第1章 一元二次方程 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第1章一元二次方程 解：.·m,n是一元二次方程x2一x 1=0的两个实数根， 1=0.22-8-1=0月s,求}-} .∴.m+n=1,mn=-1. 的值. ∴.m2n十mm2=mn(m+n)=-1X 1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，回答 下列问题： (1)应用：一元二次方程2x2+3x一1 0的两个实数根为x1,x2,则x1十x2= x1x2= (2)类比：已知一元二次方程2x2十 3.x一1=0的两个实数根为m,n,求 m2+n2的值 (3)提升：已知实数s,t满足2s2十3s一 盟综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.关于x的方程x2-2.x十m2-4=0的两个根x1,x2满足x1=2x2十3，且x1>x2,则实 数m的值为 () A.-3 B.1 C.3 D.9 2.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2一10x十m=0的两个实 数根，且该菱形的面积为11，则该菱形的边长为 () A.3 B.23 C.√14 D.2√14 3.若实数a,6分别清足。2-3a+2=0,63-动+2=0，且a≠6则日+方 4.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2一6.x十n=0的两个根，则实 数n的值为 5.已知整数k<5,△ABC的三边长均满足关于x的方程x2一3√Rx+8=0,则△ABC的周 长是 6.已知关于x的方程(x一2)(x一3)一k2=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根， (2)设方程的两个根分别为x1,x2,且x1>x2,求证：x1十2x2≤7 11 数学（苏科版）九年级上 7.已知关于x的方程x2一2mx十m2一n=0有两个不相等的实数根 (1)求实数n的取值范围. (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值， 8.某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲、乙两种蔬莱，其中甲种蔬莱的种植面积 不少于20亩，乙种蔬莱的种植面积不少于50亩！ 1 信息2：甲种蔬莱每亩的种植成本y元与其种植面积x亩之间满足函数关系y=2x十 10,乙种蔬莱每亩的种植成本为50元. (1)若甲种蔬菜每亩的种植成本是30元，求乙种蔬菜的总种植成本， (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为4272元？ 12数学（苏科版）九年级上 去).答：每盒B款礼盒的促销价应定为150元. ⑩设CE=ym.:四边形ABCD为矩形，∴.AC=BD= AE+CE=(4+y)m,CD=AB=AF+BF x m. ∴.BF=CD-AF=(x一8)m.(1):篱笆总长为28m, ∴.CE+CD+BD+BF=28m,即y+x+4+y+x-8= 28.整理，得y=16一x.∴.BD=4+y=(20一x)m根据题 意，得x(20-x)=75,即x2-20x+75=0,解得x1=15, x2=5.BF>0,CE>0,即x-8>0,16-x>0,.8< x<16.∴.x=15.(2)能.篱笆总长为28m,CD边上 留出2m宽的门，.CE+CD+BD+BF=28+2= 30(m),即y+x+4+y+x-8=30.整理，得y=17-x. .BD=4十y=(21一x)m.根据题意，得x(21一x)=110, 即x2-21x十110=0，解得x1=10,x2=11.:BF>0m, CE>0m,即x-8>0,17-x>0,∴.8<x<17..当 CD=10m或11m时，生态园的面积能达到110m. ①(1)根据题意，得k≠0，△=[-(4k+1)]一4(3k+ 3)=4k2-4k+1=(2k-1)2.k是整数，.2k-1≠0. .(2k一1)2>0，即△>0..方程有两个不相等的实数根. (2)设关于x的-一元二次方程kx2-(4k十1)x十3k十3=0 的两个实数根分别为，x2,则，十x,=6十1， k x1x2= 巡，：是斜边长为5的直角三角形的两条直 k 角边的长，+x=华(x十)-2：=号 (生)-2.6士3-5整强，得-k-4=0 k 解得6=2或k=一子经检验=2或人=一号均是原分 式方程的根.k是整数，.k=2 ②(1)由题意，得△=[-2(n-2)]2-4×1×(n2-4n) 4n2-16m+16-4n2+161=16>0,.无论n取何值，此方 程总有两个不相等的实数根.(2)：无论n取何值，此 方程总有两个不相等的实数根，且△ABC为等腰三角形， .BC只能是△ABC的腰.∴.x=10为关于x的一元二 次方程x2一2(n一2)x十n2一4n=0的一个根.将x=10代 人原方程，得102一2×10(n-2)十n一41=0.整理，得 n2-24n十140=0，解得n1=10,12=14.当n=10时，原方 程为x2-16x十60=0，解得x1=6,x2=10.·6,10,10能 组成等腰三角形，∴.n=10符合题意.当n=14时，原方程 为x2-24x十140=0，解得x1=10,x2=14.10,10,14 能组成等腰三角形，∴.n=14符合题意.∴.当n的值为10 或14时，△ABC为等腰三角形. 46 ®()-子：-分：一元二次方程22+3x-1=0 3 1 的两个实数根为x1,x2,.x1十x2=一 x=-2 (2)·一元二次方程2x2+3x一1=0的两个实数根为m, m十1=-号m=-是m+f=(m十n- 2m=号+1= (3):实数s,t满足22+3s-1=0, 2t2+3t-1=0,且s≠t,∴.s,t是一元二次方程2x2+ 3x-1=0的两个实数根十1=-多1=一号 1 =号，(t-P=t+)-4 st (←》-4x()只=土四原武 士√7 [综合素养提升] ①Cx2-21.x+m2-4=0,∴.(x-m+2)(x-m- 2)=0.∴.x-m十2=0或x-m-2=0.x1>x2, .x1=m+2,x2=m-2.x1=22十3，.m+2= 2(m-2)十3，解得m=3. ②C设该菱形的两条对角线的长分别为a,b.由题意，得 a+b=10, 1 “菱形的边长-√（受》+(） 2ab=11. 3a+6-2Va+b-2b=号√10-2x2XT 质=m 0号“实数a,6分别满足a2-3a+2=0,6-3动十 2=0,且a≠b,∴.a,b可以看作是一元二次方程x2一3x+ 2=0的两个实数根a+6=3,6=2是+合 a+b 3 ab 2 ④8或9当4为腰长时，将x=4代人x2-6x十n=0,得 4-6×4十n=0,解得n=8.当n=8时，原方程为x2 6x十8=0，解得x1=2,x2=4.4,4,2满足三角形的三 边关系，∴.等腰三角形的三边长为4,4,2.当4为底边长 时，关于x的方程x2一6x十n=0有两个相等的实数根， ∴.(-6)2-4×1×n=0,解得n=9.当n=9时，原方程为 x2-一6x十9=0，解得x1=x2=3.:3,3,4满足三角形的 三边关系，∴.等腰三角形的三边长为3,3,4.综上所述，n 的值为8或9. ⑤6或12或10根据题意，得≥0且(3√E)2一4×8≥ 0,解得k≥2：整数k<5k=4.方程变形为2 9· 6.x十8=0，解得x1=2,x2=4.△ABC的三边长均满足 关于x的方程x2一6.x十8=0，∴△ABC的三边长为2,2， 2或4,4,4或4,4,2.∴.△ABC的周长为6或12或10. 6(1):(x-2)(x-3)-k2=0,.x2-5.x+6-k2=0. ∴.△=(-5)2-4×1×(6-k2)=25-24+4k2=1+42 无论k取何值，总有4≥0，∴.1十4k>0..无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)由(1)，得 x2-5.x+6-k2=0,.x1+x2=5.∴.x1+2x2=x1+ 2十x=5+x2.x1>x2,x,=5-W42+ 2 :4+1≥1，+≥1.：.5-2王≤2，即 2 x2≤2..5十x2≤7，即x1十2x2≤7. ⑦(1)：关于x的方程x2-21z+m2-n=0有两个不 相等的实数根，∴.△=（一2m)2一4(m2一n)=4m2 4m2十4n>0.∴.n>0.(2).n为符合条件的最小整 数，且n>0,∴.n=1.∴.原方程为x2-2mx十m2-1=0. 根据题意，设该方程的根是a,2a(a>0).∴.a十2a=2m, a·2a=m2-1,解得a=2,m=3或a=-2,m=-3(不合 题意，舍去).∴实数m的值为3. 0()设甲种蔬菜的种植面积为a亩，由题意，得2a十 10=30,解得a=40,符合题意.，∴.100一a=100一40=60. ∴.50×60=3000（元）.答：乙种蔬菜的总种植成本为3000元. (2)设甲种蔬菜的种植面积为亩，则乙种蔬菜的种植面 积为(100一m)亩.由题意，得m≥20,100一m≥50，.20 m≤50.由题意，得(2m十10m十50(100-m)=4272整 理，得m2-80m+1456=0,解得m1=28,m2=52(不合题 意，舍去).当m=28时，100一m=72.答：当甲种蔬菜的种 植面积为28亩，乙种蔬菜的种植面积为72亩时，甲、乙两 种蔬菜的总种植成本为4272元 第2章反比例函数 [高频考点突破] ①BA路程÷时间=速度，速度一定，.汽车匀速 行驶的路程与时间的比值一定，它们成正比例，不符合题 意.B.:袋数×每袋的质量=一批糖果的总质量，总质量 一定，.袋数与每袋的质量成反比例，符合题意.C.·水 附：答案与解析 的体积÷水的高度=圆柱形容器的底面积，底面积一定， ∴.它们成正比例，不符合题意.D.购买苹果的金额+ 购买香蕉的金额=总费用，∴不成反比例，不符合题意 2②⑤①y=2x一1是一次函数，不是反比例函数. ②y=一是反比例函数国y=一6x是正比例函数，不 是反比例函数①y=名不是反比例函数⑤y=六是 反比例函数.综上所述，y是x的反比例函数的有②⑤. 目0由题意，得号-21些理，得a投a是6的反比例 函数.(2)由题意，得300x+y=4000.整理，得y= 一300x十4000.：y与x不具有反比例关系，∴.y不是x 的反比例函数. 0很题意，设=6=合，≠06：≠0.则 y=十=62+气：当x=2时y=2当 2=4k,+2-1' k,=1, -1时，y=2, 解得 k2 2=k+-1-1' k2=-2. y关 2 于x的函数表达式为y=x2 x-1 自CA反比例函数y一至中，6=80，这个国致的 图象分布在第一、三象限，故说法正确，不符合题意.B.当 1=2时y=-4点（2,0在这个函数图象上故说法 正确，不符合题意.C.选项没有说明两点在同一象限，如 A(2,4),B(一2，一4)，2>一2，但4>一4.故说法不正确， 符合题意D.k>0,∴.在每个象限内，y随x的增大而 减小..当x>0时，y随x的增大而减小.故说法正确，不 符合题意。 日y=-十（答案不唯-）设该函数的表达式为y会 (k≠0).·它的图象经过第四象限，当x>0时，y随x的 增大而增大，函数的图象关于原点成中心对称，.k<0. ·该函数的表达式可以为y-一士（答案不唯一 0当>0时西数y=冬y-生≠06大-2》的图 x 象在第一、三象限根据题意，易得当x=1时，函数y=飞 有最大值m,当x=4时，函数y-十有最小值m一4， 47