1.2 第4课时公式法与根的判别式&专题特训1 一元二次方程解法的灵活应用-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第1章一元二次方程 第4课时公式法与根的判别式 自一阶·基础通关 融通新授知识，夺实双基◆ 1.若x=2+4-4X(-D 2 是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是() A.x2-2x-1=0 B.x2+2x-1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2-2x+1=0 2.[2025扬州中考]关于一元二次方程x2一3x+1=0的根的情况，下列结论中正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有一个实数根 3.若关于x的一元二次方程2x2-2x-4m十1=0有两个相等的实数根，则(m-2)2-2m(m 1)的值为 4.若关于x的一元二次方程x2十bx十4=0的两个根中较小的一个根是m(m≠0)，则b十 √b2-16= (用含m的代数式表示)： 5.小明在解方程x2一5x=1时出现了错误，其解答过程如下： 解：.a=1,b=-5,c=1(第一步)， ∴.b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21(第二步). 、x=5±)团（第三步. 2 :,5+y2风，，5-②（第四步 2 ,x2= 2 (1)小明的解答过程从第 步开始出错，其错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程， 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.[2025雅安中考]关于x的一元二次方程(m一3)x2+6.x十3=0有两个实数根，则m的取值范 围是 ( ) A.m>6 B.m≤6且m≠3C.m≥6 D.m<6且m≠3 7.已知方程甲：a.x2十2bx十a=0,方程乙：bx2十2ax十b=0都是关于x的一元二次方程(a≠b).有 下列说法：①若x=1是方程甲的根，则x=1也是方程乙的根；②若方程甲有两个相等的实数 根，则方程乙也有两个相等的实数根；③若方程甲有两个不相等的实数根，则方程乙也有两个不 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 相等的实数根；④若x=n既是方程甲的根，又是方程乙的根，则n可以取1或一1.其中，正确 的是 () A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④ 8.在平面直角坐标系中，若直线y=2x十a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x十1=0的实 数根的个数为 () A.0 B.0或1 C.2 D.1或2 9.易错题对于两个不相等的实数a,b,我们规定max{a,b}表示a,b中的较大值，如：max{2,5}= 5,则max{1,x}=x2一3的解为 10.若关于x的一元二次方程x2一ax+1=0有两个相等的实数根，且该实数根也是关于x的一元 二次方程(a一2)x2+bx+1=0的实数根，则方程(a一2)x2+bx+1=0的根为 11.如图，将两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD拼在一起，连接AD,点B,E,C在同一条直线上， AE⊥ED.已知直角三角形的直角边长分别为m,n,斜边长为g,分别以m,√2q,n为二次项系 数、一次项系数和常数项构造的关于x的一元二次方程mx2十√2qx十n=0,称为“勾股方程”. (1)请直接写出一个“勾股方程”. (2)若“勾股方程”mx2十√2g红十n=0有两个相等的实数根，求m的值， (3)若x=一1是“勾股方程”mx2+√2gx十n=0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四 边形ABCD的面积. 29 n E m (第11题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维山 12.*已知关于x的方程x2-(3k+1)x十2k2+2k=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的 周长 8 >“答案与解析”见P3 第1章一元二次方程 专题特训一一元二次方程解法的灵活应用 类型一缺“一”选“直” 1.解方程： (1)3x2-108=0. (2)x-2x2=(x-3)(x+4). 类型二遇“大”选“配”、遇“小”选“公” 2.解方程： (1)x2+6.x-8091=0. (2)√2x2+3x=22. 类型三有“公”选“因” 3.解方程： (1)(x-4)2=4x(4-x). (2)2(4-x)2=x2-16. 类型四整体换元法 4.阅读材料 已知实数m,n满足(2m2十n2+1)(2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2的值. 解：设2m2十n2=t,则原方程变为(t+1)(t一1)=80.整理，得t2-1=80.∴.t2=81.∴.t=士9. 2m2+n2≥0，∴.2m2+n2=9. 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整 体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)若a,b满足等式(a2+b2)(2a2+2b2-1)=3,求3a2+3b2-1的值. (2)x2-2x-4|x-1|+5=0. “答案与解析”见P5 9第3课时因式分解法 1.C原方程移项、因式分解，可得x(x一1)=0，解得 x1=0,x2=1. 易错警示 对等式的性质缺乏正确的理解而使方程失根 解这类一元二次方程时，往往会出现两边同时除以 含有未知数的公因式而导致的错误，究其原因，是对等 式的性质“等式两边同时乘（或除以）同一个数（除数不 能为0)，所得结果仍是等式”缺乏正确的理解 2.D原方程移项，得(x十1)(x一2)一(x十1)=0.提公因 式，得(x+1)(x-2-1)=0,即x+1=0,x-2-1=0,解 得x1=-1,x2=3. 3.2x2-x=2(x-1),x(x-1)=2(x-1),..(x 1)(x一2)=0..x1=1,x2=2.当腰长为1，底边长为2 时，：1十1=2，∴.此三角形不存在.当腰长为2，底边长为 1时，符合三角形的三边关系.∴.该等腰三角形的第三边 的长是2. 4.(1041=0,x2=-16.(2)x1=-2,x2三-2 3 (3)x1=-3,x2=2· (4)x1=0,x2=4. 5.(1)△ABC是等腰三角形.理由：把x=一1代入方程 (a+c)x2+2bx+(b一c)=0,得a+c-2b+b一c=0. ∴.a=b..△ABC为等腰三角形.(2)：△ABC为等 边三角形，∴.a=b=c.∴.方程(a十c)x2+2bx十(b一c)= 0可化为x2十x=0,解得x1=0,x2=一1. 6.Cx2-x一1=(x+1)°，..x2一x一1=1，即(x 2)(x十1)=0，解得x1=2,x2=一1.又：x十1≠0，即 x≠一1，，.x=2. 7.C2(x-3)2=9-x2,.2(x-3)2+(x十3)(x 3)=0.∴.(x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0,即(x 3)(3x-3)=0.∴.x1=1,x2=3. 8.D把x=3代人方程x2-(m+1)x+2m=0,得9- 3(m+1)+2m=0,解得m=6.∴.原方程为x2-7x十12= 0,解得x1=3,x2=4.:这个方程的两个实数根恰好是等 腰三角形ABC的两条边的长，∴.①当△ABC的腰长为 4,底边长为3时，△ABC的周长为4+4+3=11；②当 △ABC的腰长为3，底边长为4时，△ABC的周长为3+ 3+4=10.综上所述，△ABC的周长为10或11. 9.2(x十3)(x一5)：'x2-2a+3g=0的两个根分别 是-3和5，∴.2x2-4px+6g=2(x2-2x+3g)=2(x+ 3)(x-5). 10.当x十3≥0，即x≥一3时，原方程可化为x2十(x十 3)-9=0,即x2+x-6=0.分解因式，得(x-2)(x+3)= 0,解得x1=一3，x2=2.当x十3<0，即x<一3时，原方程 可化为x2-(x十3)-9=0，即x2一x一12=0.分解因式， 得(x一4)(x十3)=0，解得x3=4,x1=一3.两个解都不符 合x<-3,舍去.综上所述，原方程的解为x1=一3，x2=2. 11.Cx2-2m.x+m2=4,.(x-m+2)(x-m- 2)=0.∴x=m-2或x=m十2.：x1>x2,∴.x1=m十 2,x2=m-2..x1=2x2十3，∴.m+2=2(m-2)+3,解 得m=3. 12(1)3:2.(2)①解法-：x2+6x-27的常数项 -27=9×(-3),一次项系数6=9+(-3)，∴x2+6x 27=x2+[9+(-3)]x+9X(-3).∴.x2+6x-27=(x+ 9)(x一3).∴.解方程x2十6x一27=0，得x1=一9，x2=3. 解法二：x2+6x-27=x2+6x+9-9-27=(x十3)2- 6=(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(x一3).∴.解方程 x2+6x-27=0,得x1=-9,x2=3.②解法-：x2 24x+140的常数项140=(-10)×(-14)，一次项系 数-24=(-10)+(-14)，.x2-24x+140=x2+ [(-10)+(-14)]x+(-10)×(-14)..x2-24x+ 140=(x-10)(x-14).∴.解方程x2-24x+140=0,得 x1=10,2=14.解法二：x2-24x+140=x2-24x+ 144-144+140=(x-12)2-22=(x-12+2)(x-12- 2)=(x-10)(x-14.∴.解方程x2-24x+140=0,得 x1=10,x2=14.(3)解方程x2-10x+24=0,得x1= 4,x2=6.①当CD=4时，即AB=BC=DA=4,:菱形 ABCD的一条对角线长为8，∴.两边长之和大于8.：4+ 4=8,∴.不合题意，舍去.②当CD=6时，即AB=BC= DA=6,:'菱形ABCD的一条对角线长为8，.两边长之 和大于8.：6十6>8，.符合题意.∴.菱形ABCD的周 长=4×6=24. 第4课时公式法与根的判别试 1A若x=2+4,XD是某个一元二次方程的 2 一个根，则根据求根公式x=一b士合ac(62一c≥ 2a 0),可得a可以为1，b可以为一2，c可以为一1，即这个一 元二次方程可以是x2一2x一1=0. 2.A△=(-3)2-4×1×1=5>0，.方程x2-3x+ 1=0有两个不相等的实数根， 3子由题意，得△=(-2m)-4×2×(-4m十1) 7 4m2-2(-4m+1)=4m2+8m-2=0..m2+2m=2 ∴.(m-2)2-2m(m-1)=-m2-2m+4=-(m2+ 2m)+4=-2+4= 7 4.一2m.x2十bx+4=0的两个根中较小的一个根是 m0m≠0.-b-y=6=m六6+V6-16=-2m 2 5.(1)一；原方程没有化成一般形式.(2)把方程x2 5.x=1化为一般形式，得x2-5x-1=0.a=1,b=-5, c=-1,.b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=25+4= 29>0..x-5±y四，-5+)2四，=5-四 6.B由题意，得△=36-4(m-3)×3≥0且m-3≠0， ∴.m6且m≠3. 7.A若x=1是方程甲的根，则a十2b十a=0,即a= -b..方程乙：ba2+2ax+b=0变为bx2-2bx十b=0, 解得x1=x2=1.∴.x=1也是方程乙的根.∴.①正确.若 方程甲有两个相等的实数根，则(2b)2一4a·a=0,即 4b2=4a2.∴.4a2-4b2=0.∴.在方程乙：b2+2ax+b=0 中，(2a)2一4b·b=4a2一4b2=0.∴.方程乙有两个相等的 实数根..②正确.若方程甲有两个不相等的实数根，则 (2b)2-4a·a>0,解得4b2>4a2.∴.4a2-4b2<0.∴.在 方程乙：bx2+2a.x+b=0中，(2a)2一4b·b=4a2-4b2 0.∴方程乙没有实数根.∴.③不正确.若x=n既是方程 an2+2bm+a=0①， 甲的根，又是方程乙的根，则 由① bm2+2an+b=0②. ②，得(a-b)n2-2(a-b)n+(a-b)=0.a≠b, ∴.n2一2m十1=0，解得11=n2=1..④不正确.综上所 述，正确的是①②. 8.D直线y=2x十a不经过第二象限，.a≤0.当 a<0时，22一4a=4-4a>0,∴.方程有两个不相等的实 数根.当a=0时，原方程可化为2x+1=0,∴.实数根的个 数为1.综上所述，关于x的方程ax2十2x十1=0的实数根 的个数为1或2. 9.x=1+)B或x=一2当x>1时x2-3=x,解得 2 1+厘1一厘（舍去.当<1时-3= 2 2 1,解得x1=2(舍去)，x2=一2..max{1,x}=x2-3的解 是x=1+,压或x=-2 2 易错警示 不会根据条件分类讨论而导致错误 对于这类阅读理解题需要正确理解问题的背景，规 定max{a,b}表示a,b中的较大值，即当a为大数时，值 为a,当b为大数时，值为b,因此，容易忽略对于max{1, x}中1与x的大小关系的讨论，从而导致错误， 10.x=-1,x,=}关于x的一元二次方程2一 ax+1=0有两个相等的实数根，∴.△=（一a)2一4×1× 1=0,解得a=士2.：关于x的方程(a-2)x2+bx十1=0 是一元二次方程，∴.a≠2.∴.a=一2.关于x的一元二 次方程x2-ax十1=0为x2十2x十1=0，解得x1=x2= 一1.由题意，得x=一1是关于x的一元二次方程一4x2+ bx十1=0的实数根，.一4×（一1）2一b十1=0，解得 b=-3.∴.关于x的方程(a一2)x2+bx十1=0为 -42-3x+1=0,解得x=-1x= 11.(1)答案不唯一，如3x2十52x十4=0.(2)：“勾 股方程”mx2十√2q.x+n=0有两个相等的实数根， .∴.(V2·g)2-4mn=2g2-4m=0..∴.q2=2wm..g2= m2+n,∴.m2十n2=2mm.∴.(m-n)2=0,即m-n=0. 六ng=m小g-号.3=-1是勾 股方程”mx2十√2gx十n=0的一个根，∴.m一√2g十n=0. ∴.√2·g=m十n.四边形ABCD的周长是6，.2m十 2m十√2q=6..q=√2.q2=m2+n2,2q=m+n, ,∴.m2十n2=2,m十n=2..易得mn=1..四边形 1 ABCD的面积=2×2mm+2q2=mm十2q=1+1=2. 12.(1):△=[-(3k+1)]-4(2k2+2k)=9k2+6k+ 1一8k2一8k=k2一2k+1=(k一1)2≥0，..无论k取何值， 方程总有实数根.(2)①若a为底边长，则b,c为腰长. .b=c..(k一1)2=0，解得k=1..原方程可化为x2 4x十4=0.∴.x1=x2=2.∴.b=c=2.·2+2<6,∴.不能 构成三角形，舍去.②若a为腰长，则b,c中有一个为腰 长，不妨设b=a=6.将x=6代入方程，得62一6(3k+ 1)+2k2十2k=0,解得k=3或k=5.当k=3时，原方程可 化为x2-10x十24=0，解得x1=4,x2=6.∴.b=6,c=4. 此时△ABC的三边长为6,6,4，能构成三角形.当k=5 时，原方程可化为x2一16x十60=0，解得x3=6,x1=10. ∴.b=6,c=10.此时△ABC的三边长为6,6,10，能构成三 角形.∴.△ABC的周长为6+6+4=16或6+6+10=22. 方法归纳 解决一元二次方程与等腰三角形问题的一般步骤 往往先根据一元二次方程根的判别式与0的大小关 系，确定方程总有实数根，再根据三角形的形状和已知 边长分情况讨论方程根的情况，求得方程中的待定系数 及其解，并结合三角形三边关系确定三角形的三边长和 周长.在特殊情况下，也可以根据一元二次方程根的判 别式为完全平方式，直接运用公式法求得方程的根，再 分类讨论求得符合条件的三角形的三边长和周长. 专题特训一一元二次方程解法的灵活应用 1.(1)由原方程，得x2=36,解得x1=6,x2=一6. (2)整理，得x2=4,解得x1=2,x2=一2 2.(1)由原方程，得x2十6x=8091..x2+6x+32= 8091+32,即(x+3)2=8100.∴.x+3=90或x+3= 一90，解得x1=87,x2=一93.(2)原方程可变形为√2x2+ 3x-2√2=0.a=√2，b=3,c=-2√2，∴.b2-4ac= 3-4X5X(-25)=25>0.=-3±y医..x, 2/2 -2 2√2 3.(1)原方程可变形为(x一4)2一4x(4-x)=0,得(x一 4)(x一4十4x)=0,即(x一4)(5x-4)=0,.x1=4,x2= 5(2)2(4-x)2=x2-16,2(x-4)2-(x+ 4 4)(x一4)=0.分解因式，得(x一4)(x一12)=0.∴.x一4= 0或x一12=0，解得x1=4,x2=12. 4.(1)设a2+b2=m,则原方程变为m(2m一1)=3.整理， 得2m2-m-3=0,解得m=2或m=-1.“a2+6≥0， a2+62=是.3a2+362-1=3×号-1=子 (2)原方程可化为x一12一4|x一1+4=0.设|x一1= y,则y2一4y+4=0,解得y1=y2=2,即|x一1|=2 .x=一1或x=3...原方程的解是x1=一1，x2=3. 1.3一元二次方程的根与系数的关系 1.C由题意，设另一个根是a.:方程5x2+(号+1)x 6=0的一个根是3，∴.3x1=- 6 2.B设原来的方程为a.x2十bx+c=0(a≠0).由题意知！ -b=6+1=7,￡=-2×(-5)=10,6=-7a,c= a 10a.∴.原来的方程为a.x2一7ax十10a=0.当a=1时， x2-7x+10=0. 易错警示 不能灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决问题 解决这类问题时，往往出现不能运用参数和一元二 次方程根与系数的关系来建立参数之间的数量关系，从 而导致错误的情况， 3()号：a,6是方程x+2r-3=0的两根u+ 6-2=-8是+-站-号-景 (2)一2方程x2一2x一5=0的两根分别为x1,x2, x1十x2=2,x1x2=-5.∴.(x1+1)(x2+1)=x1x2+ x1+x2+1=-5+2+1=-2. 4.(1)一3：x1,x2是关于x的一元二次方程x2十 2x一m=0的两个实数根，∴.x1十x2=一2.又，x1=1, ∴.x2=-2-x1=-2-1=-3.(2)4x1,x2是方 程x2十m一2=0的两个根，.x1十x2=一m,x1x2= 一2.x1十x2=2x1x2,∴.一m=2X(-2),解得m=4. 5.(1)方程有两个不相等的实数根，∴.△=（一4）2 4(m+1)=16-4m-4=12-4m>0.∴.m<3.(2)由根 与系数的关系，得x1十x2=4,x1x2=m十1.(x1一 1)(x2-1)=-4,∴.x1x2-(x1+x2)+1=-4..m十 1-4+1=-4..m=-2. 6.C:x1是关于x的一元二次方程x2-25.x-1=0的 实数根，.x7一25x1-1=0..x7=251+1..x 24x1+x2=25x1+1-24x1+x2=x1+x2+1.:x1, x2是关于x的一元二次方程x2一25x一1=0的两个实数 根，x1十x2=25.∴.x号-241十x2=25+1=26. 7.A由勾股定理，可得AO2+BO2=25.由根与系数的 关系，得A0+B0=-2m+1,AO·B0=m2+3. .AO2+B02=(AO+B0)2-2AO·BO=(-2m+ 1)2-2(m2+3)=25.整理，得m2-2m一15=0，解得 m1=-3,m2=5.又b2-4ac>0,∴.(2m-1)2- 1m+3>0.解得m<-m=-3 8.(1)7:'m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个 实数根，∴.m2-5m十2=0，m十n=5.∴.m2-5m=-2, n=5-m..m+(n-2)2=m+(3-m)2=m2-5m十 9=-2十9=7.(2)-1：方程x2-2026x+1=0的 两根分别为x1,x2,.x一2026x1+1=0,x1·x2=1. x号=2026x,-1.·x-2026=2026x,-1-20256= 2026x1·x2-2-2026=2026X1-2-2026 x2 一x2=一1. T? 9.一2由题意知，x1十x2=3.:x1一2x2=6,即x1+ x2-3x2=6,.3-32=6,解得x2=-1.代人方程，得 1十3十2m=0,解得m=一2. 10.4由方程有两个实数根x1,x2,得△=（-2k)2一 4(k2-k)≥0，即k≥0，且x1+x2=2k,x1x2=k2-k. x+x号=4，.(x1十x2)2-2x1x2=4,即(2k)2 2(k2一k)=4.整理，得k2十k一2=0，解得k1=1,k2= -2(不合题意，舍去).∴.x一x1x2十x2=4一(k2一k)= 4一k2+k=4一1+1=4. 11.(1)方程(a一1)x2-3(2-a)x+1=0的两个实数