第4章 数据的集中趋势和离散程度 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第4章 数据的集中趋势和离散程度 幻高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一平均数的求法与应用 小结 本题考查算术平均数、加权平均数的求法以 典例1某学校要举行科技创新比赛，参赛选 及在实际问题中的应用，理解加权平均数的意义 手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示 与计算公式是解决问题的关键 三项考核，下表所列为甲、乙两名选手的各 对应练习 项考核成绩（单位：分） 1.某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 选手 创意设计 动手实践 答辩展示 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 甲 84 80 94 占比 70% 30% 乙 80 90 82 送餐费 4元/单 6元/单 (1)若根据三项考核成绩的平均分确定最终 该快递员十二月份平均每单的送餐费是 成绩，请通过计算说明甲、乙两名选手中谁 ( 的最终成绩更高 A.4.6元B.4.8元C.5元 D.5.2元 (2)若学校认为这三项考核的重要程度有所 2.学校广播站要招聘一名编辑，甲、乙、丙三 不同，而创意设计、动手实践、答辩展示在总 名同学报名并参加了3项素质测试，成绩 分中的占比为4：5：1，请通过计算说明甲、 乙两名选手中谁的最终成绩更高！ (单位：分)如下表： 分析 语言文字能力运用媒体能力创意设计能力 (1)根据平均数的计算公式分别求出甲、 甲 86 77 77 乙的成绩，再进行比较，可解决问题(2)根据 76 87 74 加权平均数的求法，计算得出两人的成绩，进而 丙 80 78 85 比较得出结果， (1)计算得甲、乙的平均分分别为80分， 解答：(1)甲的最终成绩为(84+80十94)÷ 79分，请求出丙的平均分，并根据三人的 3=86(分)， 平均分从高到低进行排序！ 乙的最终成绩为(80十90十82)÷3=84（分）. (2)学校认为：①单项最低分不能低于 .86>84, 75分；②三个项目的重要程度有所不同， ∴.甲的最终成绩更高 每名应聘者的语言文字能力、运用媒体能 (2)甲的最终成绩为(84×4+80×5+94× 力、创意设计能力的成绩应按5：2：3的 1)÷(4+5+1)=83(分)， 比例计算其最终成绩.请问谁能成功应聘？ 乙的最终成绩为(80×4+90×5+82×1)÷ (4+5+1)=85.2(分). .85.2>83, ∴.乙的最终成绩更高 31 数学（苏科版）九年级上 考点二 “三数”的应用 对应练习 典例2下表是某公司员工月收入的资料 3.农科院为了解某种小麦的长势，随机抽取 了部分该种麦苗，对苗高（单位：cm)进行 财务部门 技术 职位总经理 前台保安保洁 了测量.根据统计的结果，绘制出如图所 总监经理 人员 示的统计图.这组数据中，众数和中位数 数 2 10 2 分别是 月收 400003000060005000350030002000 株数 入/元 0 (1)这家公司员工月收入的平均数是7500元， 6 中位数是 ,众数是 (2)在(1)的平均数、中位数和众数中，哪些 统计量能反映该公司全体员工的收人水平？ 13 14 15 16 17苗高/cm (第3题) 请说明理由 A.16,15 B.16,15.5 (3)为了避免技术人员流失，该公司决定给 C.16,16 D.17,16 他们每人每月加薪x元，使他们的收入达到 公司员工月收人的平均数，求x的值 4.为迎接学期末的体育测试，小强每天坚持 分析 做引体向上，下表记录了他某星期每天做 (1)根据中位数和众数的定义进行求解. 引体向上的个数，其中有三天的个数被墨 (2)根据中位数、众数及平均数的意义进行求 汁覆盖了.如果这组数据唯一的众数是 解.(3)将技术人员工资与这家公司员工月收 13,平均数是12，那么这组数据的中位数 入的平均数比较即可得出答案， 是 解答：(1)5000元，5000元， 星 期日 四 (2)中位数和众数能反映该公司全体员工的 个 数 11 12 13 12 收入水平.理由：因为20名员工中有14人能 5.某餐厅为了提高服务质量，开展了顾客满 达到此工资水平 意度问卷调查，满意度共分为5档，从低 (3)根据题意，得(7500×20+10x)÷20= 到高为1分、2分、3分、4分、5分.工作人 5000+x,解得x=5000. ∴.x的值为5000. 员随机抽取了20名顾客进行调查，并制 小结 作了如下统计表： 本题考查中位数、众数在实际问题中的应 分数/分 1 2 3 4 5 用.众数不易受数据中极端值的影响.众数也是 份数 2 5 8 数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程 度，可作为描述一组数据集中趋势的量.中位数 根据以上信息，解答下列问题： 仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中 (1)若抽取的顾客中超过一半的评分不 位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中， 高于3分，则需要对餐厅进行整改.请通 也可能不在所给的数据中.当一组数据中的个别 过计算说明该餐厅是否需要整改， 数据变动较大时，可用中位数描述其趋势 (2)若抽取的顾客所评分数的平均数或 32 第4章数据的集中趋势和离散程度 中位数低于3分，则需要对餐厅进行整 根据已知信息，回答下列问题： 改.请通过计算说明该餐厅是否需要整改， (1)表格中的m= ,1n 袋 2(填“>”“=”或“<”) (2)将本次队员的综合得分按平均得分的 60%,平均每场篮板个数的40%计算，综合 得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表 现更好？ (3)从箱线图角度分析，甲、乙两名队员谁的 抢篮板技术更稳定？ 分析 (1)根据众数、中位数、方差的定义求解即 可.(2)分别求出甲、乙的综合得分，然后判断 即可.(3)根据箱线图的特点分析，合理即可 考点三四分位数和箱线图的应用 解答：(1)甲的得分（单位：分）按从小到大的 典例3为了提升学生体质健康水平，促进学 顺序排列为14,20,28,30,32,32， 生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体 ·中位数=28+30 =29(分)，即m=29. 育活动.在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙 2 两名队员表现优异，记分员记录了他们在近 乙的得分中28分出现的次数最多，∴.众数 六场比赛中关于得分、篮板的情况. 为28分，即n=28. 信息1： 在篮板个数的箱线图中，箱体的长度越大， 甲的得分（单位：分）：20,14,28,30,32,32： 数据越分散，方差越大，∴.s年>s2 乙的得分（单位：分）：26,28,25,28,28,27. 故答案为29；28；> 信息2： (2)甲的综合得分为26×60%十9×40%= 甲、乙篮板个数 19.2(分)， 16 14 乙的综合得分为27×60%+8×40%= 12 19.4(分). 8 6 .19.2<19.4, 甲 ∴.乙队员的表现更好」 (典例3图)》 (3)从箱线图可以看出，乙抢篮板情况的“箱 信息3：技术统计表 子”比甲的“箱子”更矮，说明数据更集中，数 平均 得分 得分中平均每场篮板 队 员 据波动小，说明乙更稳定（合理即可）： 得分/分众数/分位数/分篮板个数方差 小结 26 32 m 9 甲 本题综合考查平均数、中位数、众数、箱线图 27 n 27.5 8 与方差的关系，理解这些概念是解题的关键 33 数学（苏科版）九年级上 对应练习 数据 平均 最小 最大 6.小伟参加了今年的校园围棋挑战赛，共进 方 差 1m25m501m75 类型 数 值 值 行了12场比赛.积分统计小组根据小伟 零食A类 9.1 5.29 6 6 13 这12场比赛的得分绘制了如图所示的箱 直播间 线图.下列说法中，正确的是 ( ) 零食B类 1.56 1 2 3 4 5 得分/分 60 直播间 55 (1)补充上述表格中的空缺数据：a= 50 50 而 45 ,b= ,C= 44.25 40H d= 小伟围棋比赛得分 (2)结合表格和箱线图就两直播间的运 (第6题) 营效率进行分析： A.比赛的最高得分是50分 ①从平均数的角度分析可知 B.比赛得分的中位数是50分 C.比赛得分集中在44.25~50分之间 D.比赛得分的第三四分位数是44.25分 ②从方差的角度分析可知 7.某直播平台统计了零食A类直播间和零 食B类直播间近10天的商品上架平均审 ③从四分位数和箱线图的角度分析可知 核耗时（单位：分钟，耗时越短代表运营效 率越高)，具体数据如下表： (3)请你对运营效率较低的直播间提出 时 间 一条具体可操作的提升建议。 类型 第第第第第第第第第第 34 1 8 9 0 天天天 天天 天 零食A类 6 79 81210711613 9 直播间 零食B类 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 直播间 统计人员根据统计结果绘制了如图所示 的箱线图和各类统计数据的表格.请根据 统计结果回答下列问题： 平均审核耗时/分钟 15 5 0 零食A类零食B类 直播间直播间 (第7题) 34 第4章数据的集中趋势和离散程度 考点四方差及其应用 小结 本题着重考查方差的求法和意义，正确理解 典例4甲、乙两名候选人在5次射击测试中 方差的意义是解决实际问题的关键. 的成绩（单位：环）如下： 对应练习 甲：8,8,7,8,9；乙5,9,7,10,9 8.某篮球队10名队员的年龄数据如下表： (1)填写下表： 年 龄 19 20 21 22 24 26 候选人平均数/环众数/环中位数/环方差 人数 1 1 1 甲 8 8 8 0.4 已知该队队员年龄数据的中位数为21.5， 9 3.2 则众数与方差分别为 () (2)教练根据这5次的成绩，选择甲参加射 A.22,3B.22,4C.21,3D.21,4 击比赛，为什么？ 9.为了解九年级各班男生引体向上的情况， (3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的 随机抽取九年级(1)班、九年级(2)班各 射击成绩的方差 (填“变大”“变小” 5名男生进行测试，得到九年级(1)班的 或“不变”). 有效次数为9,9,8,9,10；九年级(2)班的 分析 有效次数为7,10,8,10,10.现从平均数、 (1)根据平均数和中位数的定义求解」 (2)方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一 众数、中位数、方差四个统计量对两个班 批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的 男生的测试数据做如下分析： 大小).在样本容量相同的情况下，方差越大，说 组 别 平均数 众 数 中位数 方 美 明数据的波动越大，越不稳定.(3)根据方差的 (1)班 0 9 0.4 公式求解 (2)班 9 b 10 d 根据以上信息，回答下列问题： 解答：(1)乙的射击成绩的平均数= 5 (1)请直接写出a,b,c,d的值 (5+9+7+10+9)=8(环). (2)从方差的角度看，哪个班引体向上的 把乙的射击成绩从小到大排列为5,7,9,9， 成绩波动小？ 10,则乙的中位数为9环.故答案为8；9. (3)如果男生引体向上有效次数达到10 (2),甲、乙两人的射击成绩的平均数相 就为满分，不考虑其他因素，请以这10名 等，而甲的方差小，说明甲的发挥比较稳定， 同学的成绩为样本，估计九年级320名男 ∴.选择甲参加射击比赛 生引体向上成绩为满分的人数， (3)如果乙再射击1次，命中8环，那么平均 数不变，方差变为3.2X5十(8-828 因 6 为3,2，所以乙的射击成绩的方差变小 故答案为变小 352Bc.0D+2AB·0E+号Ac·0F=a·2+ 2a·2叶7a·2=30。=3a,解得a=0(合去)或 4 a=43.∴.这个等边三角形的边长为45. D (第5题) 6(1)如图，连接OC.:C为BE的中点，.BC=CE ∴.BC=CE,∠EAC=∠CAB.:'OA=OC,∴.∠CAB= ∠ACO.∴.∠EAC=∠ACO.∴.OC∥AD.∴.∠OCD+ ∠D=180°.AD⊥CD,∴.∠D=90°.∴.∠CD=90° ∴.OC⊥CD.OC为⊙O的半径，∴.CD为⊙O的切线. (2)如图，延长CO交AF于点G.由(1)知，∠OCD=90°， AFCD,∴.∠CGF=∠OCD=90.°∴.OGLAF,AG= AF -6.AC 10.G-AG-AG- √102一6=8.在Rt△AOG中，根据勾股定理，得OG2+ AG=OA2.设⊙O的半径为r,则OG=CG-OC=8-r. 18-+6=r.空1⊙0的￥径为9 0 G (第6题) 第4章数据的集中趋势和离散程度 [高考点突破] ①A该快递员十二月份平均每单的送餐费是4×？0%十 6×30%=4.6(元). g1)丙的平均分为80+78+85=81（分）.：甲，乙，丙三 3 人的平均分分别是80分，79分，81分，∴.81分>80分> 79分.(2)乙的创意设计能力的成绩低于75分， ∴乙首先被淘汰.甲的最终成绩是 86×5+77×2+77X3=81.5(分)，丙的最终成绩是 5+2+3 80×5+78×2+85×3=81.1(分)，且81.5分>81.1分， 5+2+3 附：答案与解析 ∴甲能成功应聘 ③C这组数据中，16出现了10次，出现的次数最多，则 众数是16.把这组25个数据从小到大排列，第13个数是 16,则这组数据的中位数是16. ④12平均数是12，∴.这组数据的和为12×7=84. ∴.被墨汁覆盖的三天的数据和为84一(11+12+13+ 12)=36.这组数据唯一的众数是13，∴.被墨汁覆盖的 三个数据为10,13,13.将这7个数据从小到大排列为10， 11,12,12,13,13,13.∴.这组数据的中位数为12. 01)”2+3+5=10,10÷20=号抽取的顾容中有 一半的评分不高于3分，即没有超过一半的评分不高于 3分，∴.该餐厅不需要整改.(2)抽取的顾客所评分 数的平均数为1X2+2X3+3X5+4X8+5X2-3.25(分)， 20 中位数为3士=35（分），都高于3分，4该餐厅不需要 整改 ⑥C由箱线图可知，比赛的最高得分是55分.故选项A 的说法错误，不符合题意.比赛得分的中位数是45分.故选 项B的说法错误，不符合题意.在箱线图中，箱体部分包含 了数据中间50%的部分，反映了数据的集中趋势，∴.比赛 得分集中在44.25~50分之间.故选项C的说法正确，符合 题意.比赛得分的第三四分位数是50分，故选项D的说法 错误，不符合题意。 ⑦(1)7：9；11；3.2.由题意可知，零食A类直播间近 10天的商品上架平均审核耗时数据从小到大排列为6,6， 7,8,9,9,10,11,12,13.10×25%=2.5,10×50%=5, 10×75%=7.5,∴.a=7,b=9,c=11.零食B类直播间近 10天的商品上架平均审核耗时数据的平均数d= 3×3+1+2×2+4X2+5×2-3,2.(2)①零食B类直 10 播间平均审核耗时小于零食A类直播间，说明零食B类直 播间整体运营效率较高.②零食B类直播间平均审核耗时 的方差小于零食A类直播间，说明零食B类直播间每天审 核耗时的波动范围较小，运营效率更稳定.③零食B类直 播间平均审核耗时的最大值与最小值相差小，箱子短，中 位数明显低于零食A类直播间，说明零食B类直播间运营 效率更高且每天审核耗时差异不大.(3)建议零食A类 直播间精减审核环节、明确各项目的审核时限等（答案不 53 数学（苏科版）九年级上 唯一，合理即可) ⑧D.共有10个数据，.x+y=10一(1+1+2+1)= 5.又：该队队员年龄数据的中位数为21.5，即1,2- 21.5,∴.x=3,y=2..这组数据的众数为21，平均数为 b×19+20+21X3+22×2+24×2+26)=2.·方差 为2=6×[19-2y+(20-22+3×(21-22+2× (22-22)2+2×(24-22)2+(26-22)2]=4. 目①)a=号×(9+9+8+9+10)=号×45=9.把九年 级(1)班的测试数据按从小到大的顺序排列为8,9,9,9， 10,最中间的数据为9，故中位数c=9.九年级(2)班的测试 数据中，10出现的次数最多，因此众数b=10.方差d= 号×[(7-9r+(10-9)×3+(8-9)]=1.6. (2),0.4<1.6,.九年级(1)班的方差小于九年级(2)班 的方差.∴.九年级(1)班引体向上的成绩波动小.(3)根 据题意，得320×0一128（人），答：估计九年级320名男生 引体向上成绩为满分的人数是128. [综合素养提升] ①C设该班男、女生的人数分别为x,y.根据题意，得 57x十62y=60(x十y).整理，得3x=2y..x:y=2:3. ②A由箱线图可知，全校的第三四分位数接近全班的最 高分，比全班的第三四分位数高很多，小明的成绩恰为全 校的第三四分位数，32×号-8，“.小明在班上排名应该是 在第2至7名之间. ③C数据a1,a2,…,am的平均数为10，∴.数据2a1十 3,2a2+3,…,2an十3的平均数为2×10+3=23.数据 a1a2,…,am的方差为4，.数据2a1十3,2a2+3,…, 2am+3的方差为4×22=16. ④7或12根据题意，得新的一组数据的平均数为 2士5十813十-8十：x为正萝数，新的一组数据 的平均数与中位数相等，.28+>29=5.6，即中位数大 5 5 于5,6.中位数可以是x或8，若中位数为，则28+2 5 ,解得=7.若中位数为8，则28=8，解得=12综 54 上所述，x的值为7或12. ⑤5：唯一的众数是5，中位数为4，.x,y不相等且 x<4,y<4.x,y是自然数，.x,y的取值为0,1,2,3. ∴.x十y的最大值是2+3=5. ⑥(1)13；16.(2)中位数.(3)：样本数据的平均数 为X1十5X1十10X3+16×4+20X19·.估计该小 1+1+3+4+1 区居民-同内使用共字单车的总次数为20mX识-2公8如 ⑦(ID9:B:0.75:B4=10+8+8+9+10+9+8+10 8 9(环).9>8.5，.B的平均成绩略高.s=1.75, 5元=g×[10-9)×3+(8-9)×3+(9-9)2×2] 0.75,∴.s<s.∴.B的射击水平发挥更稳定.(2)7.5 9;10;=.选手A射击成绩的数据从小到大排列为6,7， 8,9,9,9,10,10.8×25%=2,8×50%=4,.m5= 7生-7.5（环）m-9生9-9（环1.进手B射击成绩的数 2 据从小到大排列为8,8,8,9,9,10,10,10.8×75%=6， m6=1010=10(环.可以发现选手A射击成绩的中 2 位数=选手B射击成绩的中位数。 8(1)10÷25%=40(人)，∴.m=40×35%=14,n=40 4一10一14一6=6.(2)将数据排序后，第20个和第 21个数据均为3，·.中位数为3.(3)320×6+6 40 96(人).答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数 为96. 9将数据从小到大排序：140,142,144,145,145,150,150， 158,158,160.尝试分组列表如下（结果保留2位小数）： 分组 第一组 第二组 组内 离差平方和 离差平方和 离差平方和 第1个间隔 0 377.56 377.56 第2个间隔 2.00 301.50 303.50 第3个间隔 8.00 241.43 249.43 第4个间隔 14.75 179.50 194.25 第5个间隔 18.80 92.80 111.60 第6个间隔 57.33 59.00 116.33 第7个间隔 84.86 2.67 87.53 第8个间隔 229.50 2.00 231.50 第9个间隔 342.00 0 342.00