第二章 一元二次方程 综合实践 黄金分割 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的综合应用，核心探究黄金分割，已学一元二次方程概念、解法及应用为基础，本课通过方程建模求黄金比，未学相似形、二次函数为后续延伸，构建连贯学习支架。 该资料特色在于融合数学抽象、直观想象等核心素养，分层训练（A/B/C层）与六大拓展题型结合帕特农神庙、向日葵等实景案例，课中助教师落实素养教学，课后学生可分层练习查漏补缺，强化知识应用与生活联系。

配 套 讲 义（教师版） 第2章 一元二次方程《综合与实践》优美的黄金分割 配套教材：苏科版 九年级数学上册（2026-2027学年） 一、教学目标（核心素养） 数学抽象：经历从“线段分割”的实际情境抽象出一元二次方程 的过程，体会建模思想. 数学运算：会用配方法或公式法求解黄金分割对应的方程，得到黄金比 . 直观想象：通过黄金矩形、黄金螺旋感受数与形的和谐，发展空间观念. 数学建模：在艺术、建筑、自然实例中体会黄金分割的文化价值，认识数学与生活的联系. 二、知识回顾（已学/本课/未学） 本章我们把“降次”思想贯穿始终.在《综合与实践》里，一元二次方程还能帮我们求出数学中最美的比例——黄金分割.它藏在帕特农神庙、名画与向日葵中，也藏在你我身边. 类别 内容 说明 类别 内容 说明 已学 一元二次方程概念与一般形式 整式、一元、最高次为 2 已学 三种解法：配方法、因式分解法、公式法 本章 2.2 全部学完 已学 用一元二次方程解决问题（2.4） 会列方程解应用题 本课 《综合与实践》优美的黄金分割 用方程刻画“最美的比例”，求黄金比 未学 相似形、二次函数（九下） 后续再深入研究比例与图形 黄金分割：把线段分成两部分，使较长部分与全长的比，等于较短部分与较长部分的比.这个比值称为黄金比，约为 . 三、教学使用说明 本讲为第2章《综合与实践》，建议在“方法梳理”带领学生从线段分割抽象出方程 . 黄金比是本课核心概念，用“较长部分/全长≈0.618”反复强化，区分 φ≈0.618 与 Φ≈1.618. 分层训练按 A/B/C 分层：A 层必做达标，B/C 层作为提升与拓展；巡视重点抓 φ 与 Φ 混淆. 附加拓展提高的六大题型按学情选讲；实际应用题（题型3）配实景图与生活情境，便于举例. 四、方法梳理 步骤 做法 步骤 做法 ① 设元 设线段全长为 1，黄金分割点分出的较长部分记为 ② 列方程 由 较长部分:全长 = 较短部分:较长部分 得 ③ 求解 配方或公式法得 = ④ 应用 用黄金比判断与设计黄金矩形、黄金分割点 图 黄金分割探究流程图 图 黄金分割知识网络 ▶ 教师批注·分解策略 强调 φ 与 Φ 互为倒数；列方程的关键是把“较长:全长 = 较短:较长”翻译成等式. 五、典例精讲 ▶ 教师批注·重点·突破 核心：把分割关系翻译成一元二次方程；预设提问：为什么黄金比有两个常用值？ 例1 计算黄金分割点 已知线段 厘米，点 是 的黄金分割点且 ，求 的长. 【分析】典型“直接应用黄金比”题，重点示范“全长×黄金比”的算法与近似. 【解答】解：由黄金比得 . 即 厘米. ▶ 教师批注·例1 讲解 板演“全长×φ”；追问：较短部分 BC 怎么求？ 变式 求较短部分 已知线段 厘米，点 是 的黄金分割点且 ，求 的长. 【解答】解：较短部分 . 即 厘米. 例2 黄金矩形 若一个黄金矩形的宽为 厘米，求其长的范围（用一元二次方程求解）. 【分析】训练“用方程建模黄金矩形”，强化 （ 长、 宽）的来源. 【解答】解：设黄金矩形的长为 厘米，宽为 厘米. 由黄金矩形性质得 . 解得 . 取正值 .即长约为 厘米. ▶ 教师批注·例2 讲解 强调“长×长−长×宽−宽×宽=0”来自截正方形后剩余仍为黄金矩形. 变式 由黄金比求长 已知黄金矩形的宽为 厘米，求其长. 【解答】解：长 厘米. 例3 黄金分割的应用 舞台宽 米，主持人应站在距 端多远处（取黄金分割点，较长段靠近入口 ）最美观？ 【分析】应用黄金比的典型题，巩固“全长×φ”的实际意义. 【解答】解：站位距 端较长段 . 即约为 米. ▶ 教师批注·例3 讲解 配合地标实例（如东方明珠塔身/塔高≈0.618）加深印象. 变式 验证实际比值 上海东方明珠广播电视塔高约 米，塔身主体约 米，验证塔身主体与塔高的比是否接近黄金比. 【解答】解：，与黄金比 非常接近，说明塔身主体与塔高的比接近黄金比. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 已知线段长 厘米，求其黄金分割较长部分的长. ▶ 教师批注 预设答案：5(√5−1)≈6.18 厘米；常见错：误用 Φ 得 16.18. 【解答】解： 厘米. 2. 黄金矩形的宽为 ，求其长. ▶ 教师批注 预设答案：(√5+1)/2≈1.618；可顺带提长/宽=Φ. 【解答】解：长 . ★★ B层 · 能力提升 1. 验证：长/宽 的矩形满足 （ 为长、 为宽）. ▶ 教师批注 预设答案：代入 a=Φb，化为 b·b·(Φ·Φ−Φ−1)=0，因 Φ·Φ−Φ−1=0 成立，故等式成立. 【解答】解：设长 、宽 ，由黄金矩形性质 .代入左边：，等式成立. 2. 某人身高 厘米，若其下半身（肚脐到脚底）与身高的比恰好为黄金比，求下半身的长度. ▶ 教师批注 预设答案：85(√5−1)≈105 厘米；易错：把身高当较长部分. 【解答】解：下半身 厘米. ★★★ C层 · 拓展挑战 1. 一张黄金矩形海报，长比宽多 厘米，且长、宽满足 （ 长、 宽），求这张海报的长和宽. ▶ 教师批注 预设答案：宽=2+2√5≈6.47，长=6+2√5≈10.47 厘米. 【解答】解：设宽为 厘米，则长为 厘米.，化简得 .解得 ，长 厘米. 2. 若点 是线段 的黄金分割点（），证明 . ▶ 教师批注 预设答案：交叉相乘得 AC×AC=AB·BC；链接比例中项. 【解答】解：由黄金分割定义 ，交叉相乘得 . 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固（计算黄金分割点） 例题 已知 ，求黄金分割较长部分 . 【分析】直接代入黄金比 φ，较长部分 = 全长 × φ. 【解答】解：. 变式 已知 ，求 . 【解答】解：. 巩固 已知 ，求较短部分 . 【解答】解：. 题型2 易错警示（混淆 φ 与 Φ） 例题 判断：“黄金比就是 .”这句话对吗？ 【分析】区分 φ≈0.618（较长/全长）与 Φ≈1.618（全长/较长），二者互为倒数. 【解答】解：错误.黄金比指较长部分与全长的比，约为 ； 是它的倒数 . 变式 判断：“黄金矩形的长/宽 = 0.618.”这句话对吗？ 【解答】解：错误.黄金矩形应满足 长/宽≈1.618，即 宽/长≈0.618. 巩固 填空：若线段全长为 ，黄金分割较长部分为 ，则 ____（精确到 0.001）. 【解答】解：. 题型3 实际应用型（配实景图 + 审题） 实景：帕特农神庙（建筑中的黄金分割） 例题 希腊帕特农神庙的正立面近似一个黄金矩形，已知其宽为 单位，求长. 【审题】已知：宽 ；所求：长；等量关系：（ 长、 宽）；设元：长为 . 【分析】用黄金矩形的方程建模，避免直接套比例. 【解答】解：列方程 . ，解得 .即长约为 单位. 实景：向日葵花盘（螺旋隐含黄金比） 变式 向日葵花盘的螺旋常呈相邻斐波那契数（如 与 ）.验证 与黄金比 Φ 的接近程度. 【分析】计算比值并与 Φ 比较误差. 【解答】解：，Φ，误差约 ，非常接近. 实景：名画（艺术中的黄金分割） 巩固 《蒙娜丽莎》中脸宽与肩宽之比接近黄金比.已知肩宽 厘米，脸宽约多少最美？ 【分析】脸宽 = 肩宽 × φ. 【解答】解：脸宽 厘米. 题型4 黄金矩形（二次方程建模） 例题 黄金矩形的长、宽满足 .已知宽 ，求长 . 【分析】代入 得关于 的一元二次方程. 【解答】解：，解得 . 变式 已知长 ，求宽 . 【解答】解：，即 ，解得 . 巩固 在黄金矩形中截去一个正方形，剩余的矩形是否仍为黄金矩形？证明你的结论. 【分析】设原矩形长 宽 ，剩余矩形宽 、长 ，验证其长/宽 = Φ. 【解答】解：由 得 ，即 Φ，故剩余矩形仍为黄金矩形. 题型5 分类讨论（含参黄金分割） 例题 线段 ，点 分 为 ，问 为何值时 是黄金分割点（）？ 【分析】由 取正根. 【解答】解：（即黄金比 φ）. 变式 若 （另一黄金分割点），求 . 【解答】解：，此时 . 巩固 一条线段有几个黄金分割点？它们有怎样的位置关系？ 【解答】解：有两个黄金分割点，它们关于线段的中点中心对称. 题型6 创新探究（开放与综合） 例题 写出一个以黄金比为根的一元二次方程. 【分析】 的正根就是黄金比 φ. 【解答】解：如 （其正根为 ）. 变式 黄金比 φ 与其倒数 Φ 满足什么关系？验证 φ+Φ 与 φ·Φ 的值. 【解答】解：φ+Φ ；φ·Φ （互为倒数）. 巩固 斐波那契数列 … 相邻两项之比趋近哪个数？说说你的猜想. 【解答】解：相邻两项之比趋近黄金比 Φ；本课先用具体例子感受，后续可严格证明. 八、参考答案（备课与批改） 说明：以下为答案速查与批改预警，供备课与阅卷；学生版不含本部分（答案不下发）. 例1： 厘米.预警：易误用 Φ 得 16.18；取较长部分. 例1 变式： 厘米. 例2：长 厘米.预警：建模用 （ 长、 宽）. 例2 变式：长 厘米. 例3：距 A 端约 米；变式 . A层：1. 厘米；2. .评分：列式与近似各半. B层：1. 成立（Φ×Φ−Φ−1=0）；2. 下半身 厘米. C层：1. 宽 、长 厘米；2. . 题型3：建筑长 ；自然 （误差≈0.001）；艺术脸宽 厘米. 九、教学小结（教法提炼） 建模思想渗透：从“线段分割”抽象出 ，体现本章“用方程刻画关系”的主线. 板书顺序：定义 → 列方程 → 配方求 φ → 应用；强调 φ≈0.618 与 Φ≈1.618 互为倒数. 黄金矩形专题：用 （ 长、 宽）建模，配合“截正方形剩黄金矩形”的几何直观. 高频错因纠正话术：混淆 φ 与 Φ；较长/较短颠倒；用比例应用题代替列方程. 前后衔接：已学三种解法均可解；后续九下相似形、二次函数会再深入比例与图形. 十、本讲要点回顾（教学目标达成与板书回顾） 教学目标达成检测：学生能定义黄金分割、列方程求黄金比、判断黄金矩形、举出应用实例. 板书核心回顾：主板书含定义、方程 、配方过程、黄金比；板演区含例2完整过程. 课后分层任务建议：A 层巩固黄金比计算必做；B 层加黄金矩形；C 层加含参与证明. 十一、教师教学参考 （一）学情分析细化 认知障碍点：① 易把黄金比 φ≈0.618 与 Φ≈1.618 混淆；② 列方程时把“较长部分:全长 = 较短部分:较长部分”的关系写反；③ 黄金矩形建模（满足 ）不熟练.对策：用线段图直观演示两个黄金分割点、反复强调互为倒数、板演建模过程. （二）重难点突破策略 例1 示范“全长×φ”直接求较长部分；例2 用方程建模黄金矩形；例3 应用黄金比.提问设计：为什么黄金比有两个常用值？它们之间是什么关系？ （三）易错点预案 高频错因：① φ 与 Φ 混淆；② 较长/较短颠倒；③ 应用题不列方程直接套比例.纠正话术：“φ 是较长比全长，Φ 是全长比较长，互为倒数”.典型反例：说“黄金矩形长/宽=0.618”是错的，应为长/宽≈1.618. （四）教学时间分配（40分钟总控） 环节 时长 要点 环节 时长 要点 引入与知识回顾 约5分 从建筑/艺术实例引出黄金分割与黄金比 方法梳理与推导 约10分 列 ，配方求黄金比 φ 典例精讲 约12分 例1-3：定义/黄金矩形/应用 分层训练与拓展 约10分 A/B/C 分层，巡视纠错 小结与作业 约3分 方法总结 + 本讲要点回顾 （五）板书设计（模拟黑板·详细完整） 主板书（左半） 板演区（右半·例2） 一、黄金分割定义 例2：黄金矩形，宽 = 2 较长:全长 = 较短:较长 设长为 ，则 二、对应方程 配方得 三、黄金比 φ≈0.618，Φ≈1.618 长 = 宽 四、黄金矩形：（ 长、 宽） （截去正方形后剩余仍为黄金矩形） — 讲义完（教师版）— 学科网（北京）股份有限公司 $ 配 套 讲 义（学生版） 第2章 一元二次方程《综合与实践》优美的黄金分割 配套教材：苏科版 九年级数学上册（2026-2027学年） 一、学习目标（核心素养） 数学抽象：经历从“线段分割”的实际情境抽象出一元二次方程 的过程，体会建模思想. 数学运算：会用配方法或公式法求解黄金分割对应的方程，得到黄金比 . 直观想象：通过黄金矩形、黄金螺旋感受数与形的和谐，发展空间观念. 数学建模：在艺术、建筑、自然实例中体会黄金分割的文化价值，认识数学与生活联系. 二、知识回顾（已学/本课/未学） 本章我们把“降次”思想贯穿始终.在《综合与实践》里，一元二次方程还能帮我们求出数学中最美的比例——黄金分割.它藏在帕特农神庙、名画与向日葵中，也藏在你我身边. 类别 内容 说明 类别 内容 说明 已学 一元二次方程概念与一般形式 整式、一元、最高次为 2 已学 三种解法：配方法、因式分解法、公式法 本章 2.2 全部学完 已学 用一元二次方程解决问题（2.4） 会列方程解应用题 本课 《综合与实践》优美的黄金分割 用方程刻画“最美的比例”求黄金比 未学 相似形、二次函数（九下） 后续再深入研究比例与图形 黄金分割：把线段分成两部分，使较长部分与全长的比，等于较短部分与较长部分的比.这个比值称为黄金比，约为 . 三、学习导航 ① 先读“方法梳理”，记住黄金分割的定义与黄金比. ② 遮住例题解答，自己先算一遍（重点：怎么列、怎么解）. ③ 做“分层训练”，按 A/B/C 量力选择. ④ 挑战“附加拓展提高”的六大题型. ⑤ 最后看“方法总结与自我检测”自查. 四、方法梳理 步骤 做法 步骤 做法 ① 设元 设线段全长为 1，黄金分割点分出的较长部分记为 ② 列方程 由 较长部分:全长 = 较短部分:较长部分 得 ③ 求解 配方或公式法得 = ④ 应用 用黄金比判断与设计黄金矩形、黄金分割点 图 黄金分割探究流程图 图 黄金分割知识网络 ▶ 方法点拨 ① 黄金比 φ≈0.618 是“较长部分/全长”； ② 它的倒数 Φ≈1.618 是“全长/较长部分”； ③ 列方程时先想清哪段比哪段. 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 黄金分割的定义与黄金比； ② 用方程求黄金比. 例1 计算黄金分割点 已知线段 厘米，点 是 的黄金分割点且 ，求 的长. 【审题·思路】黄金分割点满足“较长部分/全长 = 黄金比”，直接用 乘以黄金比 φ 计算. 【突破】黄金比 φ ，注意取较长部分 . 【解答】解：由黄金比得 . 即 厘米. ▶ 方法小结 黄金分割点分线段：较长部分 = 全长 × (√5−1)/2. 变式 求较短部分 已知线段 厘米，点 是 的黄金分割点且 ，求 的长. 例2 黄金矩形 若一个黄金矩形的宽为 厘米，求其长的范围（用一元二次方程求解）. 【审题·思路】黄金矩形满足“长/宽 = Φ”，或 （ 为长、 为宽）.用方程求解更严谨. 【突破】设长为 ，代入宽 ，解 . 【解答】解：设黄金矩形的长为 厘米，宽为 厘米. 由黄金矩形性质得 . 解得 . 取正值 .即长约为 厘米. ▶ 方法小结 黄金矩形：长 = 宽 × (√5+1)/2 ≈ 宽 × 1.618. 变式 由黄金比求长 已知黄金矩形的宽为 厘米，求其长. 例3 黄金分割的应用 舞台宽 米，主持人应站在距 端多远处（取黄金分割点，较长段靠近入口 ）最美观？ 【审题·思路】主持人站位取黄金分割点，距 的较长段 . 【突破】方程已在例1解出，这里直接应用黄金比即可. 【解答】解：站位距 端较长段 . 即约为 米. ▶ 方法小结 黄金分割站位 ≈ 全长 × 0.618. 变式 验证实际比值 上海东方明珠广播电视塔高约 米，塔身主体约 米，验证塔身主体与塔高的比是否接近黄金比. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 已知线段长 厘米，求其黄金分割较长部分的长. ▶ 答题指导 较长部分 = 全长 × (√5−1)/2 = 10 × (√5−1)/2. 2. 黄金矩形的宽为 ，求其长. ▶ 答题指导 长 = 宽 × (√5+1)/2 = (√5+1)/2. ★★ B层 · 能力提升 1. 验证：长/宽 的矩形满足 （ 为长、 为宽）. ▶ 答题指导 设长 a、宽 b，代入 a=Φb 看结果是否为 0. 2. 某人身高 厘米，若其下半身（肚脐到脚底）与身高的比恰好为黄金比，求下半身的长度. ▶ 答题指导 下半身 = 身高 × (√5−1)/2. ★★★ C层 · 拓展挑战 1. 一张黄金矩形海报，长比宽多 厘米，且长、宽满足 （ 长、 宽），求这张海报的长和宽. ▶ 答题指导 设宽 w、长 w+4，列方程后解一元二次方程. 2. 若点 是线段 的黄金分割点（），证明 . ▶ 答题指导 从定义“AB/AC = AC/BC”交叉相乘即得. 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固（计算黄金分割点） 例题 已知 ，求黄金分割较长部分 . 【分析】直接代入黄金比 φ，较长部分 = 全长 × φ. 变式 已知 ，求 . 巩固 已知 ，求较短部分 . 题型2 易错警示（混淆 φ 与 Φ） 例题 判断：“黄金比就是 .”这句话对吗？ 【分析】区分 φ≈0.618（较长/全长）与 Φ≈1.618（全长/较长），二者互为倒数. 变式 判断：“黄金矩形的长/宽 = 0.618.”这句话对吗？ 巩固 填空：若线段全长为 ，黄金分割较长部分为 ，则 ____（精确到 0.001）. 题型3 实际应用型（配实景图 + 审题） 实景：帕特农神庙（建筑中的黄金分割） 例题 希腊帕特农神庙的正立面近似一个黄金矩形，已知其宽为 单位，求长. 【审题】已知：宽 ；所求：长；等量关系：（ 长、 宽）；设元：长为 . 【分析】用黄金矩形的方程建模，避免直接套比例. 实景：向日葵花盘（螺旋隐含黄金比） 变式 向日葵花盘的螺旋常呈相邻斐波那契数（如 与 ）.验证 与黄金比 Φ 的接近程度. 【分析】计算比值并与 Φ 比较误差. 实景：名画（艺术中的黄金分割） 巩固 《蒙娜丽莎》中脸宽与肩宽之比接近黄金比.已知肩宽 厘米，脸宽约多少最美？ 【分析】脸宽 = 肩宽 × φ. 题型4 黄金矩形（二次方程建模） 例题 黄金矩形的长、宽满足 .已知宽 ，求长 . 【分析】代入 得关于 的一元二次方程. 变式 已知长 ，求宽 . 巩固 在黄金矩形中截去一个正方形，剩余的矩形是否仍为黄金矩形？证明你的结论. 【分析】设原矩形长 宽 ，剩余矩形宽 、长 ，验证其长/宽 = Φ. 题型5 分类讨论（含参黄金分割） 例题 线段 ，点 分 为 ，问 为何值时 是黄金分割点（）？ 【分析】由 取正根. 变式 若 （另一黄金分割点），求 . 巩固 一条线段有几个黄金分割点？它们有怎样的位置关系？ 题型6 创新探究（开放与综合） 例题 写出一个以黄金比为根的一元二次方程. 【分析】 的正根就是黄金比 φ. 变式 黄金比 φ 与其倒数 Φ 满足什么关系？验证 φ+Φ 与 φ·Φ 的值. 巩固 斐波那契数列 … 相邻两项之比趋近哪个数？说说你的猜想. 八、方法总结与自我检测 1. 黄金分割：较长部分/全长 = 黄金比 φ = (√5−1)/2 ≈ 0.618.〔自测：我能说出黄金分割的定义，并写出对应的方程 .〕 2. 列方程是把“分割关系”翻译成 一元二次方程 的关键一步.〔自测：我会求任意线段的黄金分割较长部分（全长×φ）.〕 3. 黄金矩形：长/宽 ，满足 （ 长、 宽）.〔自测：我能判断一个矩形是否为黄金矩形（长/宽≈1.618）.〕 4. 常见坑自查：① 混淆 φ≈0.618 与 Φ≈1.618；② 把较长/较短搞反；③ 忘记二者互为倒数.〔自测：我能举出黄金分割在艺术、建筑或自然中的一个例子.〕 — 讲义完（学生版）— 学科网（北京）股份有限公司 $