综合与实践4 探寻树叶的生长特征&第4章 数据的集中趋势和离散程度拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

m+n+6=3×6, m=8, 8.6根据题意，得 1+m+2n+7=4X 。解得 {n=4. ∴.将这组新数据按从小到大的顺序排列为1,4,6,7,8,8， 8云=7×1+4+6+7+8+8+8)=6.2=7× [(1-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8一6)2+(8 6)2+(8-6)27=6. 9.(①=号×(3+4+5+6+7)=5（年）=号× [(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2, 五2-号×(4+4+5+6+6)=5（年）.2-号×[(4- 5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(6-5)2]=号 (2)乙电子厂.理由：x甲=x乙s第>s2,∴.乙电子厂的 电子产品在正常情况下的使用寿命更稳定，选购乙电子厂 的产品. 10.(1)69;69.根据题意，得甲同学五次测试成绩（单 位：分)按从小到大排列为65,67,69,69,70，则众数为69分， 中位数为69分.(2)乙的体育成绩更好.理由：甲同学五 次测试成绩的平均数为号×(65+69+67+69+70)= 68(分)，方差为5×[(65-68)2+(67-68)2+2×(69- 68)2+(70-68)2]=3.2.由乙同学五次测试成绩的方差公 式可知，乙同学五次测试成绩的平均数为68分，方差为2. 甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数相同，但乙的方 差较小，说明乙的成绩更稳定，.乙的体育成绩更好 (3)变小.由(2)的分析知，甲前5次测试成绩的平均数 为68分，方差为3.2，又第六次的测试成绩为68分，∴.甲 6次测试成绩的平均数为6×(5×68+68)=68（分），方差 为行×[5X3.2+(68-68)]=号：号<3.2方差变 小了. 第2课时分组的合理性 1.B将数据13,15,7,9,12按从小到大的顺序排列为7， 9,12,13,15.由题表中的数据可知，6.7<14.7<18.8< 22.8.∴.按{7,9}和{12,13,15}分组. 2.24第一组数据的平均数为(87+88+90+91+92+ 92)÷6=90,第一组数据的离差平方和为(87一90)2十 (88一90)2十…+(92一90)2=22：第二组数据的平均数为 (96+98)÷2=97,第二组数据的离差平方和为(96 97)2+(98-97)2=2..组内离差平方和为22+2=24. 3.甲地根据图形可知，甲地的“箱体”较长，说明数据比 乙地分散，则甲地的日平均气温波动大，故甲地的日平均 气温的方差大 4.将这5个数据按从小到大的顺序排列：65,69,70,80， 81.计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位）如下： 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组1个，第三组3个 74 第一组1个，第二组2个，第三组2个 1 第一组1个，第二组3个，第三组1个 74 第一组2个，第二组1个，第三组2个 8.5 第一组2个，第二组2个，第三组1个 58 第一组3个，第二组1个，第三组1个 14 第2种情况的组内离差平方和最小，因此把这5个苹果按 直径（单位：mm)大小分成三组是{65），{69,70}和{80,81. 综合与实践4探寻树叶的生长特征 1.C核桃树树叶长宽比中出现次数最多的是2，故选项 A的说法正确，不符台题意”品×(3十35+2.5十3计 3.4十3十3.3十3.2十3+3.2)=3.11，.批杷树树叶的长 宽比大约为3.1.故选项B的说法正确，不符合题意.由选 项B的分析知，枇杷树树叶的长宽比大约为3.1，是个估计 值，不是准确值，小明测量一片枇杷树树叶的长为9.3cm, 它的宽是3cm的可能性很大，但不一定为3cm.故选项C 的说法错误，符台题意核桃村树叶的长宽比约为。× (1.8+2.3+2+2+2.4+1.8+2.3+2+1.8+2)=2.04, 小亮收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，13.8÷6= 2.3,长宽比接近2.04，.它是一片核桃树树叶的可能性很 大故选项D的说法正确，不符合题意。 2.(1)37.5;2.0.把10片杧果树树叶的长宽比从小到大 排列，排在中间的两个数分别为3.7,3.8，.m= 37十38-=3.75.10片荔枝树树叶的长宽比中出现次数最 2 多的是2.0，∴.n=2.0.(2)②.0.0424<0.0669， ∴.杧果树树叶的形状差别小.故A同学的说法不合理 荔枝树树叶的长宽比的平均数是1.91，中位数是1.95， 众数是2.0，∴.荔枝树树叶的长约为宽的两倍.故B同学 的说法合理.(3)这片树叶更可能来自荔枝树.理由： :11:5.6≈1.96，该片树叶的长宽比接近2，.这片树叶 更可能来自荔枝树. 第4章拔尖自主测评 1.C本学期小明的数学成绩为90×50%+85×40%+ 80×10%=87(分). 2.C由题表中的数据可知，答对7道题的人数最多， “众数为7道，：24×号-12中位数为答对题数量从 小到大排列后的第12个和第13个数据的平均数.：'3十 8+8=8(道). 8=11<12,11+6=17>13,中位数为 ∴.中位数和众数分别是8道和7道： 3.C根据题意，得这组数据唯一的众数是10，则由众数 ,=号×[2×(42-7)2+(40-7)2+2×(36-7)+ 与平均数相等，得0+10+12+x+8-10,解得x=10.这 5 (35-x)2]来计算，.中国队的团体总分为2×42十40+ 组数据按从小到大排列为8,10,10,10,12，可得中位数为10. 2×36+35=231(分)」 4.D将这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序 13.8由题意知，这组数据为7,7,8,8,8,9.8出现的次 排列为98.12,136,145.15.165,171.182.8×=6， 数最多，.这组数据的众数为8. 14.变大减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，6000× ∴·这组数据的第三四分位数是第6个与第？个数据的平 2=7000十5000，∴.这组数据的平均数不变.·易得这组 均数，即16517-168. 数据的平均数为6000，'.每个数据减去平均数后的平方 2 和变大.∴.该工程队员工月工资的方差变大 5.C根据题意，得a十b=40-(11+19)=10.:共有 5 40名志思者，40×号=20，这组数据的中位数为这 15不合理.：加权平均数=16×5+4十1+20× 4 1 40个年龄数据从小到大排列后的第20个和第21个数据 5+4十+27×5+4+-18.7（元/千克）该什锦糖果 的平均效.这组数据的中位数为3,13=13这组数携 合理的价格为18.7元/千克. 中13出现19次，且19>a+b,次数最多，∴.这组数据的众 16(①)根据题意，得甲的中位数为2分，乙的众数为 数为13.∴.关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中 位数.平均数与方差均会因a,b的不同取值而改变 80分..822=80+3，解得x=84.x的值为84 2 6.D由箱线图可知，两班的最高分均未达120分.故A 1 正确，不符合题意.A班成绩的第三四分位数为90分，B班 (2)选派甲参赛比较合适.理由：x甲=8×(78十79十81十 成绩的第一四分位数约为80分，90>80.故B正确，不符合 82+84+88+93+95)=85(分)，-日×[(78-85)+ 8 题意.A班成绩的“箱体”更长，说明成绩范围更大，波动更 (79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88 大.故C正确，不符合题意.由箱线图可知，A班成绩的第 一四分位数约为60分，B班成绩的中位数为90分，∴.A 85)+(98-85)2+(95-85)]=35.5,22=g×(75+ 班成绩的第一四分位数与B班成绩的中位数不同.故D错 误，符合题意 80+80+83+85+90+92+95)=85(分).2=日 ×[(75 7.1202=[a-7+(-)++(x 85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+ (90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.:x事=x乙， x)2门=20，∴.这组数据的离差平方和=6s2=6×20=120. s<s吃，∴甲的成绩较稳定.∴选派甲参赛比较合适 8.93这件作品的最终得分为95×60%十90×40%=93（分）. 17.(1)128;146.5.将A组10个数据从小到大排列为 9.乙乙、丙和丁的平均数相同，且都大于甲的平均 112,126,128,130,136,146,146,150,152,158.10× 数，.首先淘汰甲.又·乙的方差最小，.乙发挥得更稳 定.选择乙参加射箭比赛。 =2.5，A组的第一四分位数a=128.将B组10个数 4 10.7将数据5,6,5,9,10,7,8按从小到大排列为5,5,6， 据从小到大排列为127,131,134,135,145,148,150,152， 7,8,9,10,.众数为5，中位数为7.·去掉其中一个数据 后，这组数据的中位数和众数都保持不变，显然5不能去 152.15.:10×号=5B组的第二四分位数6 掉，∴依次尝试去掉6,7,8,9,10，发现只有去掉7后，中位 145十148-=146.5.(2)>.由箱线图可知，A组数据比 2 数仍然为7.∴.去掉的数据是7. 11.5.这组数据有唯一众数8，.b=8..中位数是5， B组数据分散，即B组数据比较集中，∴.B组数据的方差 较小，即s>s.(3)B组同学整体的跳绳水平比A组 a=5.这组数据的平均数为5×(1+3+5+8+ 高.由箱线图可知，B组跳绳成绩的第三四分位数、第二四 8)=5. 分位数和第一四分位数均高于A组，且B组数据的方差比 12.231.'中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式 A组小，成绩更稳定，∴.B组同学整体的跳绳水平比A组高. 第5章 等可能条件下的概率 5.1等可能性 小，∴.m的值不可能是10. 2.②抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上一面可能的结果 1.A摸到每一张扑克牌的结果都是等可能的，要使摸 为正正、正反、反正、反反，出现的每一种结果都是等可能 到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，则m的值比8 61拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 综合与实践4探寻树叶的生长特征 1.综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，10名同 学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长、宽（单位：cm)的数据 后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示. 核桃树和枇杷树树叶长宽比折线统计图 树叶长宽比 3.5 3.5 3.4 32.53 13333 ·一枇杷树树叶 2.5 2.3v 2.4 3.293.2 -·核桃树树叶 1.51822 2 232182 1.8 0.5H 012345678910同学序号 (第1题) 根据以上信息，下列说法错误的是 A.核桃树树叶长宽比为2出现的次数最多 B.枇杷树树叶的长宽比大约为3.1 C.小明测量一片枇杷树树叶的长为9.3cm,小明断定它的宽一定为3cm D.小亮收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它很可能是一片核桃树树叶 2.数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动.同学们随机 收集杧果树、荔枝树的树叶各10片，如图所示为一片叶子的“长”和“宽”，通过测量得到这些树叶 的长y(单位：cm),宽x(单位：cm)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下表： 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 杧果树树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 分析数据如下表： 平均数 中位数 众数 方差 杧果树树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树树叶的长宽比 1.91 1.95 n 0.0669 (1)上述表格中，m= ,n= (2)①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为柱果树树叶的形状差别大.”②B同学 说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树树叶的长约为宽的两倍.”以上 两名同学的说法中，较合理的是 (填序号). (3)现有一片长11cm,宽5.6cm的树叶，请判断它更可能来自杧果树、荔枝树中的哪种 树，并给出你的理由. 宽 (第2题) 94 >“答案与解析”见P60 第4章数据的集中趋势和离散程度 第4章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.某学校规定本学期学生的数学成绩由期末成绩、期中成绩和平时作业成绩按如图所示的比例计 算而得.已知小明本学期数学的期末成绩为90分，期中成绩为85分，平时作业成绩为80分，则 本学期小明的数学成绩为 () A.85分 B.86分 C.87分 D.88分 成绩/分 120 期中 90- 期末 成绩 成绩 40% 60 白 50% 30 04 平时作业成绩10% A班B班 (第1题) (第6题) 2.某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名 进行综合测试.本次测试共有10道题日，答对题数量情况如下表： 答对题数量/道 6 8 9 10 人数 3 8 6 2 则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是 A7道和7道 B.7道和8道 C.8道和7道 D.8道和8道 3.某生产小组5名工人某天加工的零件个数分别是10,10,12，x,8.若这组数据唯一的众数与平均 数相等，则这组数据的中位数是 （) A.8 B.9 C.10 D.12 4.八年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为136,165,182,155,112,145,171,93.这组数 据的第三四分位数是 ( A102.5 B.150 C.124 D.168 5.下表是某中学阳光社团40名志愿者的年龄分布统计表.对于α，b取不同的值，下列关于年龄的 统计量，不会发生改变的是 年龄/岁 12 13 14 15 频数 11 19 a b A.平均数、众数 B.中位数、平均数 C.众数、中位数 D.平均数、方差 6.已知A,B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法错误的是( A.这次测试中两班均没有得满分（满分120分）的同学 B.A班成绩的第三四分位数大于B班成绩的第一四分位数 95 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 C.A班的成绩比B班的成绩波动更大 D.A班成绩的第一四分位数与B班成绩的中位数相同 二、填空题（每小题4分，共32分） 7L知一组数据的方若产一[，+。)十…十(，一少门一20则这到数起的离差平 方和S2的值是 8.某校在“科技创新”比赛中，按照作品的创新性占60%，实用性占40%计算最终得分.若某件作品 的创新性得分为95分，实用性得分为90分（百分制），则这件作品的最终得分为 分 9.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差.若要选择一名成绩好且发 挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择 甲 乙 丙 丁 平均数/环 9.0 9.5 9.5 9.5 方差 3.1 3.1 6.6 5.2 10.数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7名同学家里上个月的用水量（单位：吨）如 下：5,6,5,9,10,7,8.分析时发现，去掉其中一个数据后，这组数据的中位数和众数都保持不变， 则去掉的这个数据是 11.已知一组正整数a,1,b,b,3有唯一众数8，中位数是5，则这组数据的平均数为 12.2025年在澳大利亚举行的第66届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中，中国代表队发挥出色，获 得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍.中国队参赛队员比赛 成绩的方差可用公式=石×[2X(42-7)3+(10-)+2X(36-7)+(35-)]来计算， 由该公式可知中国队的团体总分为 分 13小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：2-行×[2×(7-)+3X(8一)+(9 x)2].根据算式信息，这组数据的众数是 14.某工程队有14名员工，他们的工种及每人每月的工资如下表： 工种 电工 木工 瓦工 人数 5 4 5 每人每月的工资/元 7000 6000 5000 现该工程队进行人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队的员 工月工资的方差 (填“变大”“变小”或“不变”). 三、解答题（共44分） 15.(12分)某食品商店将甲、乙、丙三种糖果的质量按5：4：1的比配置成一种什锦糖果，已知甲、 乙、丙三种糖果的价格分别为16元/千克、20元/千克、27元/千克.若将这种什锦糖果的价格定 为这三种糖果价格的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出 96 第4章数据的集中趋势和离散程度 该什锦糖果合理的价格 16.(14分)甲、乙两名学生参加了安全知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛 的成绩中随机抽取8次，记录这8次的成绩（单位：分）数据，并将数据按从小到大的顺序整理如下表： 甲 78 79 81 82 88 93 95 乙 75 80 80 83 85 90 92 95 由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3. (1)求x的值， (2)现要从中选派一名学生参加竞赛，你认为选派哪名学生参赛比较合适？请说明理由 17.(18分)传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八年级(3)班传统跳绳A,B两组各10名同 学1分钟跳绳的次数 【数据收集】 A组：126,128,112,130,136,146,150,152,146,158； B组：127,134,135,131,145,150,152,152,148,155. 【数据整理】老师对收集到的数据进行了简单的统计，结果如下表： 统计量 最小值 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 最大值 A组 112 a 141 150 158 B组 127 134 b 152 155 (1)表中的数据：a 6= (2)将两组同学的跳绳次数绘制成如图所示的箱线图，则s? 吊（填“>”“<”或“=”）. 【数据应用】 (3)试评价A组，B组同学在本次1分钟跳绳中的整体水平. 1分钟跳绳次数 160 150 140 130 120 110 A组 B组 (第17题) “答案与解析”见P60 97