1.4 二次函数与一元二次方程的关系【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习采用五阶分层设计，以“知识梳理-基础达标-能力提升-素养探究-中考链接”为主线，构建从概念内化到综合应用的递进路径，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|二次函数与方程核心关系|填空式梳理判别式、交点式等概念，夯实抽象基础| |基础达标|交点个数判断、方程根与交点转化|单一考点题型（如判别式应用），强化数形互化思维| |能力提升|参数取值、交点距离计算|含隐含条件的综合题（如参数范围求解），发展推理意识| |素养探究|函数与几何图形综合|三角形面积计算等代数几何融合题，培养模型意识| |中考链接|近年中考真题|选择、填空、解答题适配中考题型，提升应用能力|

1.4 二次函数与一元二次方程的关系【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】判断抛物线与x轴交点的个数 2 【题型2】已知抛物线与x轴交点求对应一元二次方程的根 5 【题型3】由一元二次方程的根判断抛物线与x轴交点情况 8 【题型4】二次函数交点式的简单应用 11 【题型5】利用函数图象求一元二次方程近似根 16 三.能力提升 20 【题型1】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值 20 【题型2】抛物线与x轴两交点之间线段长度计算 24 四.素养探究 27 【题型】二次函数、一元二次方程与几何图形综合 27 五.中考链接 34 六.自我评价 44 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空，梳理二次函数与一元二次方程的核心对应关系： 1. 对于二次函数 ，当 时，得到一元二次方程_______，抛物线与轴交点的________就是这个一元二次方程的实数根。 2. 判别式 ： ①当 ，方程有________实数根，抛物线与轴有________个交点； ②当，方程有_________实数根，抛物线与轴有_____个交点（顶点在x轴上）； ③当 ，方程________实数根，抛物线与轴________交点。 3. 若抛物线与轴交点坐标为，则二次函数可以写成交点式_________。 4. 利用二次函数图象，可以求一元二次方程的________根。 5. 抛物线与轴两交点之间的距离：，该公式用于计算交点间线段长度。 【参考答案】 1. ；横坐标 2. 两个不相等的；两；两个相等的；一；没有；没有 3. 4. 近似 二.基础达标 【题型1】判断抛物线与x轴交点的个数 核心考点：计算判别式，根据Δ的符号，直接判断抛物线与x轴交点数量，掌握函数与方程的基础对应关系。 1．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）二次函数与坐标轴的交点个数是（　　） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式计算判断二次函数图象与x轴的交点个数，再令，确定与y轴的交点个数即可． 解：令， ， 一元二次方程有一个实数根， 二次函数与x轴有一个交点， 令，即， 二次函数图象与与y轴有一个交点， 综上，二次函数与坐标轴的交点个数是2． 故选：B． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数与x轴的交点个数为________． 【答案】2个 【分析】根据根的判别式计算判断即可． 解：令， 因为， 所以二次函数与x轴的交点个数是2个． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断该抛物线与轴的交点个数，并说明理由． 【答案】（1）；（2）没有交点，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法确定抛物线解析式即可； （2）根据根的判别式符号来判断该抛物线与x轴的交点个数． （1）解：把代入二次函数， 得， 解得． ∴该抛物线的解析式为； （2）该抛物线与x轴没有交点，理由如下： ∵， ∴该抛物线与x轴没有交点． 【点拨】本题考查的是抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，二次函数的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与x轴的交点个数． 4．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1）证明：∵ 二次函数为 ， ∴ , , ， 判别式 ， 化简得 ， ∵ 无论 为何值，， ∴ ， 即无论 为何值时，该二次函数的图像与 轴都有交点； （2）和 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的判别式和对称轴性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的判别式与图像与x轴交点的关系． （1）通过计算判别式并化简，证明其非负，从而说明函数图像与x轴总有交点； （2）利用对称轴公式求出k值，再代入函数求与x轴的交点坐标即可． 解：（1）略 （2）解：∵ 二次函数 的对称轴为 ， 又∵ 对称轴为 ， ∴ ， 代入函数得 ， 令 ，则 ， 解得 ， ∴ 或 ， ∴ 它与 轴的交点坐标为 和 ． 【题型2】已知抛物线与x轴交点求对应一元二次方程的根 核心考点：理解交点横坐标就是对应方程的根，实现“形”到“数”的转化。 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而求出一元二次方程的解即可． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程，即的解是，； 故选A． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与轴的交点关于对称轴对称，求出另一交点的坐标，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 解：抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点的坐标为， 关于的方程的两个根为和． 故答案为：，． 4．（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是________． 【答案】， 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出抛物线与轴的交点坐标是解题关键．先通过对称轴得出的对称点，即为抛物线与轴的交点，再求出一元二次方程的根即可． 解：∵抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 设另一个交点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴一元二次方程的解是：，． 故答案为：，． 【题型3】由一元二次方程的根判断抛物线与x轴交点情况 核心考点：已知方程根的情况，反推抛物线与x轴交点个数，巩固数形互化思想。 1．（2026九年级下·全国·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键． 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点，结合图象求解即可． 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点， ， 选项中只有2符合要求． 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解．直接根据函数图象作答即可． 解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了方程与函数图象的关系，方程的解就是函数与函数交点的横坐标，数形结合是解题的关键． 作函数的图象，从而利用数形结合解得． 解：根据题意作函数的图象如下： 结合图象可知，若直线与函数的图象有四个交点， 则关于的方程有 4 个不同的实数根， 所以的取值范围是， 故答案为：． 【题型4】二次函数交点式的简单应用 核心考点：已知抛物线与x轴交点坐标，会写交点式；交点式化为一般式基础运算。 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若点在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，顶点坐标，二次函数图象上点坐标特征；熟练掌握二次函数与一元二次方程，不等式的关系，会用数形结合的思想是解题关键． （1）分别令，，得出A，B，C的坐标，将二次函数化为顶点式，得出顶点D的坐标； （2）过点作平行于轴的直线交抛物线与点E，得到E点坐标，结合图象，利用函数方程不等式的关系，即可得出点在抛物线上，当时，m的取值范围； 解：（1）当时，， 解得， 所以 ．     当时，， 所以．     因为， 所以． （2）过点作平行于轴的直线交抛物线与点E， 令，则或， 故点， 点在抛物线上，当时 由图可知，抛物线在直线得下方图像上所有点的横坐标的范围为或， 故答案为：或 2．（25-26九年级上·河南三门峡·阶段检测）已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）当x______时，函数y随x的增大而增大． （3）求出该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）和． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式； （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而增大； （3）令，则，解方程即可求解． （1）解：把点和点代入得 ，解得， 所以这个函数的关系式为； （2）解：∵这个函数的关系式为； ∴对称轴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数随的增大而增大． 故答案为：； （3）解：令，则， 整理得， 解得， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为和． 3．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． （1）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； （2）选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【答案】（1）；（2）列表如下： 函数的图象，如图： 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及画二次函数图象，正确掌握配方法以及用描点法画二次函数图象的步骤是解题关键． （1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． （1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数解析式． （1）求火箭模型升空的最大高度； （2）求点火后，第几秒火箭模型的高度为． 【答案】（1）米；（2）第和火箭模型升空的高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）化为顶点式，进而即可求解； （2）将，代入，解方程，即可求解． （1）解： ， ∴当时，取得最大值为， 答：火箭模型升空的最大高度为米； （2）解：将，代入， 即， 解得：或， 答：第和火箭模型升空的高度为． 【题型5】利用函数图象求一元二次方程近似根 核心考点：看懂函数图象，读取图象信息，确定一元二次方程近似解，了解图象法解方程的思路。 1．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是________． x 1 y 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．观察表格确定函数值正负的自变量的值，结合二次函数的性质即可求解． 解：由表格数据，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根的取值范围是． 故答案为：． 3．（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【答案】或 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图像，体现了数形结合的思想方法． 方程的根是函数与x轴交点的横坐标．先作出二次函数的图像，观察图像可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 4．（25-26九年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【答案】图象如图所示： 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 解：解: 抛物线 的顶点坐标是（1,-4）, 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 三.能力提升 【题型1】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值 核心考点：已知交点个数，结合判别式求解参数取值范围，注意隐含条件 。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 2．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）（1）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________． （2）对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】 / 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． （1）先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． （2）由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解． 解：（1）将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． （2）由抛物线与轴都有公共点可得：，即， ∴， 设，则， 要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可， ∴，即的最小值为， ∴； 故答案为． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 【题型2】抛物线与x轴两交点之间线段长度计算 核心考点：利用求根或者公式 ，计算两个交点之间距离，代数运算结合几何意义。 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 2．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 3．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时，______． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案. 解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 四.素养探究 【题型】二次函数、一元二次方程与几何图形综合 核心考点：利用抛物线与坐标轴交点坐标，求三角形面积等几何问题，实现代数几何综合应用。 1．（2026·福建泉州·二模）设抛物线的顶点为，与轴分别交于两点，判定的形状是（     ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再求抛物线与轴交点得到的长度，利用抛物线对称性得到为等腰三角形，再根据线段长度关系判断三角形形状． 解：∵， ∴顶点的坐标为，到轴的距离为 令，得， 解得，， ∴两点在轴上的坐标为和， 可得 ∵抛物线对称轴为，顶点在对称轴上， ∴，是等腰三角形， ∵到的距离为，满足到的距离， 可得， ∴是等腰直角三角形． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 【答案】 【分析】求出点三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 解：对于， 令，则，故， 令，则，故， 令，可得， 解得或，故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对, 令，则，故， ∴ ∴ 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． （1）求该抛物线的解析式及点D的坐标； （2）求的面积； （3）①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 【答案】（1），点D的坐标为；（2）；（3）①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． （1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 4．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】（1），；（2）当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． （1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 3．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 二、填空题 5．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 7．（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 8．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 三、解答题 9．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． （1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 10．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2）且 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． （1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 二次函数与一元二次方程的关系【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】判断抛物线与x轴交点的个数 2 【题型2】已知抛物线与x轴交点求对应一元二次方程的根 2 【题型3】由一元二次方程的根判断抛物线与x轴交点情况 3 【题型4】二次函数交点式的简单应用 4 【题型5】利用函数图象求一元二次方程近似根 6 三.能力提升 7 【题型1】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值 7 【题型2】抛物线与x轴两交点之间线段长度计算 8 四.素养探究 8 【题型】二次函数、一元二次方程与几何图形综合 8 五.中考链接 10 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 请完成下列填空，梳理二次函数与一元二次方程的核心对应关系： 1. 对于二次函数 ，当 时，得到一元二次方程_______，抛物线与轴交点的________就是这个一元二次方程的实数根。 2. 判别式 ： ①当 ，方程有________实数根，抛物线与轴有________个交点； ②当，方程有_________实数根，抛物线与轴有_____个交点（顶点在x轴上）； ③当 ，方程________实数根，抛物线与轴________交点。 3. 若抛物线与轴交点坐标为，则二次函数可以写成交点式_________。 4. 利用二次函数图象，可以求一元二次方程的________根。 5. 抛物线与轴两交点之间的距离：，该公式用于计算交点间线段长度。 二.基础达标 【题型1】判断抛物线与x轴交点的个数 核心考点：计算判别式，根据Δ的符号，直接判断抛物线与x轴交点数量，掌握函数与方程的基础对应关系。 1．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）二次函数与坐标轴的交点个数是（　　） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定 2．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数与x轴的交点个数为________． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断该抛物线与轴的交点个数，并说明理由． 4．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 【题型2】已知抛物线与x轴交点求对应一元二次方程的根 核心考点：理解交点横坐标就是对应方程的根，实现“形”到“数”的转化。 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 4．（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是________． 【题型3】由一元二次方程的根判断抛物线与x轴交点情况 核心考点：已知方程根的情况，反推抛物线与x轴交点个数，巩固数形互化思想。 1．（2026九年级下·全国·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是________． 【题型4】二次函数交点式的简单应用 核心考点：已知抛物线与x轴交点坐标，会写交点式；交点式化为一般式基础运算。 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若点在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 2．（25-26九年级上·河南三门峡·阶段检测）已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）当x______时，函数y随x的增大而增大． （3）求出该抛物线与x轴的交点坐标． 3．（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． （1）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； （2）选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 4．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数解析式． （1）求火箭模型升空的最大高度； （2）求点火后，第几秒火箭模型的高度为． 【题型5】利用函数图象求一元二次方程近似根 核心考点：看懂函数图象，读取图象信息，确定一元二次方程近似解，了解图象法解方程的思路。 1．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是________． x 1 y 3．（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 4．（25-26九年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 三.能力提升 【题型1】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值 核心考点：已知交点个数，结合判别式求解参数取值范围，注意隐含条件 。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）（1）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________． （2）对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【题型2】抛物线与x轴两交点之间线段长度计算 核心考点：利用求根或者公式 ，计算两个交点之间距离，代数运算结合几何意义。 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 2．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时，______． 四.素养探究 【题型】二次函数、一元二次方程与几何图形综合 核心考点：利用抛物线与坐标轴交点坐标，求三角形面积等几何问题，实现代数几何综合应用。 1．（2026·福建泉州·二模）设抛物线的顶点为，与轴分别交于两点，判定的形状是（     ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一点．若点的横坐标为，则的面积为______． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． （1）求该抛物线的解析式及点D的坐标； （2）求的面积； （3）①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 4．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． （1）求抛物线解析式及点坐标； （2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 二、填空题 5．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 7．（2026·山东青岛·中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 8．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 三、解答题 9．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 10．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $