1.2（2） 二次函数y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数顶点式，通过“前置梳理-基础达标-能力提升-素养探究-中考链接”五级分层，构建从概念理解到综合应用的递进式巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|顶点式核心概念（顶点、对称轴、开口方向等）|填空式梳理，夯实前置知识，培养抽象能力| |基础达标|基本特征识别、最值应用、平移规律等单一知识点|选择/填空题为主，对应课时基础目标，强化运算能力| |能力提升|平移变式、函数值比较等综合应用|逆向平移问题、多点函数值比较，发展推理意识| |素养探究|顶点式与几何图形综合（面积、等腰三角形等）|含图像情境题，融合几何直观与空间观念，提升模型意识| |中考链接|中考真题（选择、填空、解答）|适配中考题型，强化应用意识，衔接阶段测评|

1.2（2） 二次函数y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】顶点式函数基本特征识别 2 【题型2】二次函数顶点式最值基础应用 3 【题型3】抛物线基础平移规律判断 4 【题型4】顶点式函数增减性判断 5 【题型5】已知顶点写二次函数顶点式 6 三.能力提升 7 【题型1】平移变式求函数解析式 7 【题型2】顶点式函数值大小比较 7 四.素养探究 8 【题型】顶点式与几何图形综合 8 五.中考链接 10 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空，梳理本节二次函数顶点式核心知识点： 1. 二次函数顶点式解析式为 ，其抛物线的顶点坐标为_____，对称轴为直线________。 2. 在 中，当 时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，当 时，函数有最______值为______。 3. 在 中，当 时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，当 时，函数有最______值为______。 4. 抛物线 可由抛物线 经过平移得到：左加右减、上加下减。 控制______平移， 控制______平移。 5. 的大小决定抛物线开口______， 越大，开口越______。 二.基础达标 【题型1】顶点式函数基本特征识别 核心考点：根据 解析式，直接判断抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，掌握顶点式基础性质。 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）二次函数的顶点坐标为___________；函数有最___________值（填“大”“小”），最值等于___________． 【题型2】二次函数顶点式最值基础应用 核心考点：根据开口方向和顶点坐标，判断函数最大值、最小值，掌握顶点处取最值的核心规律。 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知二次函数y=（x－1）2－1（0≤x≤3）的图像如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，无最大值 C．有最小值0，无最大值 D．有最小值－1，有最大值3 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，则当时，该函数（    ） A．只有最大值3，无最小值 B．有最大值3，有最小值0 C．有最小值，有最大值3 D．只有最小值，无最大值 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）    A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0 C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【题型3】抛物线基础平移规律判断 核心考点：掌握 与 的平移关系，熟练运用“左加右减、上加下减”基础法则。 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是（    ） A．向右平移2个单位，向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C．向右平移1个单位，向下平移2个单位 D．向左平移2个单位，向下平移2个单位 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）将二次函数的图像向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点在两次平移后得到的函数图像上，则_________． 【题型4】顶点式函数增减性判断 核心考点：结合对称轴，判断对称轴左右两侧函数的增减变化规律，区分 、 两种情况。 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）二次函数y＝﹣（x+5）2+7，当x__时，y随x的增大而增大，最值是__． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）画出函数的图象，观察图象回答下列问题： （1）求顶点坐标与对称轴方程． （2）当取何值时，随的增大而增大当取何值时，随的增大而减小 （3）当为何值时，函数有最大值或最小值其值是多少 （4）当取何值时，，， 4．（2025九年级·全国·专题练习）根据下列条件分别求出a的值或取值范围． （1）函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）函数有最大值． （3）抛物线与抛物线的形状相同． 【题型5】已知顶点写二次函数顶点式 核心考点：根据顶点坐标、已知 值，快速写出二次函数顶点式解析式，夯实顶点式书写规范。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为______． 三.能力提升 【题型1】平移变式求函数解析式 核心考点：已知抛物线平移前后变化，逆向求解原解析式或平移后解析式，灵活运用平移法则。 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州铜仁·一模）已知二次函数的图像过点，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个，得到二次函数的图像，则原解析式为______． 4．（2026·上海黄浦·一模）如果一个二次函数的图像的对称轴是轴，且这个图像经过平移后能与重合，那么这个二次函数的解析式可以是______．（只要写出一个） 【题型2】顶点式函数值大小比较 核心考点：根据点到对称轴的距离，结合开口方向，比较抛物线上多点的函数值大小，综合运用图象性质。 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·阶段检测）抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列大小比较正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）若点在二次函数的图象上，则关于 的大小，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 四.素养探究 【题型】顶点式与几何图形综合 核心考点：结合抛物线顶点、与坐标轴交点，求解几何图形面积、线段长度，数形结合综合应用。 