1.1 二次函数的意义（1）课时同步分层练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 资料名称：1.1 二次函数的意义（1）；课程：初中数学；场景：新授课；资料类型：同步练。特色：三层递进设计，从概念辨析到综合应用，强化二次函数定义理解，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|二次函数定义、系数识别|以选择填空为主，如判断函数类型、确定二次项系数，夯实概念基础| |巩固提升|含参数二次函数判断、函数类型辨析|通过解答题深化定义应用，如参数取值范围讨论，发展推理能力| |能力应用|新定义问题（不动点、平衡点）|结合创新情境探究，如“不动点”存在性分析，培养创新意识|

1.1 二次函数的意义（1）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．下列函数中，是正比例函数的是(　　) A． B． C． D．y=2x+3 【答案】C 【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念 【解析】【解答】解：A、 ，是二次函数，不符合正比例函数定义，A错误； B、 ，是反比例函数，不符合正比例函数定义，B错误； C、 ，可化为，符合y=kx（）的形式，是正比例函数， C正确； D、y=2x+3，是一次函数（含常数项），不符合正比例函数定义． 故答案为：C . 【分析】先根据正比例函数的定义，明确函数形式为y=kx（k为常数且k≠0）；再依次对每个选项进行判断：A选项是二次函数，B选项是反比例函数，D选项是含常数项的一次函数，均不满足定义；最后确定只有C的符合正比例函数的形式，是正比例函数． 2．若函数是二次函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：C． 【分析】 根据函数是二次函数得到求解即可得到答案. 3．下列函数中，y是x的二次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、当时，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意； 故答案为：C． 【分析】 根据二次函数的定义（形如y=ax2+bx+c，a≠0），逐一分析各选项是否符合. 4．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A：，为一次函数，不是二次函数； B：，当时y=bx+c，此时不是二次函数，因此不一定为二次函数； C：是整式，，因此是二次函数； D：不是整式，因此不是二次函数； 故答案为：C． 【分析】二次函数的定义，即形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次．本题根据二次函数的定义逐项进行分析判断即可。 5．若函数 是关于 x的二次函数，则 m为（　　) A．2 B．±2 C．-2 D．0 【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数 ∴m-2≠0，且m2-2=2 解方程m2-2=2，即m2=4， 解得m=2或m=-2， 又∵m-2≠0 ∴m≠2， ∴m=-2 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出关系式即可求出m的值. 6．已知 y=（m+2) x|m|是关于 x的二次函数， 那么m=　 　 . 【答案】2 【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二次函数的定义 【解析】【解答】解： ∵ y= （m+2) x|m|是关于 x的二次函数 ∴且 ∴m=2 故答案为：2. 【分析】根据二次函数的定义得到且，根据绝对值的意义得到符合条件的m的值，解答即可. 7． 若 是关于x的二次函数，则m的值为　 　. 【答案】2 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由题意知，解得m=2. 故答案为： 2. 【分析】直接根据二次函数的概念得到关于m的关系式，即可得m的值. 8．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】解： 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 -1 0 0 -2 0 -2 -1 1 -1 52 【知识点】二次函数的定义 【解析】【分析】根据二次函数的相关定义进行作答即可. 9．若是关于x的二次函数． （1）求m的值及函数表达式． （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，， 由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答 】解：（2）二次函数y=-3x2+5x的二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 【分析】（1）形如“y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出关于字母m的混合组，求解可得m的值，进而得出抛物线的解析式； （2）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此解答即可. （1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 二、巩固提升 10．若函数是二次函数，则的值是　 　． 【答案】6 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：函数是二次函数， ， 解一元二次方程， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 又， ， ． 故答案为： ． 【分析】 确定函数为二次函数，需满足最高次项系数为2且二次项系数不为0.分两步求解：先解指数方程，在排除系数为0的情况. 11． 设 与x 成正比例，y2与x2成正比例，则y与x 之间的函数关系是(　　) A．反比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 【答案】C 【知识点】二次函数的定义；用关系式表示变量间的关系 【解析】【解答】解：∵与x 成正比例，y2与x2成正比例， ∴(k1≠0)，y2=k2x2(k2≠0)， ∵， ∴y=-k2x2， ∴ y与x 之间的函数关系是二次函数. 故答案为：D . 【分析】根据已知条件可得(k1≠0)，y2=k2x2(k2≠0)，再代入即可得出答案. 12．如果函数 是关于x 的二次函数，那么k 的值是(　　) A．1或2 B．0或2 C．2 D．0 【答案】D 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由已知可得k2-2k+2=2且k-2≠0， 解得：k=0. 故答案为：D . 【分析】根据二次函数的定义列出等式和不等式，即可得出答案. 13．若函数 是关于x 的二次函数，则(　　) A．m≠0 B．m≠2 C．x≠0 D．x≠2 【答案】B 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由已知可得，m-2≠0， ∴m≠2. 故答案为：B . 【分析】根据二次函数的定义可知，二次项的系数≠0，即可得出答案. 14．若函数表示是的二次函数，则的值为　 　． 【答案】 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【分析】由二次函数的定义得出，，分别求出不等式和方程的解，可得到符合题意的k的值. 15． 若 是关于x的二次函数，则m=　 　. 【答案】- 1或±2或±或± 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：①当m+1=0时，是二次函数，此时m=-1； ②当 m+1+2≠0时，是二次函数，此时m=±2； ③当 时，是二次函数，此时 ④当 时，是二次函数，此时 综上所述，m=-1或±2或 或 故答案为： - 1或±2或±或±. 【分析】根据二次函数的定义，可得方程，根据解方程，可得答案. 16．已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”．若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则的值为　 　. 【答案】2或-1或1 【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义 【解析】【解答】解：当m=1时，它是一次函数y=-3x+2，存在唯一“不动点”， 当m≠1时， ∵函数的图象上存在唯一“平衡点”， ∴有唯一实数根， 可化为， ∴． 解得m=2或-1． 故答案为：2或-1或1． 【分析】分m=1与m≠1两种情况讨论，m=1时是一次函数，m≠1时是二次函数，m≠1时，可得关于x的一元二次方程有唯一实数根，转化为关于m的方程求解. 17．已知函数 (a+2)x+3+c. （1）当a 为何值时，此函数是关于 x 的二次函数? （2）当a 为何值时，此函数是关于 x 的一次函数? （3）当a，c满足什么条件时，此函数是关于x的正比例函数? 【答案】（1）解：由题意，得 ∴a≠±2 （2）解：由题意，得 ，且a+2≠0， ∴a=2 （3）解：由题意，得 且3+c=0， ∴a=2，c=-3 【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念 【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义列出不等式，即可得出答案； （2）根据一次函数的定义列出不等式和等量关系式，即可得出答案； （3）根据正比例函数的定义列出不等式和等量关系式，即可得出答案. 18．已知函数y＝（m2-m）x2+（m-1）x-2（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【答案】（1）解：依题意m2-m＝0且m-8≠0， 所以m＝0； （2）解： 依题意m2-m≠0， 所以m≠1且m≠0． 【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义 【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，即可解决问题； （2）根据二次函数的定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，即可解决问题. 三、能力应用 19．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． （1）若点是该二次函数的一个不动点，求的值； （2）若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意把点代入解析式， 得，化简得：， 解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， ∴有，化简得，， 关于的方程有实数解， ， 解得：． 【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义 【解析】【分析】（1）将点（-1，-1）代入可得，再化简求解即可； （2）设点是函数的一个不动点，可得，再利用“关于的方程有实数解”可得，最后求出b的取值范围即可. （1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 二次函数的意义（1）-浙教版数学九上课时同步分层练 一、基础训练 1．下列函数中，是正比例函数的是(　　) A． B． C． D．y=2x+3 2．若函数是二次函数，则（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，y是x的二次函数是（　　） A． B． C． D． 4．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A． B． C． D． 5．若函数 是关于 x的二次函数，则 m为（　　) A．2 B．±2 C．-2 D．0 6．已知 y=（m+2) x|m|是关于 x的二次函数， 那么m=　 　 . 7． 若 是关于x的二次函数，则m的值为　 　. 8．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 9．若是关于x的二次函数． （1）求m的值及函数表达式． （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 二、巩固提升 10．若函数是二次函数，则的值是　 　． 11． 设 与x 成正比例，y2与x2成正比例，则y与x 之间的函数关系是(　　) A．反比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 12．如果函数 是关于x 的二次函数，那么k 的值是(　　) A．1或2 B．0或2 C．2 D．0 13．若函数 是关于x 的二次函数，则(　　) A．m≠0 B．m≠2 C．x≠0 D．x≠2 14．若函数表示是的二次函数，则的值为　 　． 15． 若 是关于x的二次函数，则m=　 　. 16．已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”．若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则的值为　 　. 17．已知函数 (a+2)x+3+c. （1）当a 为何值时，此函数是关于 x 的二次函数? （2）当a 为何值时，此函数是关于 x 的一次函数? （3）当a，c满足什么条件时，此函数是关于x的正比例函数? 18．已知函数y＝（m2-m）x2+（m-1）x-2（m为常数）． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 三、能力应用 19．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． （1）若点是该二次函数的一个不动点，求的值； （2）若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念 【解析】【解答】解：A、 ，是二次函数，不符合正比例函数定义，A错误； B、 ，是反比例函数，不符合正比例函数定义，B错误； C、 ，可化为，符合y=kx（）的形式，是正比例函数， C正确； D、y=2x+3，是一次函数（含常数项），不符合正比例函数定义． 故答案为：C . 【分析】先根据正比例函数的定义，明确函数形式为y=kx（k为常数且k≠0）；再依次对每个选项进行判断：A选项是二次函数，B选项是反比例函数，D选项是含常数项的一次函数，均不满足定义；最后确定只有C的符合正比例函数的形式，是正比例函数． 2．【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：C． 【分析】 根据函数是二次函数得到求解即可得到答案. 3．