1.1 二次函数的意义-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

上册 第1章 二次函数 1.1二次函数的意义 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1,★下列函数中，是二次函数的为 () Ay--3 B.y=x2-(x-1)2 Cy=22+3 D=士3 2.若一个直角三角形的两条直角边的长之和为20cm,其中一条直角边的长为xcm,面积为 ycm,则y与x之间的函数表达式为 () A.y=10x B.y=20x-x2 Cy=10x-吉 D.y=10x-x2 3.易错题若函数y=(3一m)xm-1一x十1是关于x的二次函数，则m的值为 4,某印刷厂10月印书20万册，从11月起，每月的印书量的增长率都为x.假设12月比10月多印 了y万册，那么y关于x的函数表达式为 (化为一般形式)，其二次项系数为 一次项系数为 ,常数项为 5.教材变式题已知二次函数y=a.x2+c.当x=1时，y=一1；当x=2时，y=5.当y=7时，求x 的值 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，一1,0的为 () A.y=(x-2)(x+1) B.y=(x-1)2-2x2-1 C.y=(x+2)(x-3)+6 D.y=(2x-1)2-3(x2-x) 7.如图，正方形ABCD的边长为5，F是BC上一动点，过对角线的交点E作EG⊥EF,交CD于点 G,连结FG.设BF的长为x,△EFG的面积为y,则y与x之间的函数表达式为 )》 Ay=-号+906) 4 C.y=2x2-10.x+25(0≤x≤5) G (第7题) D.y=2x2-10x+25(0<x<5) 8.分类过论思想若y=(m十1)xm-2+2x2+3是关于x的二次函数，则m的值为 9.已知y=y1十y2y1与x2成正比，y2与x-2成正比.当x=1时，y=1;当x=-1时，y=-5, 则y关于x的函数表达式为 当x=0时，求y的值为 :注：标“易错题”的设有“易错警示”，标“★”的题目设有“方法归纳”，详见分册“答案与解析”. 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 10.舒向探究题如图，用同样规格的灰、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答 下列问题. (1)在第n幅图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n的 代数式表示). (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n之间的函数表达式，并化为一般 形式 (3)是否存在灰色瓷砖与白色瓷砖块数相等的情形？请说明理由. n=2 n=3 (第10题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6,D为BC的中点. (1)如图①，若E,F分别是AB,AC上的点，且AE=CF,求证：△AED≌△CFD. (2)在(1)的条件下，求四边形AEDF的面积. (3)若点F,E分别从点C,A同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA,AB运动，到点A,B时 停止（如图①）.设△DEF的面积为y,点F运动的时间为xs,求y与x之间的函数表达式. (4)在(3)的条件下，若点F,E分别沿CA,AB的延长线继续运动（如图②），求此时y与x之 间的函数表达式 ② (第11题) 2 >“答案与解析”见D1上 第1章 1.1二次函数的意义 1.Cy-一3不是二次函数，故A不符合题意.y x2-(x-1)2=2x一1是一次函数，故B不符合题意.y= 名r十是二次丽数故C符台题意=-3不是二次 函数，故D不符合题意 方法归纳 判断一个函数是否为二次函数的方法 (1)先将函数进行整理，使其等号右边是只含有自 变量的代数式，左边是因变量.(2)判断右边含自变量的 代数式是否为整式.(3)判断含自变量的项的最高次数 是否为2.(4)判断二次项的系数是否为0.右边含自变 量的代数式为整式，含自变量的项的最高次数为2，二次 项系数不为0的函数为二次函数 2.C根据题意，得另一条直角边的长为(20一x)cm,所以 1 y=2x(20-x)=10x-2x2. 3-m≠0， 3.-3由题意，得 解得m=-3. m2-7=2,1 易错警示 利用二次函数的定义求字母的值时， 易忽略二次项系数不为0 根据二次函数自变量的最高次数是2，列出关于所 求字母的方程后求解时，易忽略二次项系数不为0这一 条件而导致多解。 4.y=20x2+40x20400根据题意，得y=20(1+ x)2一20=20x2十40x,其二次项系数为20，一次项系数为 40,常数项为0. 5由题意，得a十c=一1 4a+c=5, 解得a-2, c=-3. 所以二次函数的 表达式为y=2x2一3.令y=7,则2x2一3=7，解得x= ±/5 6.Cy=(x一2)(x十1)=x2一x一2，二次项系数、一次 项系数和常数项分别是1，一1，一2，故A不符合题意.y (x一1)2一2x2一1=一x2-2x,二次项系数、一次项系数和 常数项分别是一1，一2,0，故B不符合题意.y=(x十2)· (x一3)十6=x2一x,二次项系数、一次项系数和常数项分 别是1，-1,0，故C符合题意.y=(2x-1)2-3(x2-x)= x2一x十1，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1， D 册 二次函数 一1,1，故D不符合题意. 7.A因为四边形ABCD是正方形，所以∠EBF= ∠ECG=45°，EB=EC,AC⊥BD.又因为EG⊥EF,所以 ∠BEC=∠FEG=9O°.所以∠BEC-∠FEC=∠FEG一 ∠FEC,即∠BEF=∠CEG.所以△BEF≌△CEG.所以 BF=CG=x,EF=EG.所以CF=5-x.因为∠FEG= 90°，所以FG2=EF2+EG=2EF2.在Rt△CFG中， FG2=CF2+CG2,即FG=(5-x)2+x2=2x2-10x+ 25.因为y=2G·EF=号EF,所以y=G- 子(2r-10x+25)号r2-号x+空.因为点F能与点 B或点C重合，所以0≤x≤5.所以y与x之间的函数表达 式为y=r-号+空0r5》 1 8.一1或士2或士5或士2①当m十1=0时，是二次 函数，此时m=一1.②当m2-2=2,m+1+2≠0时，是二 次函数，此时m=士2.③当m2一2=1时，是二次函数，此 时m=土3.④当m2一2=0时，是二次函数，此时m= 土√2.综上所述，m的值为一1或士2或±3或土√2. 9.y=4x2+3x-6-6由y=y1+y2y1与x2成正 比，y2与x一2成正比，可设y1=k1x2(k1≠0)，y2=k2· (x一2)(k2≠0)，则y=k1x2十k2(x-2).因为当x=1时， k1一k2=1, y=1;当x=-1时，y=-5,所以 解得 k,-3k2=-5, k,=4, 所以y关于x的函数表达式为y=4x2十3(x一 k2=3. 2)=4x2+3x一6.所以当x=0时，y=4X02十3X0一 6=-6. 10.(1)(n+3);(n十2).观察图形，得当n=1时，每一 横行共有1+3=4（块）瓷砖，每一竖列共有1+2=3（块）瓷 砖；当n=2时，每一横行共有2十3=5（块）瓷砖，每一竖列 共有2十2=4（块）瓷砖；当n=3时，每一横行共有3十3- 6(块)瓷砖，每一竖列共有3十2=5（块）瓷砖.所以在第 n幅图中，每一横行共有(n十3)块瓷砖，每一竖列共有 (n十2)块瓷砖. (2)由题意，得y与n之间的函数表达式为y=(n十3)· (n+2),即y=n2+5n十6.(3)不存在.理由：观察题 图可知，每一横行有白瓷砖（十1）块，每一竖列有白瓷砖 n块，所以白瓷砖的总数是n(n十1)块.因为灰、白两色瓷 砖的总块数为n2十5n十6，所以当灰、白两色瓷砖的块数相 等时，n(n+1)=(n+5n+6)一n(n+1).整理，得n2一 3潮-6=0，解得M-3计图m,-3二因.因为1 2 2 的值不是正整数，所以不存在灰色瓷砖与白色瓷砖块数相 等的情形 11.(1)因为∠BAC=90°，AB=AC=6,D为BC的中点， 所以∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°.所以AD= BD=CD.又因为AE=CF,所以△AED≌△CFD. (2)因为△AED≌△CFD,所以S△Am=S△cm.所以 S四边无ABDF=S△ABm十S△ADr=S△CPD十S△ADr=S△AC= 2Sam=子AB·AC-子×6×6=9.(3)根据题意， 得CF=AE=z,所以AF=6-.所以Sm=AP· 1 1 AE=2(6-x)·x=-22+3z.所以y=SAmr= 5aas-5aw=9-(-2x2+3）-合r2-3x+9 1 (0≤x≤6).(4)根据题意，得AF=BE=x一6，AD= BD,∠DAC=∠ABD=45°，所以∠DAF=∠DBE= 135°.所以△ADF≌△BDE.所以S△ADr=S△BE.所以 S四边无ADFr一S△ADF=Sm边无ADr一S△DE,即S△Dm= Sa+5:因为Sawm=25c=子AB·AC=9, 1 1 所以y=S△ner=S△EAP+S△ADs=2(x一6)·x+9= x2-3x+9(x>6). 1 1.2二次函数的图象 第1课时二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 1.C对于二次函数y=2x2,当x=-1时，y=2×(一1)2= 2,所以它的图象经过点（一1,2），不经过点（一1，一2）.故A 错误.它的图象是抛物线，其对称轴是y轴，即直线x=0. 故B错误.因为a=2>0,所以它的图象开口向上，在对称 轴左侧，即当x<0时，它的图象从左到右呈下降趋势.故C 正确.它的图象的顶点为坐标原点(0,0)，为最低点.故D 错误 2.B解法一：因为二次函数y=ax2的图象经过点P(2, 4),所以4=4a,解得a=1.所以y=x2.当x=-2时，y= 4,所以该函数的图象必经过点（一2,4）.解法二：因为二 次函数y=Q.x2的图象关于y轴对称且经过点P(2,4),所 以该函数的图象必经过点（一2,4）. 3.a>b>d>c解法一：由题图，得a,b均为正数，c,d 均为负数.因为二次项系数的绝对值越大，图象的开口越 小，所以a>b>d>c.解法二：因为直线x=1与四个二 次函数图象的交点从上到下依次为(1，a),(1,b),(1,d), (1,c),所以a>b>d>c 4.(1)因为这个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是 y轴，所以可设这个二次函数的表达式为y=aa2.因为点 (一3,9)在该二次函数的图象上，所以9=a×(一3)2，即 9a=9,解得a=1.所以这个二次函数的表达式为y=x2. (2)把x=1.1代入y=x2,得y=1.1=1.21,所以点 (1.1,1.21)在这个函数的图象上. 5.D当a<0时，因为ab>0,所以b<0.此时函数y= x2的图象是顶点在原点、开口向下的抛物线，函数y= ax十b的图象过第二、三、四象限，符合条件的是D选项. 当a>0时，因为ab>0,所以b>0.此时函数y=ax2的图 象是顶点在原点、开口向上的抛物线，函数y=a.x十b的图 象过第一、二、三象限，没有符合条件的选项. 方法归纳 判断函数图象的方法 (1)分类讨论法：按系数的正负进行讨论. (2)逐项排除法：假定选项中某一函数图象正确，然 后判断另一函数图象是否合理 6.A当抛物线y=a.x2经过点(1,3)时，a=3.当抛物线 y-a经过点(3,1)时a一.因为抛物线开口向上，所 以a的值越大，开口越小.观察题图，得实数a的取值范围 是g≤u≤3， 7.C因为二次函数y=x2的图象开口向上，2026> 2025,所以点M比点(45,2025)离二次函数y=x2图象 的对称轴(y轴)远.所以当点M在对称轴左侧时，m< 一45；当点M在对称轴右侧时，m>45.综上所述，m>45. 1 88因为函数y=32与y=一3x的图象关于x轴 对称，所以易得题图中涂色部分的面积是题图中正方形面 积的一半.又因为边长为4的正方形的面积为16，所以涂 色部分的面积是8. 9.设直线l对应的函数表达式为y=bx十b.因为点A(4, 4k十b=0 0),B(0,4)在直线1上，所以 所 b=4, 解得一1， b=4. 以y=-x十4.由A(4,0),得OA=4.又因为△AOP的面 积为号所以宁×4=号，解得=是将y=号代入 y=-x十4，得x一子所以点P的坐标为（子，）因为 点P(仔，是)在地物线y=ar上，所以铝a=具，解得 a一治所以。的值为器 10 ·设点A,B的横坐标为a(a>0),则易得点A的纵