第1章 一元二次方程 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

本册知识结构 相关定义 相关定义 一般形式 配方法 因式分解法 解法 确定圆的条件 元二次 公式法 方程 根的判别式4=b2-4ac 圆的对称性 圆心角、弧、弦之间的关系 一元二次方程的根与系数 有关性质 的关系（韦达定理） 垂径定理 圆 一元二次方程的应用 圆周角定理 概念 反比例函数 自变量的取值范围 点与圆的位置关系 九年级 有关位置 用描点法画反比例函数的图象 上册 直线与圆的位置关系 图象 图象：双曲线 与性质 反比例 性质：增减性，对称性 函数 圆的内接正多边形 系数k的几何意义 有关计算 弧长 扇形 扇形的面积 在实际生活中的应用 用反比例函数 解决问题 圆锥的侧面积 在物理学科中的应用 平均数 数据的集中趋势 中位数 相关定义 数据的 众数 集中趋势 等可能性 有限个结果 和离散程度 的等可能性 四分位数 等可能条件 箱线图 下的概率 类型 无限个结果 数据的分布特征 的等可能性 方差 数据的离散程度 简单随机事件的概率 离差平方和 第1章 一元二次方程 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一一元二次方程的概念与解 C.m=-2 D.m≠士2 典例1若关于x的方程(m2一m一2)x2 2.在一个物理实验中，一个电路的电阻变化 mx十1=0是一元二次方程，则 ( 规律可以用方程x2-x一1=0来描述， A.m≠-1 B.m≠2 其中x表示电阻值（单位：欧姆）.若a是 C.m≠-1或m≠2D.m≠-1且m≠2 该方程的一个根，现在要计算一个与该电 分析 阻相关的电学量-a3+2a+2026的值 一元二次方程的一般形式为ax2十bx十 (该电学量的单位是焦耳)，则这个值是 c=0,其中a,b,c是常数且a≠0. 解答：根据一元二次方程的概念，得m2一 考点二一元二次方程根的解法 m-2≠0，即(m+1)(m-2)≠0， 典例3解方程： ∴.m≠-1且m≠2. (1)(x-2)2=4. 故选D. (2)x2-6.x十3=0. 小结 (3)2x2十x-2=0. 若一个方程是一元二次方程，则该方程的未 (4)5x(x-1)=x-1. 知数的最高次数是2，且二次项系数不为0. 分析 (1)利用平方根的定义求解.(2)利用配方 典例2[2025绵阳中考]若关于x的一元二 法求解.(3)利用公式法求解.(4)利用因式分 次方程x2-6x十a=0的一个根为1，则a 解法求解 的值为 解答：(1)(x一2)2=4， 分析 将方程的根代入原方程中，得到关于a的 .x-2=土2. 方程，解这个关于a的方程即可. ∴.x1=4,x2=0. (2)x2-6x+3=0,x2-6.x=-3, 解答：将x=1代入方程x2-6x+a=0,得 x2-6.x+9=6,即(x-3)2=6, 1-6十a=0,解得a=5.故答案为5. .x-3=土√6 小结 本题考查一元二次方程的解，理解方程的解 .x1=3十√6，x2=3-√6. 的含义是解题关键. (3).a=2,b=1,c=-2, ∴.b2-4ac=17>0. 对应练习 -1土17 1.方程(m十2)xm+3m.x+1=0是关于x .x= 2X2 的一元二次方程，则 A.m=土2 B.m=2 x1=1+7 4 4 第1章一元二次方程 (4)5.x(x-1)=x-1, 4.解下列方程： 5.x(x-1)-(x-1)=0, (1)x2-9=0. (x-1)(5x-1)=0, ∴.x-1=0或5.x-1=0. .x1=1x2=5 小结 (2)x2-4x+1=0. 解一元二次方程的几种常用方法：因式分解 法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、 简便的方法是解题的关键。 (1)形如x2=p或(nx十m)2=p(p≥0)的 一元二次方程可采用平方根的定义解一元二次 (3)(x-2)2=3.x-6. 方程 (2)用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为a.x2十bx+c=0(a≠0)的 形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项 系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两 (4)-2x2+5x-2=0. 边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边 配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若 右边是非负数，则可以进一步通过平方根的定义 来求出它的解；若右边是一个负数，则可判定此 方程没有实数根. (5)(x2-4x)2-9(x2-4x)-36=0. (3)用因式分解法解一元二次方程的一般 步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的 左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因 式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两 个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解. 考点三一元二次方程新定义运算 典例4若关于x的一元二次方程ax2+ 对应练习， bx十c=0有两个实数根，且其中一个根为另 3.等腰三角形的两边长分别是方程x2 一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方 10x十21=0的两个根，则这个三角形的 程”.有下列关于“倍根方程”的说法：①方程 周长为 x2一2x十1=0是“倍根方程”；②若关于x A.17或13 B.13或21 的方程(x一2)(m.x+n)=0是“倍根方程”， C.17 D.13 则4m2+5mm十n2=0;③若pg=2,则关于 3 数学（苏科版）九年级上 x的方程px2十3x十q=0是“倍根方程”； 2 。x1 ,X2= ④若关于x的方程a.x2+bx+c=0是“倍 根方程”，且3a十b=0,则方程a.x2十bx十 .x2=2x1· c=0的一个根为1.其中，正确的是 .关于x的方程x2十3x十q=0是“倍根 (填序号). 方程”.故③正确. 分析 ④.3a十b=0, ①解方程，然后利用倍根方程的定义进行 ∴.b=-3a. 判断.②根据(.x一2)(x十n)=0是倍根方程， 由题意，得a≠0， 且=2=品得到品=1成品=4， m b=3 a 从而得到m十n=0,4十n=0,进而得到 ,关于x的方程a.x2十bx十c=0是“倍根 4m2十5m十n2=(4m十n)(m十n)=0.③根 方程”， 据pg=2,解方程px2十3x十q=0可进行判断. .不妨设方程的两根为x1,x2,且x1=2x2. ④利用“倍根方程”的定义结合韦达定理进行 判断 又由韦达定理，得x1十x2=一么=3， a 解答：①解方程x2一2x十1=0，得x1= x1=2x2 x1=2, .联立 解得 故④正确， x2=1. x1十x2=3, x2=1. ∴.x1≠2x2,x2≠2x1 故答案为②③④， ∴.方程x2一2x十1=0不是“倍根方程”.故 小结 本题考查一元二次方程的解以及根与系数 ①错误 的关系，正确地理解“倍根方程”的定义是解题的 ②.'关于x的方程(x一2)(mx十n)=0是 关键 “倍根方程”，解方程，得x1=2,x2= n 对应练习 n 5.定义：若两个一元二次方程有且只有一个 小x2=221=1或x4=2x1=4 相同的实数根，我们就称这两个方程为 “同伴方程”.例如x2=4和(x一2)(x十 -1或=4 3)=0有且仅有一个相同的实数根x= .∴.m十n=0或4m十n=0. 2,所以这两个方程为“同伴方程”.若方程 ∴.4m2+5mn+n2=(4m十n)(m十n)=0. 6.x2+7x-5=0和(x-1)(x+m)=0为 故②正确 “同伴方程”，则m的值为 ③，pg=2,∴.解关于x的方程px2+ 6.定义：如果关于x的一元二次方程ax2十 3x十q=0,得x=一3±3-4g bx十c=0(ac≠0)有一个根是a,那么我 2p 们称这个方程为“A方程”. -3士√/32-4×2 -3士1 (1)判断：一元二次方程x2-4x十3=0 2p 2p (填“是”或“不是”)“A方程” 第1章一元二次方程 (2)已知关于x的一元二次方程一x2十 对应练习 bx十c=0(c≠0). 7.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两 ①若该方程是“A方程”，则b,c满足怎 边AB,AC的长是关于x的一元二次方 样的等量关系？ 程x2-(m+1)x+3(m-2)=0的两个 ②若该方程是“A方程”，求代数式b2 实数根。 6c的最小值 (1)求证：无论m为何值，方程总有两个 实数根。 (2)当m为何值时，△ABC是等腰三角 形？请求出此时△ABC的周长， 考点四一元二次方程根的判别式 典例5若关于x的方程x2十2px一q=0 (p9是实数)没有实数根，求证：p十q< 分析 先由方程没有实数根，可得根的判别式 考点五一元二次方程根与系数的关系 △<0，进而可得q<一p2,再由不等式的性质得 典例6设m,n是一元二次方程x2十x一 到p十q<一p2十p,并运用配方法解决问题， 3=0的两个实数根，则m3一4n2+20的值为 解答：：关于x的方程x2十2px-q=0(p, q是实数)没有实数根， 分析 .△=4p2+4q<0,即q<-p2 m,n为方程x2+x-3=0的 两个实数根 m-4n+20 ∴.p十q<-p2+b. -p+p=-(-2》+ m2+m-3=0n2+n-3=0mtn=-1 m·m2-4·n2+20 m2=3-m n2=3-n 十g<4 m·(3-m)-4(3-n)+20 小结 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0，a,b,c -m2+3m+4n+8 为常数)的根的判别式△=b2一4ac.当△>0时， -(3-m)+3m+4n+8 方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程 4(m+n)+5 m+n=-1 有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实 数根.本题同时应用了配方法和不等式的性质 求得结果 5 数学（苏科版）九年级上 解答：.m,n是一元二次方程x2十x一3=0 考点六一元二次方程的实际应用 的两个实数根， 典例7根据以下销售情况，解决销售任务， ∴.m十n=-1,m2+m-3=0,n2+n 销售情况分析 3=0. 总公司的一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售， .∴.m2=3-m,n2=3-n. 因地段不同，它们的销售情况如下： ∴.m3-4n2+20=m(3-m)-4(3-n)+20= 店面 甲店 乙店 3m-m2-12+4n+20=3m-(3-m)十 每天可售出20件， 每天可售出32件， 4n十8=3m-3+m十4n+8=4(m+n)+5. 日销售情况 每件盈利40元 每件盈利30元 又.m十n=-1, 经调查发现，每件衬衫每降价1元， 市场调查 ∴.m3-4n2+20=4×(-1)+5=1. 甲、乙两家店一天都可多售出2件 故答案为1. 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件 情况设置 小结 衬衫降价b元 本题主要考查一元二次方程的解、代数式求 任务解决 值、根与系数的关系.根据根与系数的关系建立 甲店每天的销售量为 (用含 关系式是解题的关键。 a的代数式表示) 任务1 对应练习 乙店每天的销售量为 (用含 8.已知关于x的一元二次方程m2x2一(2m十 b的代数式表示) 1)x十1=0有两个不相等的实数根， 当a=5,b=4时，分别求出甲、乙店 任务2 (1)求实数m的最小整数值. 每天的盈利 (2)当实数m取最小整数值时，若方程的 总公司规定两家分店下降的价格必须 任务3 相同，请求出当每件衬衫下降多少元时， 实数根为x1,x2,求代数式(x1一1)(x2一1) 两家分店一天的盈利和为2244元 的值. 分析 任务1：由销售情况分析中提供的信息，列 式即可.任务2：由盈利=每件盈利×销售量，分 别列式计算即可.任务3：设当每件衬衫下降 m元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列 出一元二次方程，解方程即可 解答：任务1：甲店每天的销售量为(20十2a)件， 乙店每天的销售量为(32+2b)件， 故答案为(20十2a)件；(32十2b)件 任务2：当a=5时，甲店每天的盈利为(40 5)X(20+2×5)=1050(元). 当b=4时，乙店每天的盈利为(30一4)× (32+2×4)=1040(元). 6 第1章一元二次方程 任务3：设每件衬衫下降m元时，两家分店 小结 一天的盈利和为2244元. 列一元二次方程解应用题的“六字诀”： 1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及 由题意，得(40-m)(20十2m)+(30-m)· 它们之间的数量关系， (32+2m)=2244. 2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可 整理，得m2-22m+121=0, 以间接设未知数 解得m1=m2=11. 3.列：根据题中的等量关系，用含所设未知 ∴.当每件衬衫下降11元时，两家分店一天 数的代数式表示其他未知量，从而列出方程 的盈利和为2244元. 4.解：准确求出方程的解 小结 5.验：检验所求出的解是否符合所列方程 本题考查一元二次方程的应用.列代数式、 和实际问题 找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的 6.答：写出答案. 关键 对应练习 典例8如图，某校规划了一块形状为矩形 9.中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某 ABCD的生物种植田来种植水果黄瓜，一面 超市推出了A,B两款月饼礼盒.已知 利用学校的墙（墙足够长），其余部分用总长 A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为 为22m的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏 200元/盒，该超市10月5日销售A,B两 EF隔开（点E,F分别在边BC,AD上）.因 款礼盒共350盒，销售额为50000元. 实验需要，在BE,CE上各开一扇宽为1m (1)该超市10月5日A,B两款礼盒的销 的门（门无需栅栏，且栅栏的宽度忽略不 量分别为多少盒？ 计).若该种植田的面积为36m,求该种植 (2)10月6日正好是中秋佳节，超市为减 田的宽AB. 少库存，开展了“情满中秋·礼遇国庆”的 墙 促销活动，A款礼盒按原价打八折出售， 销量在10月5日的基础上增加了50%， 实 照 超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日 组 销量就在10月5日的基础上增加1盒， E (典例8图) 若要使得10月6日超市的销售额达到 分析 54000元，则每盒B款礼盒的促销价应定 设AB=xm,则BC=(24-3.x)m,再根据 为多少元？ 矩形的面积公式建立方程求解即可」 解答：设AB=xm,则BC=22-3x十2 (24-3x)m. 由题意，得x(24-3x)=36, 解得x=2或x=6. 答：该种植田的宽AB为2m或6m. 数学（苏科版）九年级上 10.为了促进劳动课程的开展，某学校准备 考点七 学科内综合题 利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形 典例9已知关于x的一元二次方程x2 ABDC生态园.如图，生态园的一边由 (2k+3)x+k2+3k+2=0. 墙AF和一节篱笆BF构成，另一边由 (1)试判断上述方程根的情况， 墙AE和一节篱笆CE构成，其他边由 (2)已知△ABC的两边AB,AC的长是关 篱笆CDB围成.已知墙AF=8m, 于上述方程的两个实数根，BC的长为5. AE=4m,篱笆总长为28m.设CD的 ①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边 长为xm. 的直角三角形？ (1)若生态园的面积为75m2,求x ②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 的值， 请求出此时△ABC的周长， (2)为了进出生态园方便，现决定在CD 分析 边上留出2m宽的门，此时生态园的面 (1)根据方程的系数可求出判别式△=1一 积能否达到110m?如果能，请求出生 0,由此即可得出方程有两个不相等的实数根」 态园的长CD;如果不能，请说明理由. (2)利用因式分解法可求出x1=k十1，x2 k十2.①不妨设AB=k十1，AC=k十2.根据 B BC=5,利用勾股定理即可得出关于k的一元 二次方程，解方程即可得出k的值：②根据(1) 中结论，可得出AB≠AC,由此可知，要使 (第10题) △ABC是等腰三角形，需分AC=BC,AB= BC两种情况考虑.根据两边相等找出关于k的 一元一次方程，解方程求出k的值，进而可得出 三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即 可得出结论 解答：(1).·在方程x2一(2k十3)x十k2+ 3k十2=0中，△=[-(2k+3)]2-4(k2十 3k十2)=1>0， ∴.方程有两个不相等的实数根 (2).x2-(2k+3)x十k2十3k十2=(x k-1)(x-k-2)=0, .x1=k十1，x2=k十2. 不妨设AB=k+1,AC=k+2,则k>一1 ①依题意，在Rt△ABC中，斜边BC=5,则 由勾股定理，得AB2+AC2=BC2,即(k+ 1)2十(k十2)2=25.整理，得k2十3k一10= 0.解得k1=2,k2=-5(舍去). 8 第1章一元二次方程 ∴.当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直12.已知△ABC的两边AB,AC的长是关 角三角形， 于x的一元二次方程x2一2(n一2)x十 ②.AB=k+1,AC=k十2， n2一4n=0的两个根，第三边BC的长 ∴.AB≠AC 是10. ∴.若△ABC是等腰三角形，则AC=BC或 (1)求证：无论取何值，此方程总有两 AB=BC. 个不相等的实数根， .当AC=BC=5时，k+2=5, (2)当n为何值时，△ABC为等腰三 ∴.k=3,AB=3十1=4. 角形？ ,4,5,5满足三角形的三边关系， .此时△ABC的周长为4+5十5=14. .当AB=BC=5时，k+1=5, ∴.k=4,AC=k+2=6. .:6,5,5满足三角形的三边关系， ∴.此时△ABC的周长为6+5+5=16. 综上所述，当k=3时，△ABC是等腰三角 形，此时△ABC的周长为14；当k=4时， △ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长 为16. 小结 本题考查根的判别式、因式分解法解一元二 次方程、勾股定理以及等腰三角形的判定.注意 分类讨论思想在本章的应用. 对应练习 11.已知关于x的一元二次方程kx2 (4k十1)x十3k十3=0，其中k是整数. (1)求证：方程有两个不相等的实数根， (2)若方程的两个实数根是斜边长为 3的直角三角形的两条直角边的长 求k的值 9 数学（苏科版）九年级上 考点八阅读理解题 1 .∴.m十n=1,mn= 典例10阅读材料，解答问题： 材料：若一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠ n+m_72+m2_(m十n)2-2mn m m12 m12 0)的两个根为x1,x2,则x1十x2= b a 1-2x(-》 9 :-a' 7 (1)已知一元二次方程5.x2+10x-1=0的 故答案为2或一9. 两个根为x1,x2,则x1十x2= (3)将方程t2十7t十7=0的两边同时除以 x1x2= 2变形为7）+7…+1=0 (2)已知实数m,n满足7m2一7m一1=0， .st≠1， 7n2-7-1=0,则”+2 m ≠1 (3)已知实数s,t分别满足7s2十7s十1=0， 2+71十7=0，且对≠1，求21+7s+2的值 :实数、和！可以看作方程7x2+7红十1= 0的两根， 分析 (1)直接根据根与系数的关系可得答案. (2)分类讨论，当m=n时，”十”=2.当m≠ 原武=么=+》… n时，由题意，得出m,n可看作方程7x2-7x 1=0的解，据此可知m+n=1,mn= 7, 1 2(-10+7×7=-1. 其代入计算即可.(3)把t2+7t+7=0变形为 小结 本题主要考查分式的化简求值以及根与系 7·(日)°+7…+1=0，则实数s和2可看作 数的关系，解题的关键是理解方程的根与方程之 间的关系. 方程7x2+7x十1=0的两根，根据根与系数的 关系求出十 =-1,5· =7,代入所求代 1=1 对应练习， 13.阅读材料： 数式计算即可 材料1：关于x的一元二次方程ax2十 解答：60)-2： bx十c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2 和系数a,b,c有如下关系：x1十x2= (2)当m=n时，符合题意，则”十”=2. 6 当m≠n时，.7m2-7m-1=0,7n2-7n 材料2：已知一元二次方程x2一x一1 1=0, 0的两个实数根分别为m,n,求m2n十 ∴.m,n可看作方程7x2-7x-1=0的两个根. mn2的值. 10 第1章一元二次方程 解：.·m,n是一元二次方程x2一x 1=0的两个实数根， 1=0.22-8-1=0月s,求}-} .∴.m+n=1,mn=-1. 的值. ∴.m2n十mm2=mn(m+n)=-1X 1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，回答 下列问题： (1)应用：一元二次方程2x2+3x一1 0的两个实数根为x1,x2,则x1十x2= x1x2= (2)类比：已知一元二次方程2x2十 3.x一1=0的两个实数根为m,n,求 m2+n2的值 (3)提升：已知实数s,t满足2s2十3s一 盟综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.关于x的方程x2-2.x十m2-4=0的两个根x1,x2满足x1=2x2十3，且x1>x2,则实 数m的值为 () A.-3 B.1 C.3 D.9 2.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2一10x十m=0的两个实 数根，且该菱形的面积为11，则该菱形的边长为 () A.3 B.23 C.√14 D.2√14 3.若实数a,6分别清足。2-3a+2=0,63-动+2=0，且a≠6则日+方 4.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2一6.x十n=0的两个根，则实 数n的值为 5.已知整数k<5,△ABC的三边长均满足关于x的方程x2一3√Rx+8=0,则△ABC的周 长是 6.已知关于x的方程(x一2)(x一3)一k2=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根， (2)设方程的两个根分别为x1,x2,且x1>x2,求证：x1十2x2≤7 11附：答案与解析 第1章一元二次方程 [高频考点突破] m=2, ①B由一元二次方程的定义，可得{ 解得 m+2≠0， m=2. 22025由条件，可知a2一a一1=0，∴.a2=a十1.∴.原 式=-a·a2+2a+2026=-a(a+1)+2a+2026= -a2-a+2a+2026=-a2+a+2026=-(a+1)+a+ 2026=-a-1+a+2026=2025. 3Cx2-10x+21=0,(x-3)(x-7)=0,解得x1=3, x2=7.当等腰三角形的三边长分别是3,3,7时，3十3<7， 不符合三角形的三边关系，舍去；当等腰三角形的三边长 分别是7,7,3时，7十3>7>7-3，符合三角形的三边关系. .这个三角形的周长为7+7十3=17. ④(1)x2-9=0,x2=9,.1=3,x2=-3.(2)x2 4x+1=0,x2-4x=-1,x2-4x+4=3,即(x-2)2=3, .x-2=±3..x1=2十3，x2=2-√3.(3)(x 2)2=3x-6,(x-2)2-3(x-2)=0,(x-2)(x-2-3)= 0,.x-2=0或x-2-3=0..x1=2,x2=5.(4)-2x2+ 5.x-2=0,2x2-5.x+2=0,(x-2)(2x-1)=0∴x 2=0或2x-1=0.x1=2,x=2 (5)设y=x2 4x,则方程可变为y2-9y一36=0，(y一12)(y+3)=0, ∴.y-12=0或y+3=0..y=12或y=-3.当y= 12时，x2一4x=12,移项，得x2一4x一12=0，因式分解，得 (x一6)(x十2)=0，解得x1=6,x2=-2.当y=-3时， x2一4x=-3,移项，得x2-4x十3=0，因式分解，得(x- 3)(x一1)=0，解得x3=3,x1=1..原方程的解为x1= 6,x2=-2,x3=3,x1=1. 0-号或号6r+7x-5=0.(2x-1Dar十51=0，解 得，=分，=一号当相同的根是x=2时，代人方程 x-1)x十m)=0,可得（号-1）（分+m)=0,解得 m=-此时方程为(x-1D(-)=0,解得，=1， ,=子，符合题意.当相同的根是x=一号时，代人方程 -1D(+m)=0,得(-号-1)（号+m)=0,解得 m=号此时方程为-1D(e+号）=0，解得x=1, ,=一号符合超意六m的值为或 1 5 6(1)是.·当x=1时，x2-4x+3=1-4+3=0, ∴一元二次方程x2-4x十3=0是“A方程”. (2)①，该方程是“A方程”，即x=一1为方程-x2+ bx十c=0的解，∴.一1一b十c=0.∴.b=c一1.②由①知， b=c-1,∴.b2-6c=(c-1)2-6c=c2-2c+1-6c=c2 8c+1=(c-4)2-15.(c-4)≥0，∴.当c=4时，代数 式b2-6c取得最小值，最小值为一15. ⑦(1)：△=[-(m+1)]2-4×1×3(m-2)=m2+ 2m+1-12m+24=n2-10m+25=(m-5)2≥0，∴.无论 m为何值，方程总有两个实数根.(2)①当BC为腰时， 则方程必有一个根为5，∴.52一5(m十1)十3(m-2)=0. .m=7..方程为x2-8x十15=0，解得x=3或x=5. ∴.等腰三角形ABC的三边长分别为5,5,3.∴.△ABC的 周长为5+5+3=13.②当BC为底边时，则方程有两个相 等的实数根，∴.△=(m-5)2=0,解得m=5..方程为 x2一6x十9=0，解得x1=x2=3.,等腰三角形ABC的三 边长分别为5,3,3.∴·△ABC的周长为5十3+3=11.综上 所述，当m=7时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的 周长为13：当m=5时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC 的周长为11. ⑧(1)：关于x的一元二次方程m2x2-(2m+1)x+1= 0有两个不相等的实数根，∴.△=[一(2m+1)]一4m2= m+1>0,且m≠0.m>-子，且m≠0.实数m的 最小整数值为1.(2)由(1)，得m=1,.方程为x2一 3x+1=0..x1十x2=3,x1x2=1..(x1-1)(x2-1)= xx2-(x1+x2)+1=1-3+1=-1. ⑨(1)设该超市10月5日A款礼盒的销量为x盒，B款 x十y=350, 礼盒的销量为y盒.根据题意，得 100z+200y=50000, 解得/-200， 答：该超市10月5日A款礼盒的销量为 y=150. 200盒，B款礼盒的销量为150盒.(2)设每盒B款礼盒 的促销价应定为m元，则10月6日B款礼盒的销量为 150+(200一m)=(350一m)盒.根据题意，得100×0.8× 200×(1+50%)十m(350-m)=54000.化简，得m2 350m+30000=0,解得m,=150,m2=200(不合题意，舍 45 数学（苏科版）九年级上 去).答：每盒B款礼盒的促销价应定为150元. ⑩设CE=ym.:四边形ABCD为矩形，∴.AC=BD= AE+CE=(4+y)m,CD=AB=AF+BF x m. ∴.BF=CD-AF=(x一8)m.(1):篱笆总长为28m, ∴.CE+CD+BD+BF=28m,即y+x+4+y+x-8= 28.整理，得y=16一x.∴.BD=4+y=(20一x)m根据题 意，得x(20-x)=75,即x2-20x+75=0,解得x1=15, x2=5.BF>0,CE>0,即x-8>0,16-x>0,.8< x<16.∴.x=15.(2)能.篱笆总长为28m,CD边上 留出2m宽的门，.CE+CD+BD+BF=28+2= 30(m),即y+x+4+y+x-8=30.整理，得y=17-x. .BD=4十y=(21一x)m.根据题意，得x(21一x)=110, 即x2-21x十110=0，解得x1=10,x2=11.:BF>0m, CE>0m,即x-8>0,17-x>0,∴.8<x<17..当 CD=10m或11m时，生态园的面积能达到110m. ①(1)根据题意，得k≠0，△=[-(4k+1)]一4(3k+ 3)=4k2-4k+1=(2k-1)2.k是整数，.2k-1≠0. .(2k一1)2>0，即△>0..方程有两个不相等的实数根. (2)设关于x的-一元二次方程kx2-(4k十1)x十3k十3=0 的两个实数根分别为，x2,则，十x,=6十1， k x1x2= 巡，：是斜边长为5的直角三角形的两条直 k 角边的长，+x=华(x十)-2：=号 (生)-2.6士3-5整强，得-k-4=0 k 解得6=2或k=一子经检验=2或人=一号均是原分 式方程的根.k是整数，.k=2 ②(1)由题意，得△=[-2(n-2)]2-4×1×(n2-4n) 4n2-16m+16-4n2+161=16>0,.无论n取何值，此方 程总有两个不相等的实数根.(2)：无论n取何值，此 方程总有两个不相等的实数根，且△ABC为等腰三角形， .BC只能是△ABC的腰.∴.x=10为关于x的一元二 次方程x2一2(n一2)x十n2一4n=0的一个根.将x=10代 人原方程，得102一2×10(n-2)十n一41=0.整理，得 n2-24n十140=0，解得n1=10,12=14.当n=10时，原方 程为x2-16x十60=0，解得x1=6,x2=10.·6,10,10能 组成等腰三角形，∴.n=10符合题意.当n=14时，原方程 为x2-24x十140=0，解得x1=10,x2=14.10,10,14 能组成等腰三角形，∴.n=14符合题意.∴.当n的值为10 或14时，△ABC为等腰三角形. 46 ®()-子：-分：一元二次方程22+3x-1=0 3 1 的两个实数根为x1,x2,.x1十x2=一 x=-2 (2)·一元二次方程2x2+3x一1=0的两个实数根为m, m十1=-号m=-是m+f=(m十n- 2m=号+1= (3):实数s,t满足22+3s-1=0, 2t2+3t-1=0,且s≠t,∴.s,t是一元二次方程2x2+ 3x-1=0的两个实数根十1=-多1=一号 1 =号，(t-P=t+)-4 st (←》-4x()只=土四原武 士√7 [综合素养提升] ①Cx2-21.x+m2-4=0,∴.(x-m+2)(x-m- 2)=0.∴.x-m十2=0或x-m-2=0.x1>x2, .x1=m+2,x2=m-2.x1=22十3，.m+2= 2(m-2)十3，解得m=3. ②C设该菱形的两条对角线的长分别为a,b.由题意，得 a+b=10, 1 “菱形的边长-√（受》+(） 2ab=11. 3a+6-2Va+b-2b=号√10-2x2XT 质=m 0号“实数a,6分别满足a2-3a+2=0,6-3动十 2=0,且a≠b,∴.a,b可以看作是一元二次方程x2一3x+ 2=0的两个实数根a+6=3,6=2是+合 a+b 3 ab 2 ④8或9当4为腰长时，将x=4代人x2-6x十n=0,得 4-6×4十n=0,解得n=8.当n=8时，原方程为x2 6x十8=0，解得x1=2,x2=4.4,4,2满足三角形的三 边关系，∴.等腰三角形的三边长为4,4,2.当4为底边长 时，关于x的方程x2一6x十n=0有两个相等的实数根， ∴.(-6)2-4×1×n=0,解得n=9.当n=9时，原方程为 x2-一6x十9=0，解得x1=x2=3.:3,3,4满足三角形的 三边关系，∴.等腰三角形的三边长为3,3,4.综上所述，n