1.2（1）二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从概念梳理到中考应用梯度递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|二次函数图象与性质核心概念|填空形式梳理开口方向、对称轴等基础知识点| |基础达标|抛物线特征、开口大小、增减性等单一考点|选择、填空结合画图题，如描点法画图象| |能力提升|性质综合应用与函数值比较|多抛物线性质辨析，利用对称轴比较点坐标| |素养探究|二次函数与一次函数综合|联立函数求交点、结合图象分析解集| |中考链接|中考真题题型|选择、填空及解答题，如“完美三角形”情境题|

1.2（1）二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】识别抛物线基本特征（开口方向、对称轴、顶点坐标） 2 【题型2】利用判断抛物线开口大小 4 【题型3】二次函数增减性与最值基础判断 6 【题型4】抛物线对称性，图象上点的坐标特征 9 【题型5】描点法画简单图象 12 三.能力提升 18 【题型1】根据图象图象与性质综合 18 【题型2】比较抛物线上若干点的函数值大小 20 四.素养探究 23 【题型】与简单一次函数综合 23 五.中考链接 29 六.自我评价 36 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空，梳理本节核心知识点： 1. 二次函数 的图象是一条________，画该函数图象常用________法，步骤分为列表、描点、连线。 2. 抛物线 的对称轴是________，顶点坐标为________。 3. 当 时，抛物线开口向________，顶点是抛物线的最____点；当 时，函数取得最____值为____；当 ， 随 的增大而________；当 ， 随 的增大而________。 4. 当 时，抛物线开口向________，顶点是抛物线的最____点；当 时，函数取得最____值为____；当 ， 随 的增大而________；当 ， 随 的增大而________。 5. 决定抛物线开口大小：越大，抛物线开口越___；越小，抛物线开口越____。 【参考答案】 1. 抛物线；描点 2. y轴（直线）； 3. 上；低；小；0；减小；增大 4. 下；高；大；0；增大；减小 5. 小；大 二.基础达标 【题型1】识别抛物线基本特征（开口方向、对称轴、顶点坐标） 核心考点：直接识别 的开口方向、对称轴、顶点坐标；区分 与对应的图象特征。 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）抛物线不相同的是（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是比较二次项系数的符号对开口方向的影响． 比较两条抛物线和的性质，包括形状大小、开口方向、对称轴和顶点坐标．由于二次项系数绝对值相同，形状大小相同；对称轴均为y轴；顶点均为原点；但开口方向相反． 解：抛物线的形状大小相同；对称轴均为；顶点均为，但开口方向相反， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 3．（25-26九年级上·新疆和田·阶段检测）函数的图象开口方向是________，顶点坐标是___________，对称轴是___________． 【答案】 向上 直线 【分析】本题考查二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的图象进行求解即可． 解：函数的图象开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线， 故答案为：向上，，直线． 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】抛物线开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；抛物线开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为． 解：抛物线中， ， 抛物线开口向下，对称轴是直线（轴），顶点坐标为； 抛物线中， ， 抛物线开口向上，对称轴是直线（轴），顶点坐标为． 【题型2】利用判断抛物线开口大小 核心考点：理解 对开口宽窄的影响；比较多个抛物线开口大小。 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 【答案】②③① 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小；绝对值越小，开口越大，由此问题可求解． 解：对于二次函数，开口大小与成反比；函数①的，函数②的，函数③的； 比较的大小：， 因此开口大小从大到小排列为②、③、①； 故答案为②③①． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）下列二次函数①的图象，开口大小从大到小排列是 ________．（填对应的序号） 【答案】②③① 【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，的绝对值越小，开口越大．利用二次函数的绝对值决定抛物线的开口大小可得出答案． 解：， 抛物线开口按从大到小的顺序排列是②③①， 故答案为：②③①． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 【题型3】二次函数增减性与最值基础判断 核心考点：根据解析式判断增减变化、函数最大（小）值；理解顶点处取得最值。 1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）对于二次函数，当时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象的性质．根据二次函数的性质，由二次项系数判断开口方向，再根据对称轴分析增减性． 解：二次函数的二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为． 当 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大． 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值． 解：， 二次函数图象的对称轴为，且开口向上， 在范围内，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 故选：C． 3．（2025九年级·全国·专题练习）当时，二次函数的最大值为______，最小值为______． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数单调性得出是解题关键． 利用二次函数增减性分别得出最值即可． 解：∵二次函数中，对称轴为轴，， ∴开口向下，当时，取得最大值，， ∵对称轴为轴， ∴和取得的函数值相等， ∵开口向下， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最小值，， 故答案为：，． 4．（2025九年级·全国·专题练习）已知， （1）当________时，它的图象是开口向下的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． （2）当________时，它的图象是开口向上的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． 【答案】（1）；；（2）1； 【分析】本题考查了二次函数的定义及函数的增减性，牢记二次函数的增减性是解答本题的关键． （1）（2）函数 的图像为抛物线时，指数 ，解得 ，开口方向由系数 的符号决定： 时开口向下， 时开口向上，增减性根据二次函数的性质判断即可． （1）解：当图像是开口向下的抛物线时，需满足 且 解 得 ，所以 ， 由 ，得 ， 此时函数为 ，是开口向下的抛物线， 当 时，y 随 x 的增大而增大； （2）解：当图像是开口向上的抛物线时，需满足 且 ， 解 得 ，所以 ， 由 ，得 此时函数为 ，是开口向上的抛物线， 当 时，y 随 x 的增大而增大． 【题型4】抛物线对称性，图象上点的坐标特征 核心考点：抛物线关于y轴对称，若点在抛物线上，则点也在抛物线上；已知点求参数。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数的图象关于y轴对称，利用二次函数的对称性即可解答． 解：根据题意可得二次函数的图象关于y轴对称， ∵图象过点， ∴点关于y轴的对称点也在函数图象上． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______．    【答案】 【分析】本题考查抛物线的性质以及直角三角形的性质． 先根据抛物线的对称性得出，两点关于轴对称，，进而得到直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出点坐标，将坐标代入即可求出． 解：如图，   抛物线的对称轴为轴，且轴， , 为直角三角形， 是等腰直角三角形， 关于轴对称， 点和点到的距离相等， ， ， 点的横坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 点纵坐标为，即， 将代入得，． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 4．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 【答案】点不在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据二次函数的性质可得顶点坐标；将点坐标代入二次函数解析式即可判断点在二次函数图象上；根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可求得和的坐标，分别代入二次函数解析式即可判断是否在二次函数图象上． 解：二次函数的图象的顶点坐标是． 当时，， 点在二次函数的图象上． 点为点关于轴的对称点，点为点关于轴的对称点， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点不在二次函数的图象上， 当时，， 点在二次函数的图象上． 【题型5】描点法画简单图象 核心考点：描点法画图步骤：列表、描点、光滑曲线连线；以x=0为中心对称取值。 1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 【答案】如图： 的图象向上平移1个单位得的函数图象； 的对称轴是y轴，顶点坐标是； 的对称轴是y轴，顶点坐标是． 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答． 解：令时，则，； 令时，则，； 令时，则，； 即函数经过点； 即函数经过点； 再描点，然后依次用光滑的曲线连接 2．（25-26九年级上·全国·期中）已知抛物线经过点 （1）求a的值； （2）在直角坐标系中画出该函数的图象； （3）说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （4）若点也在此抛物线上，求m的值． 【答案】（1）；（2）图象如下： （3）抛物线开口向上，对称轴是轴，顶点坐标 （4） 【分析】（1）将点坐标代入计算即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图象写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可； （4）将点坐标代入计算即可． （1）解：∵抛物线经过点， ， ； （2）解：由（1）可知，抛物线，图象过，，， （3）解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标； （4）解：点也在此抛物线图象上， ， ， 【点拨】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，描点法画二次函数图象，求自变量或函数值，是解题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 （2）在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】（1）点的纵坐标为，点的横坐标为，，；（2）画图如下所示： 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． （1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， 4．（25-26八年级下·天津·期中）五点法画出函数的图象． （1）根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y （2）在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 【答案】（1）解：填表如下： x 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 （2）解：画出抛物线如下： 【分析】本题考查了求函数值，画二次函数的图象，解题的关键是数形结合． （1）把自变量的值代入函数式中，可以求得对应的函数值； （2）描点、连线得到二次函数的图象 解：（1）略 （2）略 三.能力提升 【题型1】根据图象图象与性质综合 核心考点：开口方向、开口大小、对称轴、最值综合 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 【答案】 ②③⑤ ① ①④ 解：（1）①，图象开口向下；②，图象开口向上；③，图象开口向上；④，图象开口向下；⑤，图象开口向上； （2），图象开口向下且开口最大的是①； （3）①，图象开口向下，故图象有最高点；④，图象开口向下，故图象有最高点． 3．（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 【题型2】比较抛物线上若干点的函数值大小 核心考点：利用对称轴，比较横坐标距离对称轴远近，判断函数值大小；区分开口向上、向下两种情况。 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 比较抛物线上点的纵坐标大小，根据开口方向及对称轴分析函数值变化趋势即可求解． 解：∵抛物线顶点为坐标原点，开口向下，对称轴为y轴． ∴ 当时，函数图象在第三象限，y随x增大而增大，当时，函数图象在第四象限，y随x增大而减小， ∵ ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，点、、都在函数的图象上，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由可得，又由可得当时，的值随的增大而减小，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴当时，的值随的增大而减小， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，点都在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称轴为轴，图象开口向上，又由时，则有，三点都在对称轴左边，最后根据随的增大而减小，由此可判断，，的大小关系． 解：∵当时，，而抛物线的对称轴为轴，开口向上， ∴三点都在对称轴的左边，随的增大而减小， ∴， 故选：． 【点拨】此题考查了二次函数的性质，正确理解题意得到是解题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 四.素养探究 【题型】与简单一次函数综合 核心考点：联立简单函数，求交点坐标；结合图象对交点情况做简单分析。 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴的直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键． 由可得，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可． 解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点， ∴令，可得纵坐标为，纵坐标为 ， ，， ． ， ． 故选：D． 2．（2025·山东泰安·三模）如图点，，在抛物线上，点，，在y轴上，若，，都为等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数与二次函数的交点问题，表示出直线的表达式并与二次函数联立求解是关键．根据等腰直角三角形的性质可得，，从而可得直线的表达式，与联立可得的坐标，进而可得，从而得直线的表达式，与联立可得的坐标，进而求得的坐标，总结规律即可得解． 解：、都为等腰直角三角形， ，， 直线的表达式为， ， 解得， ， ∴即, 直线的表达式为， ， 解得， ∴, ∴,即， ， ∴， ∴即 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点． （1）求的值； （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，图像法求不等式解集是关键． （1）把点A代入一次函数得到m的值，把点B代入一次函数得到n的值，把点A代入二次函数得到a的值； （2）根据图象解不等式即可． （1）解：二次函数与一次函数的图象相交于、两点， ∴，则， ， 解得，，则， 把点代入二次函数解析式得，， 解得，； （2）解：不等式变形得，， 即二次函数图象在一次函数图象的下方， ∴当时，， 即当时，． 4．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，其中． （1）求的面积； （2）当时，求的最值； （3）当时，描述的增减性． 【答案】（1）3；（2）的最小值为，最大值为0；（3）当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质， （1）首先利用待定系数法求出，，然后联立求出，然后求出一次函数与y轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）首先求出二次函数顶点坐标，然后结合图象求解即可； （3）首先根据二次函数的对称性求出点B关于对称轴对称的点的坐标为，然后结合图象求解即可． （1）解：将代入，得 ∴ 将代入，得 ∴ ∴ 联立得，，即 ∴ 解得， 将代入 ∴ 当时，一次函数 ∴的面积； （2）当时，，当时，， ∴由图象可得，当时，， 即的最小值为，最大值为0； （3）∵ ∴对称轴为y轴， ∵ ∴点B关于对称轴对称的点的坐标为 ∴由图象可得，当时， 当时，随x的增大而增大； 当时，随x的增大而减小． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 解： 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 二、填空题 3．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 4．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 三、解答题 5．（2025·陕西商洛·一模） 已知二次函数的图像经过． （1）求这个二次函数的解析式； （2）请写出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴和开口方向． 【答案】（1）；（2）顶点坐标为，对称轴为y轴，开口方向向下 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质． （1）根据二次函数的图像经过，可得a的值，进而得出二次函数的解析式； （2）根据二次函数的解析式为即可得到顶点坐标、对称轴和开口方向． （1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为y轴，开口方向向下． 6．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】（1）①③；（2）；（3）． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． （1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2（1）二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】识别抛物线基本特征（开口方向、对称轴、顶点坐标） 2 【题型2】利用判断抛物线开口大小 2 【题型3】二次函数增减性与最值基础判断 3 【题型4】抛物线对称性，图象上点的坐标特征 4 【题型5】描点法画简单图象 5 三.能力提升 6 【题型1】根据图象图象与性质综合 6 【题型2】比较抛物线上若干点的函数值大小 7 四.素养探究 8 【题型】与简单一次函数综合 8 五.中考链接 10 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空，梳理本节核心知识点： 1. 二次函数 的图象是一条________，画该函数图象常用________法，步骤分为列表、描点、连线。 2. 抛物线 的对称轴是________，顶点坐标为________。 3. 当 时，抛物线开口向________，顶点是抛物线的最____点；当 时，函数取得最____值为____；当 ， 随 的增大而________；当 ， 随 的增大而________。 