【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、当时，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意； 故答案为：C． 【分析】 根据二次函数的定义（形如y=ax2+bx+c，a≠0），逐一分析各选项是否符合. 4．【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A：，为一次函数，不是二次函数； B：，当时y=bx+c，此时不是二次函数，因此不一定为二次函数； C：是整式，，因此是二次函数； D：不是整式，因此不是二次函数； 故答案为：C． 【分析】二次函数的定义，即形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次．本题根据二次函数的定义逐项进行分析判断即可。 5．【答案】C 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数 ∴m-2≠0，且m2-2=2 解方程m2-2=2，即m2=4， 解得m=2或m=-2， 又∵m-2≠0 ∴m≠2， ∴m=-2 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出关系式即可求出m的值. 6．【答案】2 【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二次函数的定义 【解析】【解答】解： ∵ y= （m+2) x|m|是关于 x的二次函数 ∴且 ∴m=2 故答案为：2. 【分析】根据二次函数的定义得到且，根据绝对值的意义得到符合条件的m的值，解答即可. 7．【答案】2 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由题意知，解得m=2. 故答案为： 2. 【分析】直接根据二次函数的概念得到关于m的关系式，即可得m的值. 8．【答案】解： 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 -1 0 0 -2 0 -2 -1 1 -1 52 【知识点】二次函数的定义 【解析】【分析】根据二次函数的相关定义进行作答即可. 9．【答案】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，， 由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答 】解：（2）二次函数y=-3x2+5x的二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 【分析】（1）形如“y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出关于字母m的混合组，求解可得m的值，进而得出抛物线的解析式； （2）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此解答即可. （1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 10．【答案】6 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：函数是二次函数， ， 解一元二次方程， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 又， ， ． 故答案为： ． 【分析】 确定函数为二次函数，需满足最高次项系数为2且二次项系数不为0.分两步求解：先解指数方程，在排除系数为0的情况. 11．【答案】C 【知识点】二次函数的定义；用关系式表示变量间的关系 【解析】【解答】解：∵与x 成正比例，y2与x2成正比例， ∴(k1≠0)，y2=k2x2(k2≠0)， ∵， ∴y=-k2x2， ∴ y与x 之间的函数关系是二次函数. 故答案为：D . 【分析】根据已知条件可得(k1≠0)，y2=k2x2(k2≠0)，再代入即可得出答案. 12．【答案】D 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由已知可得k2-2k+2=2且k-2≠0， 解得：k=0. 故答案为：D . 【分析】根据二次函数的定义列出等式和不等式，即可得出答案. 13．【答案】B 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由已知可得，m-2≠0， ∴m≠2. 故答案为：B . 【分析】根据二次函数的定义可知，二次项的系数≠0，即可得出答案. 14．【答案】 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【分析】由二次函数的定义得出，，分别求出不等式和方程的解，可得到符合题意的k的值. 15．【答案】- 1或±2或±或± 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：①当m+1=0时，是二次函数，此时m=-1； ②当 m+1+2≠0时，是二次函数，此时m=±2； ③当 时，是二次函数，此时 ④当 时，是二次函数，此时 综上所述，m=-1或±2或 或 故答案为： - 1或±2或±或±. 【分析】根据二次函数的定义，可得方程，根据解方程，可得答案. 16．【答案】2或-1或1 【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义 【解析】【解答】解：当m=1时，它是一次函数y=-3x+2，存在唯一“不动点”， 当m≠1时， ∵函数的图象上存在唯一“平衡点”， ∴有唯一实数根， 可化为， ∴． 解得m=2或-1． 故答案为：2或-1或1． 【分析】分m=1与m≠1两种情况讨论，m=1时是一次函数，m≠1时是二次函数，m≠1时，可得关于x的一元二次方程有唯一实数根，转化为关于m的方程求解. 17．【答案】（1）解：由题意，得 ∴a≠±2 （2）解：由题意，得 ，且a+2≠0， ∴a=2 （3）解：由题意，得 且3+c=0， ∴a=2，c=-3 【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念 【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义列出不等式，即可得出答案； （2）根据一次函数的定义列出不等式和等量关系式，即可得出答案； （3）根据正比例函数的定义列出不等式和等量关系式，即可得出答案. 18．【答案】（1）解：依题意m2-m＝0且m-8≠0， 所以m＝0； （2）解： 依题意m2-m≠0， 所以m≠1且m≠0． 【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义 【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，即可解决问题； （2）根据二次函数的定义：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，即可解决问题. 19．【答案】（1）解：根据题意把点代入解析式， 得，化简得：， 解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， ∴有，化简得，， 关于的方程有实数解， ， 解得：． 【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义 【解析】【分析】（1）将点（-1，-1）代入可得，再化简求解即可； （2）设点是函数的一个不动点，可得，再利用“关于的方程有实数解”可得，最后求出b的取值范围即可. （1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $