综合与实践2 密度计中的函数&第2章 反比例函数拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第2章反比例函数 综合与实践2密度计中的函数 1.[2025杭州模拟]综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液 体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(p> 0).下列说法中，正确的是 （) A.当p≥1时，h≥20 B.当p=2时，h=40 C.当0<h≤10时，p≥2 D.当0<o≤1时，h≤20 m/g↑ h/cm 丙 m2 20 01 P/(g/cm) OV VV/em' (第1题) (第2题) 2.物理实验中，同学们分别测量甲、乙、丙、丁四种液体的体积V(c3)和它们的质量m(g),根据相 关数据，在如图所示的平面直角坐标系中依次画出相应的图象.根据图象及物理学知识m=ρV, 可判断这四种液体中密度p(g/cm3)最大的是 () A甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.数学综合实践课上，某同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在 液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度p(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为 1g/cm3的水中时，浸在液体中的高度为18cm.若当该密度计悬浮在另一种液体中时，浸在液体 中的高度为20cm,则该液体的密度为 g/cm3. 4.数学综合实践课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在密度为p(单位：g/cm3)的 液体中，浸在液体中的高度h(单位：cm)与液体的密度p的函数表达式为Q一器.已知情子汁的 20 密度是水的密度的号倍，密度计浸在水中的高度比浸在橘子汁中多4cm. (1)当密度计悬浮在一种液体中时，浸在液体中的高度为25c,则该液体的密度为 g/cm. (2)求水的密度. ●“答案与解析”见P23 41 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 第2章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.有下列各对相关联的量：①购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用： ②一批水果的总质量一定，按每箱质量相等分装，装箱数与每箱的质量；③长方体的体积一定， 长方体的底面积与高；④汽车行驶的路程一定，汽车行驶的平均速度与时间.其中，成反比例关 系的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2已知点A(x1,y),B(r)在反比例函数y12的图象上，当1<，<0时，有y> 则m的取值范围是 () 1 A.m<0 B.m>0 C.m<2 Da>号 3.在同一平面直角坐标系内，反比例函数y-十的图象与反比例函数y=一3的图象(k为常 数)既关于x轴对称，又关于y轴对称，那么的值是 () A.3 B.2 C.1 D.0 4.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上.若点A的坐标为(3， m,经过点A的函数y=12(x>0)的图象交BC于点D,连接AD,OD,则△OAD的面积为() A.8 B.9 C.10 D.12 C (第4题) (第6题) 5.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx一k与y=《(k≠0)的图象大致为 6.如图，平行于x轴的直线与函数y(,>0>0)(>0,>0)的图象分别相交于A,B 两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的动点.若△ABC的面积为4，则k1一k2的值为() A.8 B.-8 C.4 D.-4 7.已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦 距为0.5米，则当镜片焦距为0.4米时，近视眼镜的度数应为 () A.100度 B.150度 C.250度 D.300度 42 第2章反比例函数 8.在做功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P与t之间的函数关系如图 所示.当t≥25时，P的取值范围是 () A.P<48 B.P>48 C.0P≤48 D.48≤P≤60 ↑P/W y=ax+b y=mx -1-0.5 O/B 20-- A 060t/s (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，正比例函数y=mx、一次函数y=ax十b和反比例函数y=的图象在同一平面直角坐标 系中，若>m>ax十b,则自变量x的取值范围是 () A.x<-1 B.-0.5<x<0或x>1 C.0<x<1 D.x<-1或0<x<1 10.如图，在平面直角坐标系巾，直线y=2x一3与x轴交于点B,与y轴交于点A,函数y=(k≠ 0,x>0)的图象与直线y=2x一3交于点C,且BC=AB,则k的值为 () A B号 C.9 D.12 二、填空题（每小题4分，共20分） 1设函数y=与y=一1的图象的交点坐标为@6>.则日方的值为 12.已知反比例函数的表达式为y=2,则当工<一1时，y的取值范围是 13.如图，矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，AB=3,BC=4,函数y=飞(x>0)的图象经过 点C和边AD的中点E,则k的值为 B 0 (第13题) (第14题) (第15题) 14如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)（：0)与正比例函数y一女：r:≠0的图象交 于A,B两点，过点A作AC⊥x轴于点C,连接BC.若S△ABc=8,则k1的值为 15如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿边AB翻折至△0AB,OA与函数y=3,3 (x>0)的 图象交于点C.若∠OAB=30°，C为O'A的中点，则点O'的坐标为 43 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 三、解答题（共50分） 16.(14分)已知y=y1十y2y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=3;当x=一1 时y=1.当x=一2时求y的值 17,(18分)如图，在平面直角坐标系中，0为原点，反比例函数y=1与函数y=k,(工十1)十3的图 象交于点A,B.已知k1k2≠0，点A的横坐标是一1，点B的纵坐标是一2. (1)求k1,k2的值. (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第一象限交于点C,过点A作x轴的垂线， 过点B作y轴的垂线，在第三象限交于点D.求证：C,O,D三点共线， (第17题) 18.(18分)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要先将材料烧到800℃， 然后停止煅烧进行锻造操作.如图，在煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；在锻 造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.已知该材料的初始温度是32℃， (1)分别求出材料在煅烧和锻造时y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. (2)根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作，那么每次锻造的操作时间最长是多久？ (3)如果加工每个零件需要锻造12min,并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧，通过计 算说明加工第一个零件一共需要多少分钟 ↑y/℃ 800- -AB 600 32A 08 x/min (第18题) 44 “答案与解析”见P23方法归纳 选择恰当的模型解决生活实际问题 解决生活实际问题的一殷方法是选择恰当的数学 模型.解答时，先要从问题背景中获取相关信息，然后获 取相关量之间的等量关系或者变化关系，最后运用所学 数学知识加以解答 综合与实践2密度计中的函数 1.C根据题意，得反比例函数的表达式为h-20.当p≥ 0 1时，h≤20，故选项A错误，不符合题意.当p=2时，h= 10,故选项B错误，不符合题意.令h=10,得p=2.∴.当 0<h≤l0时，p≥2.故选项C正确，符合题意.当0<p≤ 1时，h≥20，故选项D错误，不符合题意， 17n 2C:m=W,p=.由题图可知，m2>m,V,< 小受受受受受号·丙的密度大于甲的 密度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度， ∴.这四种液体中密度p(g/cm3)最大的是丙. 3.0.9设h关于p的函数表达式为h=(k≠0).把p 1,h=18代入，得k=1×18=18..h关于p的函数表达 式为h=18.把=20代人h=18,得p=0.9,.该液体的 0 0 密度为0.9g/cm3. 4(①0&把A=25代入p=2得P=器=0& 25 (2)设密度计浸在水中的高度为xcm,则浸在橘子汁中的 高度为一4m根据题意，得2×是-”解得 20.经检验，x=20为所列方程的解，且符合题意.∴.水的 密度为8=1g/cm). 第2章拔尖自主测评 1.C①荧光笔的费用+中性笔的费用=总费用，和一 定，荧光笔的费用和中性笔的费用不成比例，故不符合题 意.②装箱数×每箱的质量=一批水果的总质量.一批 水果的总质量一定，即乘积一定，∴·装箱数与每箱的质量 成反比例，符合题意.③长方体的底面积×高=长方体的 体积.长方体的体积一定，即乘积一定，∴.长方体的底 面积与高成反比例，符合题意.④汽车行驶的平均速度× 行驶时间=行驶的路程.汽车行驶的路程一定，∴汽车 行驶的平均速度与时间成反比例，符合题意.综上所述，成 反比例关系的有②③④，共3个. 2.C:点A,B在反比例函数y=1-2m的图象上，当 x1<x2<0时，y1>y2,∴.当x<0时，y随x的增大而减 1 小..1-2m>0.m<2 2 3.C:反比例函数y=十的图象与反比例函数y 二3的图象(k为常数)既关于x轴对称，又关于y轴对 称，∴.k十1十k一3=0，解得k=1. 4C:点A的坐标为(3，)，且点A在函数)-号的图 象上，.3m=12..n=4..A(3,4)..易得OA= √32+4区=5.四边形OABC为菱形，∴.S装0Ac=5X 4-205aw=25me=2×20=10 5.D当k>0时，一次函数y=kx一k的图象经过第一、 三、四象限，反比例函数y=的图象经过第一、三象限当 k<0时，一次函数y=kx一k的图象经过第一、二、四象 限，反比例函数y=的图象经过第二、四象限只有选项 D的图象符合要求. 6.AAB∥x轴，∴.A,B两点的纵坐标相同.设点A 的坐标为(a,h),点B的坐标为(b,h),则ah=k,bh=k2 :Sa4度=2AB·A=2(a-b)h=2(ah-h)= 2(k,一k2)=4,∴，k1=k2=8。 7.C:近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比 例设y=冬（≠0以.：当近视眼镜的度数为20度 时，镜片焦距为0.5米，.当x=0.5时，y=200.∴.k= y=05x20-10y=9当x=04时y=230 8.C·'在做功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功 时间(s)成反比例，可设P= -(t>0,W≠0).图象 过点(60,20)w=60×20=120..P-120.:结合 t 图象可知，当t>0时，P随t的增大而减小，且t=25时， P=120=48,.当t≥25时，0KP≤48。 25 9.D由题图可知，当x<一1或0<x<1时，反比例函数 图象在正比例函数图象的上方，正比例函数图象在一次函 数图象的上方，即冬>mx>ax十h.“若>mx>ax十 x b,则自变量x的取值范围是x<-1或0x<1. 10.C过点C作CD⊥x轴于点D,∴.∠CDB= ∠AOB=90°.对于y=2x一3，当x=0时，y=-3,当y= 0时，x=1.5,.直线y=2x一3与x轴的交点B的坐标 为(1.5,0)，与y轴的交点A的坐标为(0，一3)..OA=3, ∠CDB=∠AOB=90°， OB=1.5.在△CDB和△AOB中，∠CBD=∠AO, BC=BA. ∴.△CDB2△AOB(AAS).∴.CD=OA=3,BD=OB= 1.5..OD=OB+BD=3.∴.点C的坐标为(3,3.点 C在函数y=(k≠0，x>0)的图象上，k=3X3=9. 1.-1:函数y=与y=x-1的图象的交点坐标为 a,b),ab=1,b-a=-1.1-1=ba a b ab 1=一1 1 12-2<y<0:反比例函数的表达式为y=兰2>0， ∴.此函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随 x的增大而减小.：当x=一1时，y=一2，∴.当x< -1时，-2<y<0. 13.12由题意，得E是边AD的中点，AD=BC=4, AE=2E(2,号)：AB=3易得C(4,令-3) :点C在函数y=(>0)的图象上4（合-3）=6。 .k=12 14一8：反比例函数y兰(，≠0)与正比例函数) k2x(k2≠0)的图象交于A,B两点，∴.点A和点B关于原 点O对称.∴.AO=BO..OC是△ABC的中线. 1 SAc=2SaAe=4.:ACLx轴，小SA0c 1k,=41k,=8由题图可知反比例函数y (k1≠0)的图象在第二、四象限，.k1<0..k1=一8. 15.(2,23)如图，连接O'O,过点0'作OD⊥OA于 点D,过点C作CE⊥OA于点E.由翻折的性质，得OA= O'A,∠OAB=∠OAB=30°，.∠O'AO=∠OAB+ ∠OAB=60°.∴.△O'OA是等边三角形.，O'D⊥OA, “OD=AD=OA.:CELOA,△ACE是直角三角 形.在Rt△ACE中，∠ACE=90°-∠O'AO=30°.设AE a,a>0,则AC=2AE=2a.由勾股定理，得CE= √AC2-AE=√(2a)2-a=√5a.C为O'A的中点， ∴.O'A=2AC=4a.∴.OA=O'A=4a.∴.OD=AD= 20A=2a.DE=AD-AE=a,OE=OD+DE=3a. ·点C的坐标为(3u3a).:点C在函数y=33(x> 0)的图象上，.3a·√3a=33,解得a=1或a=-1(不 合题意，舍去).∴.OD=AD=2a=2,OA=O'A=4a=4. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得O'D=√OA-AD= √4-2=2√5，∴.点O的坐标为(2,25). y (第15题) 16.依题意，设y,=mx2(m≠0)，y2=”(n≠0).y= m+兰依短意，得十”二3解得=2y一2x十 m-n=1, n=1. 当x=2时y=2x-2= 3 17.(1)对于y=k2(x十1)十3，当x=-1时，y=3,∴.点A 的坐标为（一13》.“点A在反比例函数y-兰的图象上， .k,=一1×3=一3..反比例函数的表达式为y= 是对于y=-三当y=-2时=2点B的坐 标为（受，-2以将B(受，-2）代人y=:x+1D+3,得 -2=×(2+1)+3,解得：=-2k1=-3,:=-2 (2)由(1，易得c(号，3)，D(-1,-2》.连接CD设直线 CD对应的函数表达式为y=kx十6将C(号3)，D(-1, 上2)代入，得2十b=3, ·解得=2：直线CD对应 {b=0, -k+b=-2, 的函数表达式为y=2x.对于y=2x,当x=0时，y=0, ∴.坐标原点O(0,0)在直线CD上，即C,O,D三点共线. 18.①)材料在锻造时，设y=k≠0).把C(8,60)代 人，得600=令，解得k=480.∴y=1480.当y=800 x 时，4800-800，解得x=6.点B的坐标为(6,800). ·材料在锻造时，y与x之间的函数表达式为y-4800 x (x>6).材料在煅烧时，设y=ax十b(a≠0).把A(0,32), 132=b, 解得 a=128, B(6,800)代入，得 .材料在 800=6a+b, b=32. 煅烧时，y与x之间的函数表达式为y=128.x十32(0≤x≤ 6).(2)把y=400代人y-4800,得400=480，解得 x=12.:12-6=6(min),∴.每次锻造的操作时间最长是 6min.(3)在y=128x+32中，当y=400时，400= 128x+32,解得x-孕.从40℃升到800℃带要6- 23_25 8=8(min.“加工每个零件需要锻造12min,由(2) 知，每次锻造的操作时间最长是6min,∴.加工第一个零件 需要锻造、煅烧两次.∴.加工第一个零件一共需要12十 +6-1gmm