4. 当 时，抛物线开口向________，顶点是抛物线的最____点；当 时，函数取得最____值为____；当 ， 随 的增大而________；当 ， 随 的增大而________。 5. 决定抛物线开口大小：越大，抛物线开口越___；越小，抛物线开口越____。 二.基础达标 【题型1】识别抛物线基本特征（开口方向、对称轴、顶点坐标） 核心考点：直接识别 的开口方向、对称轴、顶点坐标；区分 与对应的图象特征。 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）抛物线不相同的是（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 2．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 3．（25-26九年级上·新疆和田·阶段检测）函数的图象开口方向是________，顶点坐标是___________，对称轴是___________． 4．（25-26九年级下·全国·课后作业）不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【题型2】利用判断抛物线开口大小 核心考点：理解 对开口宽窄的影响；比较多个抛物线开口大小。 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）二次函数①，②，③的开口大小从大到小排列为_____（填入编号） 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）下列二次函数①的图象，开口大小从大到小排列是 ________．（填对应的序号） 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【题型3】二次函数增减性与最值基础判断 核心考点：根据解析式判断增减变化、函数最大（小）值；理解顶点处取得最值。 1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）对于二次函数，当时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．（24-25九年级上·四川德阳·阶段检测）对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 3．（2025九年级·全国·专题练习）当时，二次函数的最大值为______，最小值为______． 4．（2025九年级·全国·专题练习）已知， （1）当________时，它的图象是开口向下的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． （2）当________时，它的图象是开口向上的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． 【题型4】抛物线对称性，图象上点的坐标特征 核心考点：抛物线关于y轴对称，若点在抛物线上，则点也在抛物线上；已知点求参数。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______．    3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象的顶点坐标是什么？点在二次函数的图象上吗？请分别写出点关于轴的对称点的坐标、关于轴的对称点的坐标．点B，C在二次函数的图象上吗？ 【题型5】描点法画简单图象 核心考点：描点法画图步骤：列表、描点、光滑曲线连线；以x=0为中心对称取值。 1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 2．（25-26九年级上·全国·期中）已知抛物线经过点 （1）求a的值； （2）在直角坐标系中画出该函数的图象； （3）说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （4）若点也在此抛物线上，求m的值． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 （2）在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 4．（25-26八年级下·天津·期中）五点法画出函数的图象． （1）根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y （2）在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 三.能力提升 【题型1】根据图象图象与性质综合 核心考点：开口方向、开口大小、对称轴、最值综合 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 3．（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【题型2】比较抛物线上若干点的函数值大小 核心考点：利用对称轴，比较横坐标距离对称轴远近，判断函数值大小；区分开口向上、向下两种情况。 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知，点、、都在函数的图象上，则（　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，点都在函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 四.素养探究 【题型】与简单一次函数综合 核心考点：联立简单函数，求交点坐标；结合图象对交点情况做简单分析。 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·三模）如图点，，在抛物线上，点，，在y轴上，若，，都为等腰直角三角形，则点的坐标为______． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点． （1）求的值； （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 4．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，其中． （1）求的面积； （2）当时，求的最值； （3）当时，描述的增减性． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 3．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 4．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 三、解答题 5．（2025·陕西商洛·一模） 已知二次函数的图像经过． （1）求这个二次函数的解析式； （2）请写出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴和开口方向． 6．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $