第3章 圆 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

④k<一3反比例函数的图象经过A(x1,y1),B (x2y2)两点，当x2<0<x1时，y2>y1,∴.此反比例函数 的图象在第二、四象限.∴.k十3<0，解得k<一3. 6-10由题意，设点A的坐标为(x,-),点B的坐 标为(，）AB=一日专点B到)抽的距离，即 △ABC的高为-x.:△ABC的面积为3，∴.S△Ax= 合4B(-)-(-5车)水-)=3：解得k=-10 ∴.k的值为-10. ⑥(1,4)如图，设AD与y轴交于点P.根据反比例函数 中k的几何意义，可知SE无Aop=|一12|=12，SE0p= |4=4..S正方无Axn=S拒无A0p十S拒无0op=12十4=16. :S正无Cn=CD2,∴.CD=4..yn=4.将y=4代人 y=兰得=1减D的坐标是1,4. B OC (第6题) ⑦2028 1013 函数y=x一2与y=202的图象的交点坐 标为m,n,1=m-2,1=2026.:.m-1=2,m1= · 2026.∴.m2+n2=(m-n)2+2mn=22+2×2026= 4056..卫+m=m2十n2=40562028 m n mm20261013 ⑧6如图，过点C作CD⊥OA于点D.:OC=AC, .OD=DA.:四边形OABC是平行四边形，∴.BC∥ 0M,BC-0A=20D.设C(a,2）,则B(a,2）:点B 2一6. 在函数)-会(>0)的图象上k=3a· ODA (第8题) ⑨(1)反比例.U=IR,且该电路的电源电压U为恒 值1-只，即该电路中，电流1与电阻R成反比例关 附：答案与解析 系.(2)1=2.2，R=100,.U=IR=2.2×100=220. .I-R 220 。（822-2-2A02-梁解得R- 110.·110一100=10（Ω），.R,连入电路的阻值会增加 102. ⑩(16：2。“点B(-3,-2)在反比例函数y-兰的图 象上-2=会解得6=6又：点A(m,3)在反比例 函数y=的图象上3m=6,解得m=2(2)①如 图①所示.②如图②，过点A作AE⊥OD于点E, ∴.∠AEO=90°.过点B作y轴的垂线，过点C作x轴的 垂线，两垂线交于点F,∴.CF⊥BF,∠BFC=90° .AECF.A(2,3),.AE=3.:四边形ABCD是平 行四边形，∴.AD=CB,AD∥BC.:AECF,∴.易得 ∠DAE=∠BCF.:'∠AED=∠CFB=90°，∴.△ADE≌ △CBF(AAS).∴.AE=CF=3,DE=BF.B(-3,-2), 一易得点C的纵坐标为-5.：点C在反比例函数y= x 的图象上点C的情坐标为-号“c(-号，-5)， “易得点F的横坐标为-号“DE=BF=-号 9 (-3)=号OD=OE+DE=2+ 9_19.n=5 19 55 ① ② (第10题) 第3章圆 [高频考点突破] ①C连接OD.设⊙O的半径为r.:CD⊥AB,AB为 ⊙O的直径，.BC=BD,CG=DG.C是BE的中点， :'CE=CB..BE =CD.:'CD=BE=8..DG= CD-4.OG=0B-BG=r-3.OD=, Rt△OGD中，由勾股定理，得DG2+OG2=OD,即42+ -3》=r,解得1装⊙0的半径为得 49 数学（苏科版）九年级上 2(1)如图①，连接OB,OC.:AB=AC,AB=AC. AB=AC, 在△AOB和△AOC中，OB=OC,.△AOB≌△AOC OA=OA, (SSS).∴.∠BAO=∠CAO.∴.AO平分∠BAC.(2)如 图②，延长AO交BC于点E,连接OB.由(1)，得AB= AC,AO平分∠BAC,.AE⊥BC.·BE=2BC=4.在 Rt△AEB中，由勾股定理，得AE=√AB2一BE= √(45)2-4=8.设OA=x,则OB=x,OE=AE- OA=8-x.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2+BE= OB2,即(8-x)2+42=x2,解得x=5..OA=5, ① ② (第2题) ③19.2连接OC.:OB=10,∴.OA=0C=OB=10. OE⊥AC,∴.∠OEA=90°.在Rt△OEA中，由勾股定 理，得AE=√OA-OE=√102-6=8.：OE⊥AC, .AE=CE=8.∴.AC=AE+CE=16.设OF=x,则 AF=OA十OF=10+x.:CD⊥AB,∴.∠AFC=90°.由 勾股定理，得CF2=OC2-OF2=AC2-AF2,∴.102 x2=162-(10十x)2,解得x=2.8..OF=2.8..在 Rt△CF0中，CF=√OC-OF=√10-2.82=9.6. CD⊥AB,∴.DF=CF=9.6..CD=CF+DF= 19.2. ④如图，过点O作OG⊥BC于点G,延长GO交EF于点 H,连接BO,EO.BC∥EF,OG⊥BC,∴.OH⊥EF. BG号BC=号×8=1.5(cm.EH=EF-合× 4=2(cm).∴.在Rt△BOG中，GO=√OB2-BG= √2.5-1.5=2(cm),在Rt△OEH中，OH= √OE2-EH=√2.53-2=1.5(cm)..h=OH+ OG+AB=1.5+2+2.6=6.1(cm),即香水瓶的高度h为 6.1cm. B G H E---F (第4题) 50 6C∠BFC=18,.∠BAC=2∠BFC=36. :AB=AC,.∠ABC=∠ACB=2180-∠BAC)= 号×180-36的=72.又：F是半径AB的垂直平分 线，∴.BD=AD.∴.∠ABD=∠BAC=36°.∴.∠DBC= ∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°. ⑥a十B=90°：AB为圆的直径，∴.∠ADB=90. ∴.∠BAD=90°-∠ABD=90°-a.四边形ABCD内 接于圆，∴.∠BAD+∠BCD=180°.：∠BCE+∠BCD= 180°，∴.∠BAD=∠BCE,即90°-a=B.∴.a+B=90°. ⑦(1)如图，设AC与BD相交于点F.'AC⊥BD于点 F,∴.∠AFD=90°.∴.∠DAC+∠ADB=90. :∠ADB=∠ACB,∴.∠DAC十∠ACB=90°.(2)如 图，连接HF并延长，交BC于点T,过点O作OE⊥BC于 点E,连接EF并延长，交AD于点I,则BE=CE, ∠OEC=90°.OH⊥AD于点H,.AH=DH, ∠OHD=90°.：∠BFC=∠AFD=90°，E,H分别为 BC,AD的中点，∴FE=CE=BE=2BC,FH=DH= AH=7AD.·.∠BFT=∠HFD=∠ADB=∠ACB, ∠AFI=∠EFC=∠ACB=∠ADB.∴.∠FTC= ∠CBF+∠BFT=∠CBF+∠ACB=9O°，∠FID= ∠DAF+∠AFI=∠DAF+∠ADB=90°.∴.∠FTC= ∠OEC,∠FID=∠OHD.∴.FHOE,FEOH.∴.四边 形FEOH是平行四边形.∴.FE=OH.:BC=2FE, .BC=20H. D BT E (第7题) ⑧C连接OC.OB=OC,.∠OBC=∠OCB. .2∠OBC+∠BOC=180°.点I是△ABC的内心， ∠CAI=37°，.AI平分∠BAC..∠BAC=2∠CAI. ∴.∠B0C=2∠BAC=4∠CAI=4X37°=148. ∴.2∠OBC+148=180°.∴.∠OBC=16° 9(1)连接OE.:OE=OC,.∠OEC=∠C.:OC⊥ AB交⊙O于点C,.∠BOC=90°.DF=FE, ∴.∠FDE=∠FED.:∠FDE=∠CDO,∴.∠OEF= ∠OEC+∠FED=∠C+∠CDO=90°.∴.OE⊥EF. ·OE是⊙O的半径，.EF为⊙O的切线.(2)设 BF=m.OD=2且BD=BF=m,∴.OE=OB=2+, OF=OB+BF=2+2m,DF=FE=2m.在Rt△OEF中， 由勾股定理，得OE2+FE=OF2,即(2十m)2+(2m)2= (2十2m)2,解得m1=4,m2=0(不符合题意，舍去). .OB=2+4=6..⊙0的半径为6. 010:正五边形的每个内角为5×180°×(5-2)= 108°，.∠0=180°-(180°-108)×2=36°..正五边形 木片的个数是360°÷36°=10. ①(1)如图，连接OF.·EF是⊙O的切线，.EF⊥ OF.∴.∠OFE=90°.∴.∠EFB+∠OFB=90°.CE1 OB,∴.∠BCD=90°.∴.∠B+∠BGC=90°.OB=OF, ∴.∠B=∠OFB.∴.∠BGC=∠EFB.∠BGC ∠EGF,∴.∠EFB=∠EGF.∴.EF=EG.(2)如图，连 接OD,FD.:AF=FD=BD,.∠AOF=∠DOF= ∠B0D=号X180°=60.∠ABF=∠BFD=30 OF=OD,.△DOF是等边三角形.CE⊥OB, ∴.∠BCD=90°.∴.∠EGF=∠BGC=90°-∠ABF= 60°.由(1)，得EF=EG,∴.△EFG是等边三角形 ·∠EFG=60:..∠BFD=号∠EPG,即FD平分 ∠EFG..FD⊥CE,GD=DE=2.∴.GE=GD十DE= 4.等边三角形EFG的边长为4.∴.FD √EF2-DE=√/42-2=2√5..OD=FD=2√5， San=号DE·FD=7X2X25=25.易得SAm ×(25)炉=35.六S#e=Sm-(Snn 5m)=25-60mX25Y+3w5=55-2元 360 A GA E D B (第11题) ②(1)9.如图①，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥OC 于点F.优弧CD与直线AB相切于点C,∴.OC⊥AB. DE⊥AB,DF⊥OC,∴.四边形DECF为矩形 附：答案与解析 ∴.DE=FC.∠DOF=60°，OD=OC=18,DF⊥OC, 1 ∠ODF=30,则OF=2OD=9.FC=OC-OF= 18-9=9.∴.DE=9,即点D到直线AB的距离为9. (2)①7.5或22.5.当直线l与优弧CD相切于点M,且 点M在直线OC的左侧时，如图②，连接OM,则OM⊥1. 由(1)知，OC LAB..'lOC,.1⊥AB.∴.四边形OMEC 为矩形.∴.∠COM=90°.OM从OC出发按顺时针方向 90 转动，转动速度为每秒12，一1=12=7.5.当点M在直线 OC的右侧时，如图③，连接OM,则OM⊥1.由(1)知， OC⊥AB.lOC,∴.l⊥AB..四边形OMEC为矩形 ∴.∠COM=90°.∴.OM的旋转角度为360°-90°=270°， OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒 1贮：-罗=25综上所述，当直线1与优孤CD相切 时，t的值为7.5或22.5.②当t=5时，∠C0M=12× 5=60°.如图④，连接ON,过点O作OG⊥MN于点G.由 题意，得OM=OC=18.由(1)知，OC⊥AB.l∥OC, .l⊥AB.:OG⊥MN,∴.四边形OGEC为矩形 ∴.∠G0C=90°..∠GOM=∠G0C-∠COM=90° 60=30.MG=20M=9.0G=-√OM-MG=9v5. OM=ON,OG⊥MN,∴.MG=NG=9,∠NOG= ∠MOG=30°..∠M0N=60°，MN=2MG=18.∴.涂色 部分的面积=扇形OMN的面积一△OMN的面积= 0X号×18X95-=5tr818. 360 0 M D C E B AE C B ① ② 0 M G、0 M C E B AE B ③ ④ (第12题) ③(1)如图①，连接BD.:弦CD LAB,且AB是⊙O的 直径，.AB垂直平分CD.BC=BD..∠BCD= ∠BDC.:BC=BC,.∠BDC=∠M..∠M= 51 数学（苏科版）九年级上 ∠BCD.(2)①设⊙O的半径为r.CD=8,直径 AB⊥弦CD,.CE=2CD=4.:AE=2,∴.OE=-2. 在Rt△CEO中，由勾股定理，得CE2十OE2=OC2,即42十 (r一2)2=r2,解得r=5...EB=AB一AE=2r一2=8.在 Rt△CEB中，由勾股定理，得BC=EB2+CE=82+4= 80.,CM为⊙O的直径，.CM=2r=10,∠CBM=90° 在Rt△BCM中，由勾股定理，得BM=√CM一BC= √100-80=2√5.②2√13-25.由①知，BC2=80, ∴.BC=4W5.:BH⊥CM,∴.∠BHC=90°.∴.点H在 以BC为直径的圆上运动（如图②）.记BC的中点为Q,连 接HQ,DQ,则DH≥DQ-HQ,当且仅当D,H,Q三点 依次共线时取等号.过点Q作QG⊥CD于点G,则QG∥ AB.Q为BC的中点，∴.易得QG为△BCE的中位线. :cG=2CE=2×4=2.0G=2BE=号×8=4 1 ∴.DG=CD-CG=8-2=6.在Rt△DQG中，由勾股定 理，得DQ=√/DG2+QG2=√/62+42=2√13..·HIQ= 2BC=25∴.DH长的最小值为DQ-HQ-2√3-25. M ① ② (第13题) [综合素养提升] ①B连接OC.:OA∥BC,∠AOB=30°，∴.∠OBC ∠AOB=30°.：OC=OB,.∠OCB=∠OBC=30°. .∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-(30°+ 30)=120°.∴.∠A0C=∠B0C+∠AOB=120°+30°= 150.·.∠D=7∠A0C=75.∠A0B=30, ·∠ACB=2∠A0B=15.:∠BCD=80,·∠ACD- ∠BCD-∠ACB=80°-15°=65°..∠CAD=180°- ∠D-∠ACD=180°-75°-65°=40°.∴.∠D-∠CAD= 75°-40°=35°」 ②D如图，设圆心为点O,连接OA,AB,OE,OE交AB 于点C.由题意，易得AB=l6cm,CE=4cm,E为AB的 52 中点“易得OE⊥AB.AC=BC=号AB=8cm设 ⊙O的半径为Rcm,则OC=(R-4)cm.在Rt△OAC中， 由勾股定理，得OA2=AC+OC,即R2=82+十(R-4)2, 解得R=l0.∴.该铁球的半径是10cm. 单位：cm C B E 16 (第2题) ③D如图，连接EO并延长，交AB于点F,连接OA.设 ⊙O的半径为r,则OA=r,易得OF=8-r.CD与⊙O 相切，.OE⊥CD.·四边形ABCD为正方形，.AB∥ CD.OFLAB..AF=2AB=4在R△OAF中，由 勾股定理，得AF+OF2=OA,即4+(8-r)2=r2,解得 r=5...⊙0的半径为5. B (第3题) ④CF为CBD的中点，C下-DF.故①正确 ∴.∠FCM=∠FAC.:∠FCG=∠ACM+∠FCM, ∠AME=∠FMC=∠ACM+∠FAC,.∠AME= ∠FMC=∠FCG>∠FCM.∴.FC≠MF.故③错误 :AB⊥CD,FH⊥AC,.∠AEM=∠CGF=90°. ∴.∠CFH+∠FCG=90°，∠BAF+∠AME=90°， ∠AME=∠FCG,.∠CFH=∠BAF..CH=BF ∴.HC=BF.故②正确.：∠AGF=90°，.∠AFH十 ∠CAF=90°..AH的度数+CF的度数=180°.∴.CH 的度数+AF的度数=180°..DF+AH=CF+AH CH+AF=BF十AF.故④正确.综上所述，①②④正确， 共3个 ⑤45如图，△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的内 切圆，D,E,F分别为切点，连接OA,OB,OC,OD,OE, OF,则AB=BC=AC,OD=OE=OF=2,OD⊥BC, OE⊥AB,OF⊥AC.设AB=BC=AC=a,a>0,易得 SAA三Ba,又SAAc=SAr十SAOB十SAACC=☐第3章圆 朝高频考点突破 考点一圆的基本性质 典例1如图①，在⊙O中，弦AD,BC相交 于点E,连接OE,已知AB=CD. (1)求证：BE=DE. (2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE= 1,求AE的长. (典例1图①) 分析 (1)根据圆心角、孤、弦的关系得到AB CD,推出△ABE≌△CDE,根据全等三角形的 性质得到结论.(2)过点O作OF⊥AD于点 F,OG⊥BC于点G,连接OA,OC.根据垂径定 理得到AF=FD,BG=CG,由(1)的三角形全 等，可得AD=BC,于是得到AF=CG,推出 Rt△AOF≌Rt△COG.根据全等三角形的性质 得到OF=OG,证得四边形OFEG是正方形， 于是得到OF=EF.设OF=EF=x,则AF FD=x十1，根据勾股定理列方程，即可得到结论 解答：(1)：AB=CD,∴.AB=CD. 「∠A=∠C, 在△ABE和△CDE中，AB=CD, ∠B=∠D, .△ABE≌△CDE(ASA).∴.BE=DE (2)如图②，过点O作OF⊥AD于点F, OG⊥BC于点G,连接OA,OC. 根据垂径定理，得AF=FD=AD,BG 聚焦高频考点，各个击破 CG-BC. 由(1)，得△ABE≌△CDE, ∴.AE=CE,BE=DE ∴.AE+DE=CE+BE,即AD=BC. .AF=CG. 在Rt△AOF和Rt△COG中， AF=CG, OA=OC, ∴.Rt△AOF≌Rt△COG(HL). .OF=OG. AD⊥CB, ∴.易得四边形OFEG是正方形 ∴.OF=EF 设OF=EF=x, 则AF=FD=EF十DE=x十1. 在Rt△OFA中，由勾股定理，得OF2+ AF2=OA2, 即x2+(x十1)2=52， 解得x=3或x=一4（舍去）. ∴.EF=3,AF=4. ∴.AE=AF十EF=4+3=7. B (典例1图②) 小结 本题重点考查全等三角形的判定和性质，圆 心角、孤、弦的关系，勾股定理，熟练掌握全等三 角形的判定和性质是解题的关键 21 数学（苏科版）九年级上 对应练习， 1.如图，AB为⊙O的直径，C是BE的中 点.过点C作CD⊥AB于点G,交⊙O于 点D.若BE=8,BG=3,则⊙O的半径为 ) E B D (第1题) A.4 B.5.5 C. 6 D25 2.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB= AC,连接AO,BC. (1)求证：AO平分∠BAC (2)若AB=4√5，BC=8,求半径OA. (第2题) 考点二垂径定理 典例2如图①，有一座拱桥的桥拱是圆弧 形，它的跨度AB=60m,拱高PD=18m, 点O是圆弧所在圆的圆心. 22 (1)求圆弧所在圆的半径 (2)防汛部门规定当洪水泛滥到跨度只有 30m时，要采取紧急措施.当拱顶离水面 A'B'只有4m,即PE=4m时，是否需要采 取紧急措施？ A D 0 (典例2图①) 分析 (1)设圆孤所在圆的半径为rm.由垂径定 理和圆的性质，可得AD=方AB=30m,OD- OP-PD=(r-18)m,再由勾股定理可得方程 r2=302十(r-18)2,解方程即可得到答案. (2)由垂径定理和圆的性质，可得AB'=2A'E, OE=OP-PE=30m,利用勾股定理求出A'E 的长，进而求出A'B的长即可得到答案. 解答：(1)设圆弧所在圆的半径为rm. 如图②，连接OA.根据题意，得OP⊥AB, AD=2AB=30 m,OD=OP-PD=(r- 18)m. 在Rt△ADO中，由勾股定理，得AD2十 OD2=0A2, 即30+(r-18)2=r2,解得r=34. '.圆弧所在圆的半径为34m. (2)如图②，连接OA' 由(1)，得OA'=OP=34m.又.'PE=4m, ∴.OE=OP-PE=34-4=30(m). 根据题意，得OP⊥A'B', ∴.在Rt△A'EO中，由勾股定理，得A'E= √OA'2-OE2=√/342-302=16(m). .A'B′=2A'E=32m. .32m>30m, ∴不需要采取紧急措施 D 0 (典例2图②) 小结 这类问题主要考查垂径定理与勾股定理的 应用，正确作出辅助线构造直角三角形是迅速解 题的关键， 对应练习 3.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点F,OE⊥AC于点E.若OE=6,OB= 10,则CD的长为 D B C 第3题 4.如图，某品牌的香水瓶从正面看上去它可 以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的 部分与矩形ABCD组合而成的图形 (点B,C在⊙O上)，其中BC∥EF.已知 ⊙O的半径为2.5cm,BC=3cm,AB= 2.6cm,EF=4cm,求香水瓶的高度h. B--、C 0. E、--F (第4题) 第3章圆 考点三圆心角与圆周角、圆内接四边形 典例3如图①，BD是⊙O的直径，AB= AD,C是⊙O上的一动点，且与点A分别在 BD的两侧，连接AB,AD,BC,CD,AC. (1)若CD=5BC,BD=4,求AC的长， (2)求证：CD+BC=√2AC. 0】 B (典例3图①) 分析 (1)连接CO并延长，交⊙0于点E,连接 AE,利用直径所对的圆周角是直角求出 ∠BAD=∠CAE=90°，从而可得∠ADB= ∠ABD=45°，再根据已知CD=5BC,求出 ∠BOC=30°，进而求出∠AEC=60°，∠ACE= 30°，在Rt△ACE中，利用勾股定理求出AC的 长即可.(2)过点A作AF⊥AC,交CD的延长 线于点F,构造“手拉手”模型，证明△ABC≌ △ADF,从而可得AC=AF,BC=DF,进而得 到△AC℉是等腰直角三角形，通过边的等量代 换即可得证， 解答：(1)如图②，连接C0并延长，交⊙O 于点E,连接AE. BD是⊙O的直径， ∴.∠BAD=90°. .AB=AD, ∴.AB=AD. .∠ABD=∠ADB=45. .·CD=5BC, .∠BOC= ∠COD. 5 ·∠B0C=6∠B0D=合×10=30 1 ·∠BDC-∠B0C=15 23 数学（苏科版）九年级上 .∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+ 15°=60° ∴.∠AEC=∠ADC=60°. CE是⊙O的直径， .∴.∠CAE=90°. .∴.∠ACE=90°-∠AEC=90°-60°=30°. CE=BD=4, ..AE=CE=2. ∴.AC=√CE2-AE2=2√3 (2)如图③，过点A作AF⊥AC,交CD的 延长线于点F. ∴.∠CAF=90. .∠BAD=90°， ∴.∠BAD-∠CAD=∠CAF-∠CAD,即 ∠BAC=∠DAF. ·四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°. .·∠ADC+∠ADF=180°， ∴.∠ABC=∠ADF 又.AB=AD, ∴.△ABC≌△ADF(ASA): ∴.AC=AF,BC=DF ∴.△ACF是等腰直角三角形，则CF=√2AC ,·CF=CD十DF=CD十BC, ∴.CD+BC=2AC. ② ③ (典例3图) 小结 本题考查全等三角形的判定与性质，圆心 角、孤、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的 性质.根据题目的已知条件并结合图形添加适当 的辅助线是解题的关键 24 对应练习 5.如图，B,C是⊙A上的两点，半径AB的 垂直平分线与⊙A交于E,F两点，与半 径AC交于点D.若∠BFC=18°，则 ∠DBC的度数为 () A.30° B.32° C.36°D.40° B (第5题) (第6题) 6.如图，四边形ABCD内接于圆，AB为直 径，延长DC到点E,连接BD.设∠ABD= a,∠BCE=3,则a与3之间的数量关系 是 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,且对角 线AC与BD互相垂直 (1)求证：∠DAC+∠ACB=90°. (2)过点O作OH⊥AD于点H,求证： BC=20H. D (第7题) 考点四直线与圆的位置关系 典例4如图，以点O为圆心，AB长为直径 作圆，在⊙O上取一点C,延长AB至点D, 连接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥ AD,交DC的延长线于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线， (2)若CD=4,DB=2,求AE的长. (典例4图) 分析 (1)连接OC,根据圆周角定理得到 ∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=90°.通过角 的等量代换，得到∠ACO=∠DCB,进一步得 到∠DCO=90°.根据切线的判定定理得到CD 是⊙O的切线.(2)先根据勾股定理列方程 得到OB=3,求得AB=6.再根据切线长定 理得到AE=CE.最后根据勾股定理列方程 得到结论 解答：(1)连接OC ·AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°..∠BCO+∠ACO=90° .OA=OC, .∠DAC=∠ACO 又，∠DCB=∠DAC, .∴.∠ACO=∠DCB. ∴.∠BCO+∠DCB=90°，即∠DCO=90°. ∴.OC⊥CD OC是⊙O的半径， .CD是⊙O的切线 (2)设OB=OC=x,则OD=OB十DB= x+2. 第3章圆 由(1)，得∠DCO=90°， ∴.在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2十 OC2=OD2,即42十x2=(x十2)2，解得 x=3. ∴.OB=3,AB=2OB=6. .AD=AB+DB=6十2=8. ·AE⊥AD,AB是⊙O的直径， .AE是⊙O的切线： 又由(1)知，CD是⊙O的切线， ∴.AE=CE. 设AE=CE=y, 则DE=CE十CD=y十4. 在Rt△EAD中，由勾股定理，得AD2+ AE2=DE2,即82十y2=(y+4)2,解得 y=6. ∴.AE的长为6. 小结 本题既考查切线的判定与性质，也考查圆周 角定理的推论，根据已知条件与所求问题正确作 出辅助线—圆的半径是解题的关键 对应练习 8.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I 是△ABC的内心，连接OB,IA.若 ∠CAI=37°，则∠OBC的度数为() (第8题) A.37°B.20°C.16°D.14° 9.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交 ⊙O于点C,D为OB上一点，延长CD 交⊙O于点E,延长OB至点F,使DF= FE,连接EF. 25 数学（苏科版）九年级上 (1)求证：EF为⊙O的切线. (2)若OD=2且BD=BF,求⊙O的 半径. D (第9题)》 考点五 与正多边形、扇形的面积、 圆锥的侧面积有关的计算 典例5如图，在直线l上有一个边长为8cm 的正方形ABCD和一个直径为4cm的 ⊙O,⊙O紧贴着正方形的边AB. B 0. 0 D D ① ② (典例5图) 26 (1)如图①，正方形保持不动，⊙O沿直线1 以2cm/s的速度向右匀速滚动，从初始位置 到⊙O恰好离开正方形时停止滚动（即到达 ⊙O'的位置)，在这个过程中⊙O扫过的面 积是多少？这个过程共用了多少秒？ (2)如图②，⊙O沿着正方形外侧按照 AB→BC→CD的方向匀速滚动，碰到直线1 停止滚动（即到达⊙O”的位置），从初始位置 到停止滚动的过程，圆心O经过的路程是 多少？ 分析 (1)根据题意，结合图形找出⊙O扫过的 面积，再求出其面积即可.(2)根据题意，结合 图形找出圆心O走过的路程，进而求解即可. 解答：(1)⊙O扫过的面积即如图③所示的 涂色部分的面积：π× +4×(8+4)= (48+4π)cm2. 这个过程共用了(4十8)÷2=6(s). (2)⊙O在滚动过程中，圆心O的运动路线 如图④所示，则圆心O经过的路程是(8一 2)×2+8+2×4X2πX2=(20+2x)cm. 0 ③ ④ (典例5图) 小结 本题主要考查圆的面积公式、孤长公式，理 解题意，根据题意正确找出⊙O扫过的面积、圆 心O的运动路线是解题的关键 对应练习， 10.某手艺人制作由正五边形木片拼接而成 的装饰盘，这些木片完全相同.现已摆放 3个正五边形木片，呈现如图所示的位 置关系，那么要完成这一圈圆环排列，总 共需要 个正五边形木片. (第10题) 11.如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C 为OB上的点，CE⊥OB交⊙O于点D, 过点E作⊙O的切线，切点为F,连接 BF交CD于点G. (1)求证：EF=EG (2)若AF=FD=DB,DE=2,求涂色 部分的面积. 0 G B (第11题) 第3章圆 考点六探究型问题 典例6【问题背景】 如图①，⊙O的直径AB=16,AM,BN是 ⊙O的两条切线，切点分别为A,B,直线 CD与⊙O相切于点E,并与AM,BN分别 交于D,C两点. 【问题探究】 (1)如果设AD=x,BC=y,小明和小华同 学在探究过程中，发现线段AD与线段BC 的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取 了两种不同的思路方法，请你按照这两名同 学的思路方法完成他们探究所得出的结论. ①小明同学的思路：如图②，过点D作 DF⊥BC于点F,请完成解答过程 ②小华同学的思路：如图③，连接OD,OC, OE,也顺利地完成了探究.请补全图形，并 完成解答过程。 【问题解决】 (2)如图③，在(1)的条件下，若△COD的面 积是80，求线段AD的长。 (3)在(1)的条件下，设a= 64 64 64+x64+y b2 工十y,请比较a,b的大小，并说 1+x1+y 明理由. A D M D 0 0 B F C N ① ③ M D M 0 CN ③ ④ (典例6图)》 27 数学（苏科版）九年级上 分析 (1)①由切线长定理，可得AD=DE=x, BC=CE=y,可证得四边形ABFD是矩形.由 矩形的性质，得出FC=BC一BF=y一x, DC=x十y,再由勾股定理计算即可得出结果. ②补全图形.由①知，AB⊥AM,AB⊥BN,则 AMBN,证明∠DOC=90°，再结合勾股定理 计算即可得出结果.(2)由条件，可得x十y 20,再结合xy=64,计算即可得出结果.(3)由 64十 (1)知，y=64,把xy=64代入a=64十x 64 64+y 十千再结合b 中，得a=y x ,),即可得出结果。 1+x1+y 解答：(1)①.AB=16,AM,BN,CD均 是⊙O的切线， ∴.AD=DE=x,BC=CE=y,AB⊥AM, AB⊥BN. DF⊥BC于点F, ∴.四边形ABFD是矩形 .DF=AB=16,BF=AD=x,FC= BC-BF=y一x. 又.DC=DE十CE=x十y, ∴.在Rt△DFC中，由勾股定理，得DF2十 FC2=DC2,即162+(y-x)2=(x+y)2. 展开，得256十y2-2xy十x2=x2十 2xy+y2. 整理，得4xy=256. ∴.xy=64,即AD·BC=64,为定值. ②补全图形如图④所示， 由①知，AB⊥AM,AB⊥BN,AB=16, CD=x+y,则AM∥BN,OA=OB= 3AB=8, ∴.∠ADC+∠BCD=180. 28 .CD是⊙O的切线， .OE⊥CD, OA=OE, 在Rt△OAD和Rt△OED中， OD=OD, ∴.Rt△OAD≌Rt△OED(HL). ∴.∠ADO=∠EDO. ·.∠ODC=2∠ADC. 同理，可得∠OCD=2∠BCD. ：∠ODc+∠OD=3(∠An0+ ∠BCD)=90. .△DOC是直角三角形，且∠DOC=90. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD2= OA2+AD2=82+x2=64+x2. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得OC2= OB2+BC2=82+y2=64+y2. 在Rt△DOC中，由勾股定理，得OD2十 OC2=CD2. 代入，得(64+x2)+(64+y2)=(x+y)2. 展开，得128+x2十y2=x2十2xy+y2. 整理，得2xy=128. .xy=64,即AD·BC=64,为定值. (2).'CD是⊙O的切线， OE⊥CD,OE=2AB=8. ESAm=2CD·OE=80 由(1)，得CD=x十y,xy=64, 2(z+y)·8=80 ∴.x+y=20. xy=64, x=4, x=16, .联立 解得 或 x+y=20, y=16y=4. ∴.线段AD的长为4或16. (3)a=b.理由：由(1)知，xy=64, 64 把xy=64代入a= 64中，得 64+x64+y a=-xy+ry -_yx xy+x'xy+yy+1x+1" ↓y 又：b=1十x1+y .a=b. 小结 本题考查切线的性质、切线长定理、勾股定 理等知识，点，熟练掌握以上知识，点并灵活运用是 解此题的关键 对应练习 12.如图①，在⊙O中截掉一个圆心角为60° 的扇形，优弧CD与直线AB相切于点 C,且OC=18. (1)点D到直线AB的距离为 (2)如图②，优弧CD上存在一动点M, OM从OC出发按顺时针方向转动，转 动速度为每秒12°，转动时间为t秒.当 点M运动至点D处时，停止转动.过点 M作直线lOC,直线与优弧CD交于 另一点N,与AB交于点E ①当直线l与优弧CD相切时，t的值 为 ②当t=5时，求涂色部分的面积. 0 B E C B ① ② (第12题) 第3章圆 3.如图①，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ AB,垂足为E,M为BD上的一个动 点，连接BC,CM,BM. (1)求证：∠M=∠BCD (2)已知CD=8,AE=2 ①如图②，若CM恰好经过圆心O,求 线段BM的长， ②如图③，过点B作BH⊥CM于点 H,连接DH,求DH长的最小值（直接 写出答案)： E M ① E\O ③ (第13题) 29