专题特训3 一元二次方程的综合应用&综合与实践1 优美的黄金分割-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第1章一元二次方程 专题特训三 一元二次方程的综合应用 类型一新定义问题 1.如果关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程x2一6x十8=0的两个根是x1=2和 x2=4,则方程x2一6x十8=0是“倍根方程”. (1)根据上述定义，一元二次方程2x2十x一1=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程” (2)若一元二次方程x2一3.x+c=0是“倍根方程”，则c= (3)若(x一2)(mx一n)=0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式4m2一5mn十n2的值. 类型二工程问题 2.某工程队采用A,B两种型号的设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造.原计划A型设 备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务. (1)问：A型设备每小时铺设路面多少米？ (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米.在实际施工中，B型设备 在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了(m十25)小时，同时，A型设备的铺路效率比原 计划每小时下降了3m米，而铺路时间增加了m小时，求m的值. 类型三图表信息问题 3.为了节约用水，某地水厂规定：居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月只需缴10元水 费：如果超过x吨，那么这个月除了仍要缴10元水费外，超过部分按每吨元缴资，下表是某 居民9月、10月的用水情况和缴费情况： 月份 用水量/吨 缴费总额/元 9月 85 25 10月 50 10 根据上表数据，则x的值为 19 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 4.舒青境体育比赛某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两名队员之间都比赛一场，每场比赛 都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两 天完成，下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表： 队员编号 比赛场数 胜场/场 负场/场 积分/分 1 10 8 2 18 2 10 10 0 20 3 8 7 1 15 4 8 6 2 14 5 7 0 7 (1)在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？ (2)如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负 场 类型四动态几何问题 5.如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD=8,E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向 以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速 度先沿BC方向运动到点C,再沿CD方向向终点D运动，以EP,EQ为邻边作□PEQF,设点 P运动的时间为t秒(0<t<8). (1)当t=1时，试求PE的长， (2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长. (3)在整个运动过程中，当□PEQF为菱形时，求t的值. B Q (第5题) 20 >“答案与解析”见P9 第1章一元二次方程 综合与实践1优美的黄金分割 1.科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比时，雕塑看起来最美，我 们把这个比值叫作黄金分割数，如何求黄金分割数？把上面问题一般化.如图，线段AB的长为 1,线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB,则线段AC的长为 A B (第1题) 2.【问题背景】2021年7月，第14届国际数学教育大会在中国上海召开，其会标蕴含丰富的数学 知识，会标的设计理念来自《河图》： 000-0000 D ●参 ● ① ② (第2题) 【观察】(1)如图①所示为《河图》，由1,2,3，…，10这10个自然数排列而成，“十”字形布局中， 横向上的5个数(8,3,10,4,9)之和为34，纵向上的5个数(7,2,5,1,6)之和为21，这两个数是相 邻的斐波那契数（斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…该数列随着项数增大，相邻两数 的比越接近黄金比，因而又被称为黄金分割数列).请直接写出该黄金分割数列中的第13个 数： 【思考】(2)会标中心的弦图是三国时期数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明.如图②， 在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼 成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF,E是AF的黄金分割点，求正方形EFGH与正方形 ABCD的面积之比， “答案与解析”见P10 21时，△PCQ的面积等于△ABC的面积.(3)当点P,Q运 动时，线段DE的长度不会改变.如图，当点P在线段AB 上时，过点Q作QM⊥AC,交直线AC于点M,连接QE, PM,易证△APE≌△QCM..∴.易得AE=PE=CM= QM-12 tcm,四边形PEQM是平行四边形，且DE 2EM又：EM=BC+CM=C+AE=AC=10Ecm, ∴.DE=5√2cm..当点P,Q运动时，线段DE的长度不 会改变.同理，当点P在线段AB的延长线上时，DE 5√2cm.综上所述，当点P,Q运动时，线段DE的长度不 会改变. 10 P B (第10题)》 第3课时市场营销问题 1.A设这种台灯每盏的售价应定为x(40x60)元.依 题意，得[600-10(x一40)](x-30)=10000.整理，得 x2-130x+4000=0,解得x1=50,x2=80(不合题意，舍 去).：'50一40=10（元），∴.每盏台灯应涨价10元. 2.40当参加旅游的人数为30时，总费用为30×80 2400(元).，2800>2400，.该公司参加旅游的人数大 于30.设该公司参加旅游的人数为x.依题意，得[80 (x一30)]·x=2800.整理，得x2一110x十2800=0，解得 x1=40,x2=70.当x=70时，80-(x-30)=40<50, ∴.x=70不符合题意，舍去.当x=40时，80一(x一30) 70>50,.x=40符合题意.，∴.参加旅游的人数为40. 3.(1)设计划购买A种树苗x棵，B种树苗y棵.依题意， 得/+y=10, 解得/-60， ∴.计划购买A种树 40x+35y=3800, y=40. 苗60棵，B种树苗40棵.(2)依题意，得(40一a)(60+ 2a)+(35-a)(40+3a)=3800+300.整理，得a2-17a+ 60=0,解得a1=5,a2=12(不合题意，舍去).∴.60十2a十 40+3a=60+2×5+40+3×5=125.∴.该小区实际购买 A,B两种树苗共125棵. 4.B设每个的售价为x元，则每个的销售利润为(x 40)元，销售量为180一10(x一52)=(700一10x)个.根据题 意，得(x一40)(700-10z)=2000.整理，得x2-一110x+ 3000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时，700-10x 700-10×50=200>180,不合题意，舍去.当x=60时， 700-10x=700-10×60=100<180,符合题意..每个的 售价应为60元. 5.B设该天生产的产品属于第x档次，则该天的产量为 [95一5(x一1)门件，每件利润为[6+2(x一1)]元.根据题 意，得[6+2(x-1)]·[95-5(x-1)]=1120.整理，得 x2-18x十72=0，解得x1=6,x2=12(不合题意，舍去). ∴.该天生产的产品属于第6档次 6.100设该头盔的售价为x元/个.由题意，得(x一 80)(30-0.2x)=200.整理，得x2一230x+13000=0,解 得x1=100,x2=130.:80×(1+30%)=104(元)，.当 x=100时，100<104，符合题意；当x=130时，130104， 不符合题意，舍去.∴x=100,即该头盔的售价应为 100元/个. 7.15设储藏x个星期再出售这批农产品可获利122000元， 由题意，得(1200+200.x)(80一2x)-1600x一64000= 122000.化简，得x2一30x+225=0,解得x1=x2=15. ∴.储藏15个星期再出售这批农产品可获利122000元. 8.任务1：设该车间4月到6月生产数量的平均增长率为 x.由题意，得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%, x2=一2.2（不合题意，舍去）.∴.该车间4月到6月生产数 量的平均增长率为20%.任务2：设该零件应在原价的基础 上上涨m元，则月销售量为(600一10m)个.由题意，得 (40+m-30)(600-10m)=10000.整理，得m2一50m十 400=0,解得m,=10,m2=40.·要尽可能让车企得到优 惠，∴.该零件应在原价的基础上上涨10元. 9.根据题意，得200×(10一6)+(10一x一6)(200+ 50x)+(4一6)·[600一200一(200+50x)]=1250.整理， 得x2一2x+1=0,解得x,=x2=1.”售价不得低于进 价，.10一x≥6，即x≤4..x=1符合题意..第二周每 个旅游纪念品的售价为10一1=9（元）. 专题特训三一元二次方程的综合应用 1.(1)不是.原方程分解因式，可得(x十1)(2x一1)=0， 1 解得=一1，=之小不符合其中一个根为另一个根 的2倍，即该方程不是“倍根方程”.(2)2.设该方程 x2-3x十c=0的两个根为x1,2x1∴.x1十2x1=3x1=3, x1·2x1=2x=c.∴.x1=1,c=2.(3)由方程(x 2)(m-n)=0(m≠0)，可得x=2或x=”.由新定义可 知，三4或21.4m=5m十n2三4n-0(m白 当”-4即n=4m时，原式的值为0：当”=1，即 m=n时，原式的值为0.综上所述，4m2一5n+n2的值 为0. 2.(1)设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小 时铺设路面(2x十30)米.由题意，得32x+32(2x+30)= 4800,解得x=40.∴.2x十30=110.∴.A型设备每小时铺 设路面110米.(2)根据题意，得40(32+m+25)+ (110-3m)(m十32)=4800+1000，解得m1=18,m2=0 (不合题意，舍去).∴.m的值是18. 3.6010月的缴费总额为10元，∴.10月的用水量没 有超过x吨，即x≥50.根据9月用水情况，可以列出方程 10+(85-2)=25,解得x=60,,=25.:x≥50， .x=60..x的值是60. 4.(1)设本次比赛共有x名队员参加比赛.由表格，得赢 一场比赛得20：10=2（分），输一场比赛得7÷7=1（分）， 由题意，得2x(x-1)=210,解得x,=21x2=-20(不合 题意，舍去).∴.共有21名队员参加比赛.∴.每名队员一共 比赛0场.：有一名队员只输掉了一场比赛，∴.该名队 员的积分是(20一1)×2+1=39（分）.(2)6.设该名队 员在本次比赛中负y场.由题意，得(20一y)×2十y≥34， 解得y≤6，∴.该名队员在本次比赛中最多负6场. 5.(1)如图①，取AB的中点M,连接EM.:四边形 ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，∴.AB=BC= CD=AD=8,EM是△ABC的中位线.·.AM=号AB 4,EM=2BC=4,EM/∥BC.·∠AME=∠B=90.当 t=1时，AP=1,∴.PM=AM-AP=3.∴.PE= √PMP+EM=√32+4=5.(2)·四边形PEQF是 平行四边形，∴.PF=EQ,PF∥EQ.当点F恰好落在线段 AB上时，PF⊥BC,∴EQ⊥BC.∴易知此时Q为BC的 中点..Q是△ABC的中位线..BQ=2BC=4, EQ=2AB=4..PF=4:动点Q从点B出发，以每 秒2个单位长度的速度先沿C方向运动到点C,∴.t 4÷2=2.∴.易得AP=2.∴.BF=AB-AP-PF=2. (3)当□PEQF为菱形时，PE=EQ.分四种情况讨论： ①当0<t≤2时，如图②，过点E作EM⊥AB于点M, EN LBC于点N.易知EM=2BC=4,EN=2AB= PE2=PMP+EMP,EQ=QN2+EN2,∴.易得(4 t)2+42=(4-2t)2+42,解得t,=0(不合题意，舍去)，t2 号〔不合题意舍去@当2<≤4时同0，得(4-)十 4=(1-+,解得=0（不合题意，舍去）6=号 “t=氵.③当4<≤6时，如图③，过点E作EMLAB 于点M,EN⊥CD于点N.易知EM=4,EN=2AD=4. PE2=PM+EM,EQ=QN2+EN,∴.易得(t )十f=12-22)+,解得，=9=8（不合题意。 含去.1-9@当6<8时，同③，得-40+ (2-12)+,解得，（不合题意，合去）=8（不合 题意，舍去).综上所述，在整个运动过程中，当□PEQF为 婪形时，的值为号或号 D 0 ① ② ③ (第5题)》 综合与实践1优美的黄金分割 15根据题意设AC=,则C-1-2,:AC BC·AB,.x2=(1-x)·1.整理，得x2+x一1=0，解得 号w5含.Ac 2 21 2.(1)233.由斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34， 55…可知从2开始，后面的数等于前面两个数的和， .第11个数为34十55=89，第12个数为55+89=144，第 13个数为89十144=233.(2)根据题意，设AF=x,则 球-5，F=8-子.易得球=AE=AF EF-3,5,在R△AFB中，根据勾股定理，得AB- 2 AF+=+作：)广=185正方形 4 EFGH与正方形ABCD的面积之比为EF2:AB2= 6=2W518=65=1:3. 4 4 第1章拔尖自主测评 1.D:方程(m十2)x2-2+2x十1=0是关于x的一元 二次方程，∴.m十2≠0且m2-2=2,解得m=2. 2.C设方程4x2+(a2一3a-10)x+4a=0的两根为 x1,x2.:关于x的方程4x2+(a2-3a-10)x十4a=0的