(0， 1)处，此时m取最大值.将(0,1)代人y=x2一2mx十m2+ m十1，得m2+m+1=1,解得m1=0,m2=一1（舍去），所 以m的最大值是0.所以二3,5≤m<0 2 y=x+l R O (第7题) 8.-6<M<6将(-1,0)，(0,2)代入y=ax2+bx+c, (0=a-b+c 得 2=c, 所以b=a十2.由题意，得一a ->0,a<0, 所以b>0.所以a>-2.所以-2<a<0.因为M=4a+ 2b+c=4a+2(a+2)+2=6a+6=6(a+1),一66(a+ 1)<6,所以一6<M6. 9.(1)由题意，得y=x2-2x+1=(x-1)2,所以特征数 为[一2,1门的函数的图象的顶点坐标为(1,0).(2)①特 征数为[4，-1]的函数为y=x2+4x-1,即y=(x+2)2 5.因为函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单 位，所以平移后得到的图象对应的函数表达式为y=(x十 2-1)2-5+1,即y=x2+2x一3.所以得到的图象对应的 函数的特征数为[2，一3].②因为特征数为[2,3]的函数 为y=x2+2x+3,即y=(x十1)2+2，特征数为[3,4的函 数为y=2+3x十4，即y=(+2)+子，所以可以将 7 特征数为[2,3]的函数的图象先向左平移2个单位，再向 下平移个单位（或先向下平移号个单位，再向左平移号 个单位) 5 10.(1)因为抛物线y=一x2+2x+c与y轴正半轴交于 点B,所以B(0,c).所以OB=c.因为OA=OB,所以 A(c,0).因为抛物线y=一x2+2x+c经过点A,所以 0=一c2+2c十c,解得c=3或c=0(舍去).所以抛物线对 应的函数表达式为y=一x2十2x+3.因为y=一x2+ 2x+3=-(x一1)2+4，所以顶点G的坐标为(1,4). (2)因为y=一x2十2x+3=一(x一1)2十4，所以抛物线的 对称轴为直线x=1.因为M,N为抛物线上两点（点M在 点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位和5个 单位，所以易得点M的坐标为（一2，一5）或(4，一5)，点N 的坐标为(6，一21).因为Q为抛物线上点M,N之间（含点 M,N)的一个动点，所以当M(-2,-5),N(6,-21)时， -21≤y%≤4；当M(4,-5),N(6,-21)时，-21≤o≤-5. 1.3二次函数的性质 1.B二次函数y=x2一2x十3=(x一1)2+2，图象的对 称轴为直线x=1,故A错误.顶点坐标为(1,2)，a>0,图 象开口向上，最小值为2，故B正确.在对称轴的左侧，即当 x<1时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，即当x>1 时，y随x的增大而增大，故CD错误 2.-1因为二次函数y=2x2-mx十5，当x<-2时，y 随x的增大而减小；当x>一2时，y随x的增大而增大， 所以图象的对称轴为直线-一2，即一X-一2：解得 m=一8.所以二次函数为y=2x2十8x十5.当x=一1时， y=2-8+5=-1. 3.减小因为a2≥0，所以a2十1≥1.所以抛物线开口向 上.因为a2十1>a2≥0，所以对称轴为直线x= a2 1 a2 20a+D,且-2<2a+1)<0.所以当x<-1时， y随x的增大而减小 4一4由图，得一会-一 2 =一1，解得b=2.因为图 象经过点（一3,0），所以0=（一3）2一3X2十c,解得c 一3.所以二次函数的表达式为y=x2十2x一3，则二次函 数的最小值为4如c-_4X1×(-3)-2: =一4 Aa 4×1 5.(①由题意，得抛物线经过点c2,）A(8,0.所以 3 4a十2b=1'解得 9 a=- 16 所以该抛物线对应的函数 64a+8b=0, b2 3 2+3 3 表达式为y=一 16 .(2)因为y=一62+ 3 ?x=一36（x一4)2+3，所以当x=4时，y取得最大值3. 所以蔬菜大棚离地面的最大高度是3m(3)由题意，得 当y=1.5时，DE的宽度取得最大值，所以令一是十 之=1.5，解得x=4+2,=4-2E.所以DE=4计 2√2-(4-2√2)=42(m).所以横梁DE的宽度最大是 4√2m. 6B抛物线)一+a:十3的对称相为直线x=一兰 一2.故①正确.当x=0时，y=3,所以点(0,3)在抛物线 上.故②正确.当a>0时，若x1>x2>一2，则y1>y2;当 a<0时，若x1>x2>-2,则y1<y2.故③错误.当y,=y2 时，点P,(x1y1),P2（x2,y2)关于直线x=一2对称，所 以x1十x2=一4.故④错误.综上所述，正确的有2个. 7.C令-x2+2x十3=x十1，解得x1=-1,x2=2,所 以y= /-x2+2x+3x<-1或x>2》如图，在同-平面 {x+1(-1x2). 直角坐标系中分别画出函数y=一x2十2x十3和y=x十1 的图象，则图中实线部分即为函数y=min{-x2+2x+3, x十1}的图象.根据图象可知，当x=2时，y的最大值为3. 