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求抛物线顶点的坐标； （2）连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． （1）当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； （2）当时，求点A的纵坐标的最小值． 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·河北承德·一模）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． （1）直接写出点B的坐标________； （2）求抛物线的表达式； （3）点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 五.中考链接 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 二、填空题 3．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 4．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 三、解答题 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 6．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2（2） 二次函数y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】顶点式函数基本特征识别 2 【题型2】二次函数顶点式最值基础应用 4 【题型3】抛物线基础平移规律判断 7 【题型4】顶点式函数增减性判断 9 【题型5】已知顶点写二次函数顶点式 13 三.能力提升 16 【题型1】平移变式求函数解析式 16 【题型2】顶点式函数值大小比较 18 四.素养探究 22 【题型】顶点式与几何图形综合 22 五.中考链接 30 六.自我评价 37 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空，梳理本节二次函数顶点式核心知识点： 1. 二次函数顶点式解析式为 ，其抛物线的顶点坐标为_____，对称轴为直线________。 2. 在 中，当 时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，当 时，函数有最______值为______。 3. 在 中，当 时，抛物线开口______，顶点是抛物线的最______点，当 时，函数有最______值为______。 4. 抛物线 可由抛物线 经过平移得到：左加右减、上加下减。 控制______平移， 控制______平移。 5. 的大小决定抛物线开口______， 越大，开口越______。 【参考答案】 1.； 2. 向上；低；小； 3. 向下；高；大； 4. 左右；上下 5. 宽窄；小 二.基础达标 【题型1】顶点式函数基本特征识别 核心考点：根据 解析式，直接判断抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，掌握顶点式基础性质。 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2 【答案】D 【分析】根据顶点式的性质，依次判断开口方向，对称轴，顶点坐标和最值即可． 解：∵抛物线解析式为，属于顶点式，其中，，， ∴，开口向上，A选项说法正确； 对称轴为直线，B选项说法正确； 顶点坐标为，C选项说法正确； ∵，抛物线开口向上，∴顶点是图象的最低点，最低点的纵坐标为，函数有最小值，不存在最高点，因此D选项说法错误． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是 D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．直接根据可以判断开口方向，根据抛物线的顶点式即可得出顶点坐标及对称轴． 解： 抛物线方程为，， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，得到顶点坐标． 解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为， 对比顶点式可得，， 故顶点坐标为． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）二次函数的顶点坐标为___________；函数有最___________值（填“大”“小”），最值等于___________． 【答案】 小 【分析】本题考查求二次函数的最值，将一般式化为顶点式，即可求解． 解： ， 当时，函数有最小值，最小值为， 顶点坐标为， 故答案为：，小，． 【题型2】二次函数顶点式最值基础应用 核心考点：根据开口方向和顶点坐标，判断函数最大值、最小值，掌握顶点处取最值的核心规律。 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知二次函数y=（x－1）2－1（0≤x≤3）的图像如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，无最大值 C．有最小值0，无最大值 D．有最小值－1，有最大值3 【答案】D 【分析】根据图像可直接排除选项． 解：由图像可知：二次函数y=（x－1）2－1（0≤x≤3）的最大值为3，最小值为-1； 故选D． 【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，则当时，该函数（    ） A．只有最大值3，无最小值 B．有最大值3，有最小值0 C．有最小值，有最大值3 D．只有最小值，无最大值 【答案】C 【分析】根据二次函数，可以得到当时，该函数的最大值和最小值，本题得以解决． 解：二次函数，开口向上，离对称轴越远函数值越大， 当时，在时，函数取得最小值，此时， 当时，函数取得最大值，此时， 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）    A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0 C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据图像可直接排除选项即可． 解：由图像可知：二次函数的最大值为3，最小值为； 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式的图象和性质；由可画出图象，数形结合，即可求解. 解：由二次函数，可画出如下图象： 二次函数，开口向下，关于直线对称，顶点坐标为 A、当时，y随x的增大而增大，故A不符合题意； B、当时，y随x的增大而减小，故B符合题意； C、图象有最高点，其坐标是，故C不符合题意； D、图象有最高点，其坐标是，故D不符合题意. 故选：B. 故选：C． 【题型3】抛物线基础平移规律判断 核心考点：掌握 与 的平移关系，熟练运用“左加右减、上加下减”基础法则。 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是（    ） A．向右平移2个单位，向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C．