专题特训5 反比例函数与一次函数的综合&专题特训6 反比例函数与几何图形的综合-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

专题特训五反比例函数与一次函数的综合 1.A分两种情况进行讨论：①当k>0时，一次函数y x十k的图象经过第一、二、三象限：反比例函数y=的 图象在第一、三象限.②当k<0时，一次函数y=kx十k 的图象经过第二、三、四象限：反比例函数y=的图象在 第二四象限·一次函数)=x十传与反比例函数)一冬 的图象可能是A 2.B在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x 与反比例函数y=2的图象没有交点，若k1>0,则正比 例函数的图象经过第一、三象限，从而反比例函数的图象 经过第二、四象限，k2<0;若k1<0,则正比例函数的图象 经过第二、四象限，从而反比例函数的图象经过第一、三象 限，k2>0.综上所述，k,和k2异号.k1和k,的绝对值 的大小未知，∴k,十k2≤0不一定成立.故①错误.|k,十 k2=|k,|-|k2|川<|k,|或k,+k2|=|Ik,|一|k2|川< |k2|,故②正确.Ik,十k2|=k,一|k21|<|1k,1+ |k2川=|k,一k2|,故③正确.：k,和k2异号，∴.k,k2< 0.故④正确.综上所述，正确的有②③④，共3个 易错警示 不会根据条件分类讨论导致错误 正比例函数y=k,x与反比例函数y=2的图象没 x 有交点，说明正比例函数与反比例函数的图象经过或分 布不在同一象限，则系数的取值正负性不相同，需要分 情况加以讨论，进而对所提供的选项逐一进行甄别. 3.(1)由题意，得k=1X(一2)=一2,1=一2十b, 六k=-2,6=3.y=x十3，y=-2 ,(2)点B的 2 横坐标为-1m=一二=2.B(一1,2).设直线 y=x十3与y轴的交点为C,则易得点C的坐标为(0,3). Sa0s=Sae-Sam=20C·lxa-20C· 1xm=号×3x2-合×3x1=2 4.4如图，过点C作CD⊥x轴于点D,过点B作BF x轴于点F,作BE⊥CD于点E,则∠BEC=∠BFA= 90°.点C(3,4)在直线y=2x十b上，∴.4=2×3+b,解 得b=一2.∴.直线对应的函数表达式为y=2x一2.令y= 0,则x=1..点A的坐标为(1,0).易知BE∥x轴， ,.∠ABE=∠BAF..∠ABC=90°，.∠ABE十 ∠EBC=90°.：∠BAF+∠FBA=90°，∴.∠EBC= ∠BEC=∠BFA, ∠FBA.在△EBC和△FBA中，3∠EBC=∠FBA, UBC=BA, ∴.△EBC≌△FBA(AAS).··CE=AF,BE=BF.设点 k 4- =m-1, B的坐标为(m,),则易得 m=4, 解得 n k k=4. m一3= n “反比例函数的表达式为y=是把=1代入，得y=4 ∴.a=4-0=4,即a的值为4. y↑ B 0A DF x (第4题) 5.(1)A(1,t+2),B(一2t,-1)两点在反比例函数y= m(m≠0)的图象上，∴.易得t十2=一2t×(一1)，解得t= 2.∴.m=1×(2十2)=4.∴.反比例函数的表达式为y= .(2)由(1)，得t=2,∴.一次函数y=kx十b与反比 例函数y=的图象交于A(1,4),B(一4，-1)两点.由题 图可知，当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值 范围是一4<x<0或x>1. 6.C.点A(1,2)在反比例函数图象上，∴.k=1×2=2. “反比例函数的表达式为y一兰.“点Bm,一1)在反比 例函数图象上“m=号=一2“B(一2，-1.由题意 知，关于x的不等式ax十b>人的解集即为一次函数图象 在反比例函数图象上方时自变量的取值范围.∴，关于x的 不等式ax+b>k的解集为一2<x<0或x>1. 71D”点A(1,3)在反比例函数y=冬的图象上， “k=1X3=8反比例函数的表达式为y=是.又：点 B(-1.5m)也在反比例函数y=子的图象上，N= -i.5=-2.2)x≤-1.5或0<x≤1.(3)：A,B 3 两点在x轴的两侧，点M在x轴上，∴.当A,B,M三点共 线时，MA十MB的值最小.∴.M为直线AB与x轴的交 a十b=3, 点.A(1,3),B(-1.5,-2),. 解得 -1.5a+b=-2, a=2:直线AB对应的函数表达式为y=2x十1.当 b=1. y=0时x=-子点M的坐标为(-0)如图，作 点B关于x轴的对称点B,,连接AB,并延长，交x轴于 点N,连接NB.∴.此时NB=NB,则NA一NB=NA NB,有最大值.：B(-1.5,一2)，且点B,B,关于x轴对 称，∴.B,(-1.5,2).设直线AB,对应的函数表达式为 y=cx+d.将A(1,3),B,(-1.5,2)代人，得 2 c+d=3, 解得 ∴.直线AB,对应的函数表 -1.5c+d=2, 13 d=5 达式为y=号十学当y=0时x=一受点N的坐 标为(-号o: y 41 XA(1,3)》 B 3 N -7-654-3-2-， 0123x 1F B -21 (第7题) 8.(1)一4<x<0或x>3.由函数图象可知，当一4< x<0或x>3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上 方，即关于x的不等式x十6>的解集为-4Kx<0或 x>3.(2)将x=3代入反比例函数的表达式，得y 合÷点B的坐标为(，专).同温，可得点A的坠标为 (一4，-冬)将点A,B的坐标代人一次函数的表达式，得 解得 -4十b=- k=12:.一次函数的表达式为 (b=1. 4 y=x十1，反比例西数的表达式为y=是(3设直线 AB与x轴的交点为D,平移后得到的直线交x轴于点E, 过点D作DF⊥CE于点F.一次函数的表达式为y= x+1,.令x=0,得y=1;令y=0,则x=-1..P(0, 1),D(-1,0).又易得点B的坐标为(3,4)，∴.BP= √(3-0)2+(4-1)2=3√2.∴.OD=OP=1,则∠PD0= 45°.又.'CE∥DP,.∠FED=∠PDO=45..直线CE 是由直线AB向左平移2个单位长度得到的，.DE=2, 在Rt△DEF中，∠FED=45°，∴.∠FDE=∠FED=45. .EF=DF..EF2十DF2=DE2,DE=2,∴.EF=√2！ “点C到直线PB的E离为区.△PB8C的面积=× EBp=2×厄X3E=3. 专题特训六反比例函数与几何图形的综合 1.C分别过点A,B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足分别 为DB.:AC=C易得0D-0E.设A(-a2 则B(a,号)Sam=Sm一SAm-Sar=号 易错警示 不会挖掘图象中线段关系隐含的点坐标特征导致错误 解答这类问题时，往往会由于不会挖掘图象中相等 线段所隐含的点的坐标特征，而使得图形面积难以转化 2（)将B(8,1代人y一2，可得m=8,反比例函数 的表达式为y=是将A(a,)代人y=,可得a=2, ∴.A(2,4).设一次函数的表达式为y=bx十b.将A(2, 4),B(8,1)代人y=kx+b,得 4=2k十b解得 (1=8k+b, 1 k=一2'：一次函数的表达式为y=一2x十5. 1 b=5. （2)在y=-+5中，当y=0时.0=-号2十5解得 1 x10,D(10,0).SwM=SM-Amnx 10×4-号×10×1=15(3)如图，过点A作AE,1 x轴于点E,则AE,OC,∴.∠OAE,=∠AOC.A(2, 4),∴.E,(2,0).作∠OAE2=∠AOC(点E2在y轴左侧)， AE2交y轴于点F,过点A作AG⊥y轴于点G.∴.OG= 4,AG=2.:∠OAE2=∠AOC,∴.AF=OF.设OF=t, 则AF=t.∴.FG=4一t.由勾股定理，可得AG十FG= AF2+(4-)P=,解得1=号.0p=号，则 F(o,。),设直线AP对应的函数表达式为y=cx十d.将 F(0,）A(2.4代入，易得直线AF对应的函数表达式 为y=十号当y=0时=号E(号o)综 5 上所述点E的坐标为(2,0或(-9o 0 (第2题) 3.(1)平行四边形.正比例函数y=kx(k>0)与反比 例函数y=的图象交于A.C两点：.点A,C关于原点 O成中心对称.又：点B与点D关于坐标原点O成中心 对称，·对角线BD,AC互相平分.∴.四边形ABCD是平 行四边形，2)：点A(,3)在反比例函数y=三的图 象上，.3m=3,解得n=1.∴点A的坐标为(1,3).∴.易 得OA=V而.：四边形ABCD为矩形，OA=号AC, OB=2BD,AC=BD..0B=OA=而.m=而. (3)四边形ABCD不能成为菱形.理由：点A在第一象 限内，点B在x轴正半轴上，∴.∠AOB<90°.∴AC与 BD不可能互相垂直.∴.四边形ABCD不能成为菱形. 2.3用反比例函数解决问题 第1课时用反比例函数解决物理学科问题 1.B设密度p(kg/m)关于体积V(m)的函数表达式为 0=,:当V=10时，p=1.431,.k=10×1.431= 1431p当0=477时V-业器-8 2.0.5600×1÷1200=0.5(m),∴.动力臂是0.5m. )设电流1与电阻R之间的函数表达式为1一日，当 R=6时，1=55=，解得U=30.电流1与电阻尺 之间的函数表达式为1一食 4.(1)设h关于p的函数表达式为h=(k≠0).把p= 0 1,h=20代入，得k=1×20=20..h关于p的函数表达 式为A碧（2)把A=25代人h-,得25-2解得 0 p=0.8..该液体的密度为0.8g/cm3. 5.C设b关于V的函数表达式为力-冬(k为常数，且 ≠0).将(10,60)代入p=合，得&0=60，解得及 600力关于V的函数表达式为力-60V 6000.设当b=,时，V=V,当p=:时，V=V,则 v-602,-g-V=600(分)=a0 ÷分动高当=m,A=15时分 100一125500≠150选项A不符合题意.当p,=75, 111 A:=0时方名市高赢产高“这项B不 符合题意当p,=50p=75时，1-1=1-1=1 'p1p25075-150 运项C符台题意当一2，：-0时，分一 六动动高：运项D不符合题意：当气体体积 111 压缩了40mL时，压强可能从50kPa加到了75kPa 6.2设T(C)与t(mim之间的函数表达式为T-么(k 为常数，且k≠0.将2,90)代人，得90=令，解得k=180, :T-180当T=60时4=3当T=36时2=5：5 3=2(min),∴.化学反应后该液体的温度从60℃降到 36℃，要经过2min 7(1)设p=专(S>0.:点0.1,100)在这个函数的 图象上k=10.·p关于S的函数表达式为p=100 S (S0.2当S=0,25时p00% =400.(3)令 p=10则5=10=，1：令p=40,则S= 0.025..当1000<p<4000时，0.025<S<0.1. 8.(1)阻力×阻力臂=动力×动力臂，.重物的质 量×OA的长=秤砣的质量XOB的长.OA=2cm,重 物的质量为xkg,OB的长为ycm,秤砣的质量为0.5kg, ∴.2x=0.5y,即y=4x.∴.y关于x的函数表达式为y= 4x..当y=0时，x=0;当y=48时，x=12.'4>0, ∴.y随x的增大而增大.∴.当0<y<48时，x的取值范围 是0<x<12.(2):阻力X阻力臂=动力×动力臂， ∴.秤砣的质量XOA的长=重物的质量XOB的长. :OA=2cm,重物的质量为xkg,OB的长为ycm,秤砣 的质量为0.5kg0.5×2=xy,即y= .y关于x 的圆数表达式为y一}>0以，当025时y05 4;当x=0.5时，y= 1=2:当x=1时，y=1:当x=2 0.5 时，y=0.5;当x=4时，y=0.25. 填表如下： x/kg … 0.25 0.5 入 2 y/cm … 2 0.5 0.25 函数图象如图所示 y/cm 1234x/kg (第8题)拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 专题特训五 反比例函数与一次函数的综合 类型一反比例函数与一次函数的图象信息题 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx十k与反比例函数y=的图象可能是 ( D 2.易错题已知在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x与反比例函数y=2的图象没有交 点.关于k1与k2的关系，给出下列结论：①k1十k2≤0；②|k1十k2|<|k1|或|k1十k2|<k2|; ③|k1十k2|<k1一k2|;④k1k2<0.其中，正确的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，一次函数y=x十b的图象与函数y=(k≠0，x<0)的图象交于A(一2,1)，B(一1，m)两 点.求： ①)一次函数y=工十b与函数y=(k≠0，x<0)的表达式. (2)△AOB的面积. (第3题) 类型二交点坐标与待定系数值 4.如图，过点C(3,4)的直线y=2x+b交x轴于点A,∠ABC=90°，BC=BA,反比 例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象经过点B.若将点A沿y轴正方向平移 a个单位长度恰好落在该反比例函数的图象上，则a的值为 (第4题) 5.如图，一次函数y=kx十b与反比例函数y=”(m≠0)的图象交于A1,1+2),B(一2t,-1)两点. (1)求反比例函数的表达式. (2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出x的取值范围. (第5题) 34 第2章反比例函数 类型三确定不等式的解集 6.如图，一次函数y=ax十b与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A(1,2),B(m,-1),则关 于x的不等式ax十b>的解集是 A.x<-2或0<x<1 B.x<-1或0<x<2 C.-2<x<0或x>1 D.-1<x<0或x>2 (第6题》 7.如图，反比例函数y=冬和-次函数y=ax十b的图象交于A1,3)和B(-15,n)两点 (1)求k,n的值 (2)直接写出关于x的不等式Qx十b<的解集， (3)在x轴上找出一点M,使MA+MB的值最小，并求出点M的坐标；在x轴上画出点N,使 NA一NB的值最大，并求出点N的坐标. y个 4 A(1,3) 1 -76-543-21 0123x BX-2H 73 (第7题) 类型四与面积有关的问题 8[2025雅安中考]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b与反比例函数y=上的图象交 于A,B两点，其中点A,B的横坐标分别是一4和3. (1)直接写出关于x的不等式x十b>的解集 (2)求出一次函数和反比例函数的表达式， (3)直线AB交y轴于点P,将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图 象交于点C,连接PC,BC,求△PBC的面积 (第8题) ●“答案与解析”见P19 35 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 专题特训六反比例函数与几何图形的综合 类型一反比例函数与相等的线段 易题如图，A是反比例函数y=一在第二象限内的图象上一点，5是反中 y=-x 例函数y=4在第一象限内的图象上一点，直线AB与y轴交于点C,且AC= 0 BC,连接OA,OB,则△AOB的面积是 () (第1题) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 类型二反比例函数与相等的角 2医探题如图，一次函数的图象与反比例函数y一(m为常数)在第一象限内的图象交于 点A(a,4),B(8,1),与y轴交于点C,与x轴交于点D. (1)求一次函数的表达式. (2)连接OA,OB,求△AOB的面积 (3)若E是x轴上一动点，且∠OAE=∠AOC,请求出点E的坐标. D (第2题) 类型三反比例函数与四边形 3如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx(k>0)与反比例函数y=3的图象交于A,C两 点.已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为(m,0),其中m>0. (1)四边形ABCD是 (填四边形ABCD的形状). (2)当点A的坐标为(n,3)时，若四边形ABCD是矩形，求m,n的值. (3)试探究：随着k与m的值的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的 值；若不能，请说明理由. (第3题) 36 >“答案与解析”见P20