5 4 3 54-3-210 1 =3 =5 (第7题) 8.x>一2因为点A(一7，y1),B(3,yz)均在抛物线y= a.x2+bx十c(a≠0)上，一7<3，C(x,yn)是该抛物线的顶 点，y1>y2≥yo,所以a>0,49a-7b+c>9a+3b十c.所 以6<如，所以会<2所以一会>-2所以， -b>-2. 2a 9.(1)因为y=-x2+2m.x-m2+3m+1=-(x-m)2+ 3m+1,所以抛物线y=-x2+2mx一m2+3m+1的顶点 坐标为(m,3m十1).因为抛物线的顶点在第二象限，所以 m<0, 3m+1>0 解得一弓<m<0,所以m的取值范国是 一3<m<0.(2)因为当-2≤x≤1时，y先随x的增 1 大而增大，后随x的增大而减小，且抛物线的对称轴为直 线x=m,所以-2<m<1.当x=一2时，y=一m2一m一 3;当x=1时，y=一m2+5m.因为仅当x=1时y有最小 值，所以-m2+5m<-m2-m-3,解得m<-.所以第1章二次函数 第3课时 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象及其特征 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.[2025攀枝花中考]关于抛物线y=一x2+6.x一7，下列说法中正确的是 () A.开口向上 B.对称轴是直线x=一3 C.与y轴的交点坐标是(0,7) D.顶点坐标是(3,2) 2.一题多解将二次函数y=x2一2x一3的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后，所得 图象对应的函数表达式为 () A.y=(x-3)2-6B.y=(x+1)2-6C.y=(x-3)2-2 D.y=(x+1)2-2 3.若抛物线y=x2一(m一2)x一2m的顶点在x轴上，则m的值为 4.二次函数y=ax2十bx十c的自变量x与函数y的若干组对应值如下表： -5 -4 0 1 2 5 2 -1 -16 则m的值为 5.舒境生活实际已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m,一名同学站在大门内，在离门脚 点B1m远的点D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆CD,其顶端恰好顶在抛物线形大门上 的点C处，建立如图所示的平面直角坐标系.求： (1)大门所在抛物线对应的函数表达式. y/m (2)大门的高h. (A) -18m D:x/m (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.数形结合思想如图，二次函数y=ax2十bx十c的图象经过点A(一1,0)，B(0,一2)，顶，点C在第四 象限，嘉嘉认为a与b的关系为a一b=2,琪琪认为b的取值范围是一2<b<0.关于两名同学的 结论，下列判断中正确的是 () A.嘉嘉正确 B.琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 (第6题) (第7题) 7.如图，在矩形ABCD中，点A(-1,1),点D(2,1),当二次函数y=x2-2m.x十m2+m+1的图 象与矩形ABCD有交点时，m的取值范围是 () A.-2≤m≤0 B.-3,5≤m≤0C-25m≤2 D.-35≤m≤2 2 2 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 8.如图，抛物线y=a.x2+bx+c(a≠0)过点（一1,0），(0,2)，且顶点在第一象限.设 y M=4a+2b+c,则M的取值范围是 9.舒向新定义题如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y=-可 x2+x十g,我们称[p,g]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x十3的特征数是 (第8题) [2,3]. (1)若一个函数的特征数为[一2,1]，求此函数图象的顶点坐标. (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，一1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单 位，求得到的图象对应的函数的特征数 ②若一个函数的特征数为[2,3]，则此函数的图象经过怎样的平移后，得到的图象对应的函数的 特征数为[3,4幻？ 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，抛物线y=一x2十2x十c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,G为 抛物线的顶点. (1)求抛物线对应的函数表达式及顶点G的坐标 (2)若M,N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和 5个单位，Q为抛物线上点M,N之间（含点M,N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值 范围。 (第10题) 8 >“答案与解析”见D4