向右平移1个单位，向下平移2个单位 D．向左平移2个单位，向下平移2个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移、二次函数图象上点的特征等知识点，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 先分别求出平移后的抛物线的解析式，再将点代入验证即可解答． 解：A、平移后的解析式为，当时，，函数图象不经过，本选项不符合题意； B、平移后的解析式为，当时，，函数图象不经过，本选项不符合题意； C、平平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意； D、平移后的解析式为，当时，，函数图象不经过，本选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”直接计算，即可作答． 解：∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， 则平移后的抛物线的表达式为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可． 解：∵抛物线顶点坐标为， ∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）将二次函数的图像向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点在两次平移后得到的函数图像上，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求二次函数值，先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的二次函数解析式，再把点P坐标代入平移后的函数解析式中求解即可． 解：将二次函数的图像向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后的函数解析式为， ∵点在平移后的二次函数图象上， ∴， 故答案为：． 【题型4】顶点式函数增减性判断 核心考点：结合对称轴，判断对称轴左右两侧函数的增减变化规律，区分 、 两种情况。 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）二次函数y＝﹣（x+5）2+7，当x__时，y随x的增大而增大，最值是__． 【答案】 ＜﹣5 y＝7 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定对称轴、顶点坐标，二次项系数为负数，可确定开口方向、增减性及最大值． 解：∵y=-（x+5）2+7为抛物线的顶点式， ∴抛物线的对称轴是x=-5，顶点坐标是（-5，7）， 图象开口向下， 当x＜-5时，y随x 的增大而增大， 当x=-5时，函数y有最大值，是7． 故答案为＜-5，y=7； 【点拨】此题考查抛物线的顶点式与抛物线的性质之间的关系，解题关键是明确抛物线的顶点坐标及开口方向． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查二次函数的增减性．根据二次函数的性质求解即可． 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）画出函数的图象，观察图象回答下列问题： （1）求顶点坐标与对称轴方程． （2）当取何值时，随的增大而增大当取何值时，随的增大而减小 （3）当为何值时，函数有最大值或最小值其值是多少 （4）当取何值时，，， 【答案】（1）顶点坐标，对称轴方程为；（2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（3）当时，函数有最大值，最大值是；（4）当或时，；当或时，；当时， 【分析】先画出对应的函数图象，再根据函数图象逐一求解即可． （1）解：由函数图象可知，顶点坐标，对称轴方程为； （2）解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，函数有最大值，最大值是； （4）解：由函数图象可知，当或时，；当或时，；当时， 【点拨】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，正确画出对应的函数图象，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 4．（2025九年级·全国·专题练习）根据下列条件分别求出a的值或取值范围． （1）函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）函数有最大值． （3）抛物线与抛物线的形状相同． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、最值与二次项系数的关系． （1）根据二次函数的开口方向与增减性的关系，时，开口向下，时随增大而减小，时随增大而增大； （2）根据二次函数的最值与开口方向的关系，时，开口向下，函数有最大值； （3）抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，若两个抛物线形状相同，则它们二次项系数的绝对值相等，即可算出的取值． （1）解：∵当时，随增大而减小，时，随增大而增大， ∴， 解得：． （2）解：∵函数有最大值， ∴抛物线开口向下，即：， 解得：． （3）解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， 解得：或． 【题型5】已知顶点写二次函数顶点式 核心考点：根据顶点坐标、已知 值，快速写出二次函数顶点式解析式，夯实顶点式书写规范。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，抛物线平移时，向下平移改变y值，向左平移改变x值，先求原顶点坐标，再根据平移方向计算新顶点，最后写出新解析式． 解：∵ 原抛物线 的顶点为 ， ∴ 向下平移4个单位后，顶点变为 ， ∴ 再向左平移3个单位后，顶点变为 ， ∴ 新抛物线的解析式为 ， 故选A． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 解：∵左轮廓所在抛物线的解析式为， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 4．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 三.能力提升 【题型1】平移变式求函数解析式 核心考点：已知抛物线平移前后变化，逆向求解原解析式或平移后解析式，灵活运用平移法则。 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的平移，以及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据题意得到顶点坐标为，即可得到答案． 解：根据题意可得，顶点坐标为， 故平移后二次函数的解析式为． 故选C． 2．（2025·贵州铜仁·一模）已知二次函数的图像过点，图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴，图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意确定h和k，再将点代入解析式求出a，进而得出函数解析式． 