第3章 圆 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

数学（苏科版）九年级上 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，A,B,C,D四点均在⊙O上，∠AOB=30°，∠BCD=80°，OA∥BC,则∠D- ∠CAD的度数为 () A.40° B.35° C.30° D.25 单位：cm 16 c (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.新情境生活实际如图所示为某工件槽的正面示意图，两个底角均为90°，将形状规则的铁 球放入槽内.若铁球与工件槽同时具有A,B,E三个接触点，则该铁球的半径是( ) A.8 cm B.6 cm C.12 cm D.10 cm 3.如图，⊙O的弦AB=8,以AB为边作正方形ABCD,边CD与⊙O相切，切点为E,则 ⊙O的半径为 () A.4 B.3 C.6 D.5 4.如图，在⊙O中，弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBD的中点，连接AF,BF,AC,CF,AF 交CD于点M,过点F作FH⊥AC,垂足为G,连接CH.有下列结论：①CF=DF; ②HC=BF;③MF=FC;④DF十AH=BF十AF.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如果等边三角形内切圆的半径为2，那么这个等边三角形的边长为 6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD,AD交⊙O于点E,且C为BE的 中点，连接AC. (1)求证：CD为⊙O的切线. (2)F为⊙O上一点，连接AF.若AFCD,AC=10,AF=12,求⊙O的半径 (第6题) 30 第4章 数据的集中趋势和离散程度 幻高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一平均数的求法与应用 小结 本题考查算术平均数、加权平均数的求法以 典例1某学校要举行科技创新比赛，参赛选 及在实际问题中的应用，理解加权平均数的意义 手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示 与计算公式是解决问题的关键 三项考核，下表所列为甲、乙两名选手的各 对应练习 项考核成绩（单位：分） 1.某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 选手 创意设计 动手实践 答辩展示 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 甲 84 80 94 占比 70% 30% 乙 80 90 82 送餐费 4元/单 6元/单 (1)若根据三项考核成绩的平均分确定最终 该快递员十二月份平均每单的送餐费是 成绩，请通过计算说明甲、乙两名选手中谁 ( 的最终成绩更高 A.4.6元B.4.8元C.5元 D.5.2元 (2)若学校认为这三项考核的重要程度有所 2.学校广播站要招聘一名编辑，甲、乙、丙三 不同，而创意设计、动手实践、答辩展示在总 名同学报名并参加了3项素质测试，成绩 分中的占比为4：5：1，请通过计算说明甲、 乙两名选手中谁的最终成绩更高！ (单位：分)如下表： 分析 语言文字能力运用媒体能力创意设计能力 (1)根据平均数的计算公式分别求出甲、 甲 86 77 77 乙的成绩，再进行比较，可解决问题(2)根据 76 87 74 加权平均数的求法，计算得出两人的成绩，进而 丙 80 78 85 比较得出结果， (1)计算得甲、乙的平均分分别为80分， 解答：(1)甲的最终成绩为(84+80十94)÷ 79分，请求出丙的平均分，并根据三人的 3=86(分)， 平均分从高到低进行排序！ 乙的最终成绩为(80十90十82)÷3=84（分）. (2)学校认为：①单项最低分不能低于 .86>84, 75分；②三个项目的重要程度有所不同， ∴.甲的最终成绩更高 每名应聘者的语言文字能力、运用媒体能 (2)甲的最终成绩为(84×4+80×5+94× 力、创意设计能力的成绩应按5：2：3的 1)÷(4+5+1)=83(分)， 比例计算其最终成绩.请问谁能成功应聘？ 乙的最终成绩为(80×4+90×5+82×1)÷ (4+5+1)=85.2(分). .85.2>83, ∴.乙的最终成绩更高 31数学（苏科版）九年级上 ∠BCD.(2)①设⊙O的半径为r.CD=8,直径 AB⊥弦CD,.CE=2CD=4.:AE=2,∴.OE=-2. 在Rt△CEO中，由勾股定理，得CE2十OE2=OC2,即42十 (r一2)2=r2,解得r=5...EB=AB一AE=2r一2=8.在 Rt△CEB中，由勾股定理，得BC=EB2+CE=82+4= 80.,CM为⊙O的直径，.CM=2r=10,∠CBM=90° 在Rt△BCM中，由勾股定理，得BM=√CM一BC= √100-80=2√5.②2√13-25.由①知，BC2=80, ∴.BC=4W5.:BH⊥CM,∴.∠BHC=90°.∴.点H在 以BC为直径的圆上运动（如图②）.记BC的中点为Q,连 接HQ,DQ,则DH≥DQ-HQ,当且仅当D,H,Q三点 依次共线时取等号.过点Q作QG⊥CD于点G,则QG∥ AB.Q为BC的中点，∴.易得QG为△BCE的中位线. :cG=2CE=2×4=2.0G=2BE=号×8=4 1 ∴.DG=CD-CG=8-2=6.在Rt△DQG中，由勾股定 理，得DQ=√/DG2+QG2=√/62+42=2√13..·HIQ= 2BC=25∴.DH长的最小值为DQ-HQ-2√3-25. M ① ② (第13题) [综合素养提升] ①B连接OC.:OA∥BC,∠AOB=30°，∴.∠OBC ∠AOB=30°.：OC=OB,.∠OCB=∠OBC=30°. .∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-(30°+ 30)=120°.∴.∠A0C=∠B0C+∠AOB=120°+30°= 150.·.∠D=7∠A0C=75.∠A0B=30, ·∠ACB=2∠A0B=15.:∠BCD=80,·∠ACD- ∠BCD-∠ACB=80°-15°=65°..∠CAD=180°- ∠D-∠ACD=180°-75°-65°=40°.∴.∠D-∠CAD= 75°-40°=35°」 ②D如图，设圆心为点O,连接OA,AB,OE,OE交AB 于点C.由题意，易得AB=l6cm,CE=4cm,E为AB的 52 中点“易得OE⊥AB.AC=BC=号AB=8cm设 ⊙O的半径为Rcm,则OC=(R-4)cm.在Rt△OAC中， 由勾股定理，得OA2=AC+OC,即R2=82+十(R-4)2, 解得R=l0.∴.该铁球的半径是10cm. 单位：cm C B E 16 (第2题) ③D如图，连接EO并延长，交AB于点F,连接OA.设 ⊙O的半径为r,则OA=r,易得OF=8-r.CD与⊙O 相切，.OE⊥CD.·四边形ABCD为正方形，.AB∥ CD.OFLAB..AF=2AB=4在R△OAF中，由 勾股定理，得AF+OF2=OA,即4+(8-r)2=r2,解得 r=5...⊙0的半径为5. B (第3题) ④CF为CBD的中点，C下-DF.故①正确 ∴.∠FCM=∠FAC.:∠FCG=∠ACM+∠FCM, ∠AME=∠FMC=∠ACM+∠FAC,.∠AME= ∠FMC=∠FCG>∠FCM.∴.FC≠MF.故③错误 :AB⊥CD,FH⊥AC,.∠AEM=∠CGF=90°. ∴.∠CFH+∠FCG=90°，∠BAF+∠AME=90°， ∠AME=∠FCG,.∠CFH=∠BAF..CH=BF ∴.HC=BF.故②正确.：∠AGF=90°，.∠AFH十 ∠CAF=90°..AH的度数+CF的度数=180°.∴.CH 的度数+AF的度数=180°..DF+AH=CF+AH CH+AF=BF十AF.故④正确.综上所述，①②④正确， 共3个 ⑤45如图，△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的内 切圆，D,E,F分别为切点，连接OA,OB,OC,OD,OE, OF,则AB=BC=AC,OD=OE=OF=2,OD⊥BC, OE⊥AB,OF⊥AC.设AB=BC=AC=a,a>0,易得 SAA三Ba,又SAAc=SAr十SAOB十SAACC=☐ 2Bc.0D+2AB·0E+号Ac·0F=a·2+ 2a·2叶7a·2=30。=3a,解得a=0(合去)或 4 a=43.∴.这个等边三角形的边长为45. D (第5题) 6(1)如图，连接OC.:C为BE的中点，.BC=CE ∴.BC=CE,∠EAC=∠CAB.:'OA=OC,∴.∠CAB= ∠ACO.∴.∠EAC=∠ACO.∴.OC∥AD.∴.∠OCD+ ∠D=180°.AD⊥CD,∴.∠D=90°.∴.∠CD=90° ∴.OC⊥CD.OC为⊙O的半径，∴.CD为⊙O的切线. (2)如图，延长CO交AF于点G.由(1)知，∠OCD=90°， AFCD,∴.∠CGF=∠OCD=90.°∴.OGLAF,AG= AF -6.AC 10.G-AG-AG- √102一6=8.在Rt△AOG中，根据勾股定理，得OG2+ AG=OA2.设⊙O的半径为r,则OG=CG-OC=8-r. 18-+6=r.空1⊙0的￥径为9 0 G (第6题) 第4章数据的集中趋势和离散程度 [高考点突破] ①A该快递员十二月份平均每单的送餐费是4×？0%十 6×30%=4.6(元). g1)丙的平均分为80+78+85=81（分）.：甲，乙，丙三 3 人的平均分分别是80分，79分，81分，∴.81分>80分> 79分.(2)乙的创意设计能力的成绩低于75分， ∴乙首先被淘汰.甲的最终成绩是 86×5+77×2+77X3=81.5(分)，丙的最终成绩是 5+2+3 80×5+78×2+85×3=81.1(分)，且81.5分>81.1分， 5+2+3 附：答案与解析 ∴甲能成功应聘 ③C这组数据中，16出现了10次，出现的次数最多，则 众数是16.把这组25个数据从小到大排列，第13个数是 16,则这组数据的中位数是16. ④12平均数是12，∴.这组数据的和为12×7=84. ∴.被墨汁覆盖的三天的数据和为84一(11+12+13+ 12)=36.这组数据唯一的众数是13，∴.被墨汁覆盖的 三个数据为10,13,13.将这7个数据从小到大排列为10， 11,12,12,13,13,13.∴.这组数据的中位数为12. 01)”2+3+5=10,10÷20=号抽取的顾容中有 一半的评分不高于3分，即没有超过一半的评分不高于 3分，∴.该餐厅不需要整改.(2)抽取的顾客所评分 数的平均数为1X2+2X3+3X5+4X8+5X2-3.25(分)， 20 中位数为3士=35（分），都高于3分，4该餐厅不需要 整改 ⑥C由箱线图可知，比赛的最高得分是55分.故选项A 的说法错误，不符合题意.比赛得分的中位数是45分.故选 项B的说法错误，不符合题意.在箱线图中，箱体部分包含 了数据中间50%的部分，反映了数据的集中趋势，∴.比赛 得分集中在44.25~50分之间.故选项C的说法正确，符合 题意.比赛得分的第三四分位数是50分，故选项D的说法 错误，不符合题意。 ⑦(1)7：9；11；3.2.由题意可知，零食A类直播间近 10天的商品上架平均审核耗时数据从小到大排列为6,6， 7,8,9,9,10,11,12,13.10×25%=2.5,10×50%=5, 10×75%=7.5,∴.a=7,b=9,c=11.零食B类直播间近 10天的商品上架平均审核耗时数据的平均数d= 3×3+1+2×2+4X2+5×2-3,2.(2)①零食B类直 10 播间平均审核耗时小于零食A类直播间，说明零食B类直 播间整体运营效率较高.②零食B类直播间平均审核耗时 的方差小于零食A类直播间，说明零食B类直播间每天审 核耗时的波动范围较小，运营效率更稳定.③零食B类直 播间平均审核耗时的最大值与最小值相差小，箱子短，中 位数明显低于零食A类直播间，说明零食B类直播间运营 效率更高且每天审核耗时差异不大.(3)建议零食A类 直播间精减审核环节、明确各项目的审核时限等（答案不 53