第2章 反比例函数 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第2章 反比例函数 ]高频考点突破 考点一成反比例的意义 典例1下列各选项中的两个量，成反比例关 系的是 ) A.班级队列操表演时，每排站8人，全班的 总人数与排数 B.购买铅笔和钢笔一共花了20元，铅笔的 费用与钢笔的费用 C.小芳制作小红花的效率一定，她制作的 小红花总朵数与制作时间 D.三角形的面积是6cm,三角形的一条边 长与这条边上的高 分析 若两个量的积是常数，则这两个量成反比 例；若两个量的比值是常数，则这两个量成正比 例，据此逐项判断即可. 解答：A.总人数÷排数=8，比值一定，故全 班的总人数与排数成正比例.B.铅笔的费 用十钢笔的费用=20元，和是常数，故铅笔 的费用与钢笔的费用不成反比例.C.总朵 数÷制作时间=效率，效率一定，即比值一 定，故她制作的小红花总朵数与制作时间成 正比例D.“三角形的面积=？X底× 高=6cm2,∴.底×高=12cm2.其乘积 定，故三角形的一条边长与这条边上的高成 反比例.故选D. 小结 本题考查成反比例的两个相关联的量，解题 关键是掌握两个相关联的量，比值一定成正比 例，乘积一定成反比例. 对应练习 1.下列各对相关联的量中，成反比例关系 聚焦高频考点，各个击破 的是 A.汽车匀速行驶的路程与时间 B.将一批糖果按每袋质量相等分装，袋 数与每袋的质量 C.往同一个圆柱形容器中注水，水的体 积与水的高度 D.购买苹果和香蕉的总费用一定，购买 苹果的金额与香蕉的金额 考点二反比例函数的概念 典例2下列函数中，变量y是x的反比例函 数的为 A.y=3 3 B.y= x+1 C.y= 3 D.y=3.x 分析 根据反比例函数的定义、反比例函数的一 般式y= (k为常数，k≠0)，即可判定各函数 的类型是否符合题意」 解答：A.y= 为正比例函数，不符合题意， B.y与x十1成反比例，不符合题意.C.y= 符合反比例函数的定义，符合题怠D,y一 3x为正比例函数，不符合题意.故选C. 小结 (1)形如y= （为常数，6≠0）的函载称 为反比例函数，k叫作比例系数，自变量的取值 范围是非零的一切实数.(2)反比例函数有以下 种基本形式：①y三(k≠0)：②y三虹 (k≠0)：③xy=k(k≠0). 13 数学（苏科版）九年级上 对应练习 2.有下列函数：①y=2x-1;②y=-4 @y国y名@y2其 中，y是x的反比例函数的有 (填序号) 3.用函数表达式表示下列问题中两个变量 之间的关系，并判断是否为反比例函数. (1)已知菱形的面积为24cm2,它的一条 对角线长a(cm)随另一条对角线长 b(cm)的变化而变化. (2)小明家距学校4000m,若他骑车上 学的平均速度是300m/min,则上学途中 他与学校之间的距离y(m)随他骑车时 间x(min)的变化而变化. 4.已知y=y1十y2,其中y1与x2成正比 例，y2与x一1成反比例.当x=2时， y=2;当x=一1时，y=2.求y关于x的 函数表达式. 14 考点三反比例函数的图象与性质 典例3下列关于反比例函数y=4的说法 中，不正确的是 A.点(2,2)，(1,4)均在其图象上 B.函数图象的两支曲线分布在第一、三象限 C.该函数图象上有两点A(x1,y1),B(x2, y2),若x1<x2,则y1<y2 D.当y<一2时，x的取值范围是一2< x<0 分析 根据题目中的函数表达式和反比例函数的 性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从 而可以解答本题 解答：A..当x=2时，y=2,当x=1时， y=4,∴.点(2,2)，(1,4)均在其图象上，故说 法正确，不符合题意.B.,k=4>0,∴.图 象位于第一、三象限，故说法正确，不符合题 意.C.没有说明点A,B在第几象限内，如 A(1,4),B(2,2),1<2,但是4>2，故说法不 正确，符合题意.D.当y<-2时，函数的图 象在第三象限，y随x的增大而减小.当 y=一2时，x=一2，.当y<一2时，x的取 值范围是一2<x<0.故说法正确，不符合题 意.故选C. 小结 反比例函数的图象与性质用下表列出，熟练 掌握反比例函数的性质是解题的关键， =k为 k>0 k<0 常数，k≠0) 图象 续表 所在象限 一、三(xy同号)二、四(x,y异号) 在每个象限内，在每个象限内， 增减性 y随x的增大而y随x的增大而 减小 增大 1.图象是中心对称图形，对称中 心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称 对称性 轴分别是平面直角坐标系一、三象 限的角平分线y=x和二、四象限 的角平分线y=一x 对应练习 5.对于反比例函数y=8,下列说法不正确 的是 () A.这个函数的图象分布在第一、三象限 B.点(2,4)在这个函数图象上 C.若图象上有两点A(x1,y1),B(x2, y2),且x1>x2,则y1<y2 D.当x>0时，y随x的增大而减小 6.已知一个函数具有以下特征：①它的图 象经过第四象限；②当x>0时，y随x 的增大而增大；③函数的图象关于原点 成中心对称.请写出一个符合上述条件的 函数表达式： 7设函致y会y6生k06≠-2》 当1≤x≤4时，函数y=《的最大值为 y m,函数y+2的最小值为m一4，求m 与k的值 第2章反比例函数 考点四 反比例函数系数“k”的几何 意义 典例4如图，反比例函数y=在第一象限 内的图象经过矩形OABC的边AB,BC的 中点F,E,且四边形OEBF的面积为2，求k 的值. 0 (典例4图) 分析 先设F(x,y),表示出点B,E的坐标，再 根据四边形OEBF的面积为2，列出方程，从而 求出k的值 解答：设F(x,y). .·F,E为矩形OABC的边AB,BC的中点， B2E(货2y片 :点E,F在反比例函数y=的图象上， ∴.xy=k. .S△cE= 2CE·OC=1.x 2 2·2y= 1 22y= 2k,S△0m=2OA·AF=1 2 "ty= :'S边无形OEBF=S矩形OAx一S△CE一S△A0F=2, S矩形0ABC=OA·AB=x·2y=2xy=2k, .2k 2 2k=2. .k=2. 小结 本题考查反比例函数系数“k”的几何意义： 在反比例函数y=的图象上任取一点，过这个 点向x轴和y轴分别作垂线，其与坐标轴所围成 的矩形的面积是定值k. 15 数学（苏科版）九年级上 对应练习， 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中 心在原点O,且正方形的一组对边与x 轴平行，P(4a,a)是反比例函数y=在 第一象限的图象与正方形边的一个交点. 若图中涂色部分的面积等于16，则k的 值为 A.16B.1 C.4 D.-16 (第8题) (第9题) 9.如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，顶 点C在x轴上，函数y=(x<0)的图 象与边AB交于点D,与边BC交于点 E,DF⊥x轴于点F,EG⊥y轴于点G, 交DF于点H.若矩形OGHF和矩形 HDBE的面积分别是1和4，则k的值为 考点五 运用待定系数法求反比例函数 的表达式 典例5如图，在平面直角坐标系中，矩形 OBAC的顶点O与原点重合，边OB,OC在 坐标轴上，且点A的坐标是(2,3)，函数y= (k≠0，x>0)的图象经过边AB的中点 D,与边AC交于点E,连接OE,EB, 0 B (典例5图) 16 (①)求函数y=的表达式. (2)求证：OE=EB. 分析 点A的D为AB 四边形OABC ∠BAE=∠ECO 坐标的中点 为矩形 90°，OC=BA 点D的坐标 点E的纵坐标 确定系数k的值 点E的坐标点A的坐标 CE长为1→CE=AE=1 OE=EB △OCE≌△BAE 解答：(1)'四边形OBAC是矩形，点A的 坐标是(2,3)， .CO=AB=3,AC=BO=2. D是AB的中点， .AD-BD-TAB-. . 又：点D在函数y=(k≠0，x>0)的图 象上， .k=2 33 “国数的表达式为y>0. (2)设E(a,3). :点E在函数y=3(x>0)的图象上， ∴.3a=3,解得a=1. .CE=1. .AC=2. .CE=AE=1. ,:四边形OBAC是矩形， ∴.∠OCE=∠A=90°，CO=AB. CE=AE, 在△OCE和△BAE中，∠OCE=∠BAE, CO=AB, ∴.△OCE≌△BAE(SAS). .OE=EB. 小结 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征， 运用待定系数法求反比例函数的表达式，熟悉矩 形的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用 相关知识是解决问题的关键. 对应练习 10.如图，在平面直角坐标系中，函数y=飞 (x>0)的图象和△ABC都在第一象限 内，BC∥x轴，且BC=8,点A的坐标为 (6,10),点B的坐标为(2,7). (①)若函数y=(x>0)的图象经过点 B,求此函数的表达式 (2)若将△ABC向下平移m(m>0)个 单位长度得到△A'B'C',A,C两点的对 应点A',C√恰好同时落在函数y= x (x>0)的图象上，求m的值， 0 (第10题) 第2章反比例函数 考点六反比例函数的实际应用 典例6某校后勤处每 y 周日均会对学校教室 进行消毒处理，消毒 3 效果等级y与时间x(O 1030 /分钟 (单位：分钟)之间存 (典例6图) 在函数关系，其图象如图所示.其中AB段 为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，且消毒 效果等级y与时间x(单位：分钟)的关系可 近似用一次函数y=kx+刻画，CD段是 反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段 请根据图中信息解答下列问题： (1)k= ,消毒效果的最高等级是 (2)当x≥30时，求y与x之间的函数表 达式. (3)若消毒效果持续28分钟达到等级4及 以上，即可产生消毒作用，则本次消毒是否 有效？ 分析 (1)依据题意，由BC段过点B(10,3),可 得10+ =3,从而得出一次函数的表达式， 又结合图象，可得当x=30时，y取得最大值， 最大位为易×30+=6，进而得解.(2)根据 题意知，当x≥30时，CD段是反比例函数图象 的一部分，设函数表达式为y=”,结合图象过 点C(30,6),从而求出m后，即可得解.(3)根 据题意，令y=员x十2=4，得x=3:又令 3 50 y=180 4,得x=45.算出消毒效果达到等级 4及以上的持续时间，从而得出结论 解答：(1)，·BC段为深消毒阶段，且消毒效 17 数学（苏科版）九年级上 果等级y与时间x(单位：分钟)的关系可近 似用-次函数y=x+刻国，且B10,3》. 六10k十2=3，解得友=品 .一次函数的表达式为y= 3 3 202十21 结合图象，可得当x=30时，y取得最大值 且最大值为品×30+号=6， 3 故答案为号：6 (2)由题意可知，当x≥30时，CD段是反比 例函数图象的一部分， 设该反比例函数的表达式为y=” 由(1)知，点C的坐标为(30,6). “函数y=”m的图象过点C, ∴.m=30X6=180. 六y与x之间的函数表达式为y=18 (x≥30). 3 《3)由题意，令y20文十，=4，得x=5 Γ3 令y=180 4,得x=45. ∴.消毒效果达到等级4及以上的持续时间 为1505（分钟）。 85>28. 31 .本次消毒有效 小结 利用反比例函数解决实际问题的步骤： (1)审清题意，找出常量和变量，厘清常量和变 量之间的关系；(2)设函数表达式，待定系数用 字母表示；(3)列方程，求出待定系数；(4)写出 函数表达式，注意自变量的取值范围；(5)用反 比例函数的图象和性质解决实际问题. 18 对应练习 11.如图所示为海洋公园娱乐设施“水上滑 梯”的侧面图，以OD所在直线为x轴， OA所在直线为y轴，建立平面直角坐 标系.其中OD为水面，滑梯BC段可看 成是反比例函数图象的一部分，矩形 AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高OA 为6米，宽AB为1米，出口C到BE的 距离CF为4米. (1)求BC段的图象对应的函数表 达式 (2)问：点C到x轴的距离CD为多少？ (3)若滑梯BC上有一个小球Q,点Q 距水面OD的高度不超过3米，则点Q 到BE的距离至少为多少米？ y/米 OE Dx/米 (第11题)的值为8或9. ⑤6或12或10根据题意，得≥0且(3√E)2一4×8≥ 0,解得k≥2：整数k<5k=4.方程变形为2 9· 6.x十8=0，解得x1=2,x2=4.△ABC的三边长均满足 关于x的方程x2一6.x十8=0，∴△ABC的三边长为2,2， 2或4,4,4或4,4,2.∴.△ABC的周长为6或12或10. 6(1):(x-2)(x-3)-k2=0,.x2-5.x+6-k2=0. ∴.△=(-5)2-4×1×(6-k2)=25-24+4k2=1+42 无论k取何值，总有4≥0，∴.1十4k>0..无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)由(1)，得 x2-5.x+6-k2=0,.x1+x2=5.∴.x1+2x2=x1+ 2十x=5+x2.x1>x2,x,=5-W42+ 2 :4+1≥1，+≥1.：.5-2王≤2，即 2 x2≤2..5十x2≤7，即x1十2x2≤7. ⑦(1)：关于x的方程x2-21z+m2-n=0有两个不 相等的实数根，∴.△=（一2m)2一4(m2一n)=4m2 4m2十4n>0.∴.n>0.(2).n为符合条件的最小整 数，且n>0,∴.n=1.∴.原方程为x2-2mx十m2-1=0. 根据题意，设该方程的根是a,2a(a>0).∴.a十2a=2m, a·2a=m2-1,解得a=2,m=3或a=-2,m=-3(不合 题意，舍去).∴实数m的值为3. 0()设甲种蔬菜的种植面积为a亩，由题意，得2a十 10=30,解得a=40,符合题意.，∴.100一a=100一40=60. ∴.50×60=3000（元）.答：乙种蔬菜的总种植成本为3000元. (2)设甲种蔬菜的种植面积为亩，则乙种蔬菜的种植面 积为(100一m)亩.由题意，得m≥20,100一m≥50，.20 m≤50.由题意，得(2m十10m十50(100-m)=4272整 理，得m2-80m+1456=0,解得m1=28,m2=52(不合题 意，舍去).当m=28时，100一m=72.答：当甲种蔬菜的种 植面积为28亩，乙种蔬菜的种植面积为72亩时，甲、乙两 种蔬菜的总种植成本为4272元 第2章反比例函数 [高频考点突破] ①BA路程÷时间=速度，速度一定，.汽车匀速 行驶的路程与时间的比值一定，它们成正比例，不符合题 意.B.:袋数×每袋的质量=一批糖果的总质量，总质量 一定，.袋数与每袋的质量成反比例，符合题意.C.·水 附：答案与解析 的体积÷水的高度=圆柱形容器的底面积，底面积一定， ∴.它们成正比例，不符合题意.D.购买苹果的金额+ 购买香蕉的金额=总费用，∴不成反比例，不符合题意 2②⑤①y=2x一1是一次函数，不是反比例函数. ②y=一是反比例函数国y=一6x是正比例函数，不 是反比例函数①y=名不是反比例函数⑤y=六是 反比例函数.综上所述，y是x的反比例函数的有②⑤. 目0由题意，得号-21些理，得a投a是6的反比例 函数.(2)由题意，得300x+y=4000.整理，得y= 一300x十4000.：y与x不具有反比例关系，∴.y不是x 的反比例函数. 0很题意，设=6=合，≠06：≠0.则 y=十=62+气：当x=2时y=2当 2=4k,+2-1' k,=1, -1时，y=2, 解得 k2 2=k+-1-1' k2=-2. y关 2 于x的函数表达式为y=x2 x-1 自CA反比例函数y一至中，6=80，这个国致的 图象分布在第一、三象限，故说法正确，不符合题意.B.当 1=2时y=-4点（2,0在这个函数图象上故说法 正确，不符合题意.C.选项没有说明两点在同一象限，如 A(2,4),B(一2，一4)，2>一2，但4>一4.故说法不正确， 符合题意D.k>0,∴.在每个象限内，y随x的增大而 减小..当x>0时，y随x的增大而减小.故说法正确，不 符合题意。 日y=-十（答案不唯-）设该函数的表达式为y会 (k≠0).·它的图象经过第四象限，当x>0时，y随x的 增大而增大，函数的图象关于原点成中心对称，.k<0. ·该函数的表达式可以为y-一士（答案不唯一 0当>0时西数y=冬y-生≠06大-2》的图 x 象在第一、三象限根据题意，易得当x=1时，函数y=飞 有最大值m,当x=4时，函数y-十有最小值m一4， 47 数学（苏科版）九年级上 ik=m, 7m=6, k+2 解得 k=6. 当<一2时，函数y= 4 =m-4, y6(k≠0，k≠一2》的图象在第二，四象限根据题意， x 易得当x=4时，函数一兰有最大值m,当x=1时，函数 k y=6十有最小值m一4，.4=m, m=-2, 解得{ k=一8. k+2=m一4， 当-2<k<0时，函数y=的图象在第二，四象限，函数 y=十(k≠0，k≠一2的图象在第一三象限.根据题意， x 易得当x=4时，函数y= 有最大值m,当x=4时，函数 x y+2 4 =m 有最小值m一4， 无解.综上所 k十2 4 =m一4， 述，m=6,k=6或m=一2，k=一8. ⑧C如图，：图中涂色部分的面积等于16，∴.易得正方 形OABC的面积=16..'点P的坐标为(4a,a),.OA= 4a.∴.4a·4a=16,即a2=1.∴.a=1(负值舍去). ·P(4,1).又点P在反比例函数y=的图象上， ∴.k=4×1=4. (第8题) ⑨-3设OF=a,CF=b(a>0,b>0).:'矩形OGHF 和矩形HDBE的面积分别是1和4，则OG=子，DH= 5Ew=a·合-岩，5gm=b:是-久 4 44a aa :点D,E在反比例函数y=(x<0)的图象上， Aa .SE5A0=SE韦m.·SE市D比=SE市CPH:小6 4a_4a=2. b,即4a2=b2,解得b=2a.SE无0=6=2a ∴S矩无A0P0=S矩乖ADH6十S拒形0GHr=2+1=3.∴.k=一3. ⑩(1)：函数y=(x>0)的图象经过点B(2,7), 48 _14(x>0). 7=令，解得=14.“函数的表达式为y一号 (2)B(2,7),BC∥x轴，且BC=8,C(10,7).A(6, 10),将△ABC向下平移m个单位长度得到△A'B'C', ∴.A'(6,10-m),C'(10,7-m).:A',C'两点同时落在 反比例函数的图象上，∴.k=6(10-m)=10(7一m). 5 .m=2 ①(1)根据题意，知BC段是反比例函数图象的一部分. 设该反比例函数的表达式为y一冬，由题意，得B(1,6, “6=车解得k=6.:出口C到BE的距离C℉为4米， AB=1米，∴.易得OD=4+1=5(米).∴.BC段的图象对 应的函数我达式为y1≤5.(2：OD=5米， 令x=5,则y=号点C到x轴的距离CD为号米 (3)点Q距水面OD的高度不超过3米，∴.y≤3.在 )中，令y=3得=2结合图象可知，当3时， 2x≤5.∴.1≤x一1≤4.∴.点Q到BE的距离至少为1米. [综合素养提升] 0B:点A(,-0,Bm,8)在反比例函数y=8的图 象上，.-4n=8m=8.∴.n=一2，m=1.∴.点A的坐标 为（一2，一4），点B的坐标为(1,8).观察题图，可得关于x 的不等式ax十b<8的解集为x<-2或0<<1. 0c设0台当V=10时0=1.481.48-合： 解得长=148p=3.当V=2时p=14- 7.15.∴.当体积为2m时，氧气的密度是7.15kg/m3 ③A如图，延长BA交y轴于点D.四边形OABC是 菱形，∴.AO=AB,AB∥OC.由题意，得OC⊥OD, ∴.AD⊥OD.点B的坐标为(8,4)，∴.BD=8,OD=4 设AD=x,则AO=AB=8-x..在Rt△AOD中，由勾 股定理，得OD2+AD2=AO,即4+x2=(8-x)2,解得 x=3.AD=3.点A的坐标为(3,4).函数y= x (x>0)的图象经过点A,∴.k=3X4=12. 0 C (第3题)