解：设， ∵图像向右平移1个单位后以y轴为对称轴， ∴， ∵图像向上平移3个单位后与x轴只有一个公共点， ∴， ， 代入点，得， 解得， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次函数顶点式的图像与性质和待定系数法求函数解析式，掌握以上知识点是做出本题的关键． 3．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个，得到二次函数的图像，则原解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律是解题的关键 ．根据平移规律：左加右减，上加下减即可求解． 解：把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后得到：， 又平移后的解析式为：， ， 解得，， 故答案为： 4．（2026·上海黄浦·一模）如果一个二次函数的图像的对称轴是轴，且这个图像经过平移后能与重合，那么这个二次函数的解析式可以是______．（只要写出一个） 【答案】 【分析】先设原抛物线的解析式为，根据二次函数的图像平移性质知，据此写出符合要求的解析式即可． 解：解∶先设原抛物线的解析式为， 经过平移后能与抛物线重合， ∴， ∴这个二次函数的解析式可以是（答案不唯一）． 【点拨】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键． 【题型2】顶点式函数值大小比较 核心考点：根据点到对称轴的距离，结合开口方向，比较抛物线上多点的函数值大小，综合运用图象性质。 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线得到当时，随的增大而增大，再根据，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解： ∴当时，有最大值为 ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴，即 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·阶段检测）抛物线（n是常数）经过三点，且，则下列关于的大小关系的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质及判断函数值的大小是解题关键． 根据函数解析式确定抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性质及与对称轴的距离即可求解． 解：的对称轴为，开口向下， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； ∵， ∴， 离对称轴越近y值越大， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线（是常数）上，若，，则下列大小比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，． 解：∵， ∴，有最大值为， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， 设的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 4．（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）若点在二次函数的图象上，则关于 的大小，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质进行比较即可． 解：∵， ∴抛物线的开口向上， ∵对称轴为， ∴二次函数的图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 四.素养探究 【题型】顶点式与几何图形综合 核心考点：结合抛物线顶点、与坐标轴交点，求解几何图形面积、线段长度，数形结合综合应用。 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求抛物线顶点的坐标； （2）连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． （1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． （1）当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； （2）当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】（1），，的面积为；（2）3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． （1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段检测）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 4．（2025·河北承德·一模）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． （1）直接写出点B的坐标________； （2）求抛物线的表达式； （3）点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、平移、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据顶点式写出坐标即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）①由中点坐标公式得点，求出点E的坐标为，即可得到答案；②点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，求出点，根据平移规律即可得到答案． （1）解：∵抛物线 ∴顶点为B的坐标为． 故答案为： （2）由题意得：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 抛物线的表达式为 即为； （3）①由（1）知，， 由中点坐标公式得点， 当时，， ∴点E的坐标为， 则； ②由（2）知，， ∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O， 当时，， 则（不合题意的值已舍去）， 即点； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴根据点C平移的规律可得到 五.中考链接 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 解：∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 二、填空题 3．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 4．（2026·辽宁·中考真题）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 三、解答题 5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． （1）解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 6．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． （1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $