4.2 中位数与众数-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第4章数据的集中趋势和离散程度 4.2中位数与众数 第1课时中位数 一阶·基础通关 融通新授知识，奔实双基山 1.已知一组数据：31,32,35,37,35，则这组数据的平均数和中位数分别是 （) A.34,34 B.35,35 C.34,35 D.35,34 2.某市抽查了某校九年级8个班的学生人数，抽查数据统计如下：52,52一m,52,54+m,54,51, 55,54(0<m<3,m为整数).这组数据的中位数是 3.某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩x(百 分制)进行整理，信息如下： a.成绩频数分布表： 成绩x/分 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 频数 7 9 12 16 6 b.成绩（单位：分）在70≤x<80这一组的是70,71,72,72,74,77,78,78,78,79,79,79. 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比 为 (2)这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所 以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗？请说明理由. (3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况给出一条合理的评价. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时，算出中位数是80分，但后来发现其中一名同学 的成绩记录有误，将75分写成了55分，那么实际这次考试成绩的中位数是 分 5.*有甲、乙两个箱子，其中甲箱子内有98个球，分别标记号码1~98，且号码为不重复的整数，乙 箱子内没有球.已知小悦从甲箱子内拿出个球放入乙箱子后，乙箱子内球的号码的中位数为 40,若此时甲箱子内剩有α个球的号码小于40，b个球的号码大于40. (1)当m=49时，求a,b的值.判断甲箱子内球的号码的中位数能否为40，并说明理由， (2)当甲箱子内球的号码的中位数与乙箱子内球的号码的中位数都是x时，求x的值. ●“答案与解析”见P56 85 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 第2课时众数 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知一组数据7，x,7,8.若这组数据的唯一众数和平均数恰好相等，则x的值为 () A.5 B.6 C.7 D.8 2.有两名同学正在讨论他们班的视力情况，王同学说：“我们班有一半同学的视力在5.0以上，一半 同学的不到5.0.”李同学说：“我们班大部分同学的视力都是4.9.”以上两名同学所说的话分别 针对 () A.平均数、众数 B.中位数、众数 C.中位数、平均数 D.平均数、中位数 2026x-4052>0, 3.已知一组数据2,9,6,10，x的众数是x,其中x又是不等式组 的一个整数 14-2(x-3)>0 解，则这组数据的中位数是 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.五个整数按从小到大的顺序排列，中位数为4，如果这五个整数的唯一众数是6，那么这五个整数 的和最大是 () A.21 B.22 C.23 D.24 5.端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，并对学生的活动情况按10分制 进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数.为了解这次活动的效果，现从这两个年级中各随 机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成如下统计图表： 七年级10名学生活动成绩统计表 八年级10名学生活动成绩扇形统计图 成绩/分 8 9 10 8分 40% /7分 人数 2 1 a b 2 10分 9分 120% 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分 20% 请根据以上信息，回答下列问题： (第5题) (1)a= ,b= (2)样本中，八年级活动成绩为7分的学生有 名，八年级活动成绩的众数为 分 (3)若活动成绩不低于9分为“优秀”，请根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平 均成绩也高，并说明理由。 86 >“答案与解析”见P57 第4章数据的集中趋势和离散程度 第3课时平均数、中位数、众数的选用 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025内江中考]某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的 销售量如下表： 尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26 销售量/双 1 3 10 4 2 这20双运动鞋的尺码的众数和中位数分别是 A.24.5cm,25cm B.25 cm,25 cm C.25cm,25.5cm D.25.5cm,26cm 2.小明在班上做节约用水意识的调查，了解到班上7名同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下： 4,4,6,7,8,9,10.他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数均保持不变，则去掉 的两个数据可能是 A.4,10 B.4,9 C.7,8 D.6,8 3.某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码鞋的销售量如下表： 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量/双 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店下一周进货最多的鞋的尺码应是 cm. 4.为了解某校学生在“慈善一日捐”活动中的捐书情况，抽样调查了该校部分学生的捐书数量（单 位：本)，并绘制成如图所示的统计图. (1)本次调查的人数是 (2)本次活动中捐书数量的众数为 本，中位数为 本 (3)求本次活动中捐书数量的平均数， 人数 05101520捐书数量/本 (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.已知一组数据23,27,20,18，x,12的中位数是20，则平均数和众数分别是 () A.20,20 B.20,21 C.21,20 D.21,21 6.某班五个兴趣小组的人数分别为3,4,5,8，x.已知这组数据只有一个众数，且中位数和平均数相 等，则x的值为 () A.0 B.5 C.0或5 D.4或5 87 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 7.某少年足球俱乐部学员的年龄分布如下表： 年龄/岁 13 14 15 16 频数 口 28 22 23 其中一个数据被遮盖了.若这组数据的中位数为13.5，则该俱乐部共有学员 名 8.某地为发展射击运动，培养射击人才，策划了一次射击比赛，选取两所射击特色学校参赛，每所学 校参加比赛的人数相同，成绩分为A,B,C,D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分， 90分，80分，70分，将两所学校学生的成绩进行整理并绘制成如图所示的统计图.请你根据以上 提供的信息，解答下列问题： (1)实验学校参加射击比赛的人数为 ,体育学校射击比赛成绩的众数落在 等级. (2)请你根据平均数、中位数综合比较哪所学校射击水平较高. 实验学校射击成绩统计图 体育学校射击成绩统计图 人数 16% 44% 36% D等级 B4% (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.*我们约定：身高在选定标准的士2%范围之内都称为“普通身高”.为了解某校九年级男生中具 有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，分别测量他们的身高x(单 位：cm),收集并整理成如下统计表： 男生序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 身高x/cm 163 171 173 159 161 174 164 166 169 164 根据以上信息，解答下列问题： (1)计算这组数据的平均数、中位数和众数， (2)请你选定一个统计量作为标准，找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几名男生 (3)若九年级共有280名男生，按(2)中选定的标准，请你估计九年级中具有“普通身高”的男生 人数 88 >“答案与解析”见P573.C参加体能测试的人数是12：30%=40，成绩是3分 的人数是40×42.5%=17，成绩是2分的人数是40一3一 17-12=8这些学生的平均成绩是×(3×1+8×2+ 17×3+12×4)=2.95(分). 易错警示 不会正确运用加权平均数解决问题 解答这类统计图信息题时，需要从条形统计图和扇 形统计图中获取相关数据信息，确定相应数据的“权”， 再运用加权平均数求得实际问题中一组数据的平均数 解题时往往会因为不能正确理解“权”的意义和作用，而 导致错误， 4.13.95根据题意，得12×15%+13×20%+14× 30%+15×25%+16×10%=13.95(岁). 5.(1)①90；87.5.由统计图可以看出，横坐标为85的 直线上只有一个点，其纵坐标为90，即学生甲第二次成绩 为90分，因此他两次活动的平均成绩是(85+90)：2= 87.5(分).②如图所示.(2)由统计图可知，有9名学生 两改活劲的平均成绩不低于90分400×0-180（人）.。 答：估计两次活动的平均成绩不低于90分的学生有180人. 第二次成绩/分 100 95 90 85 80 75 70 0707580859095100 第一次成绩/分 (第5题) 第3课时分布式计算 1.B解法一：：数据x1,x2,…,xn的平均数为， .x1十x2十…十x10=10m.:x1,x12,…,x30的平均数 为n,∴x11十x12十…十x30=201..x1,x2,…,x30的平 均数=10m+20m=m+2 10 30 3 解法二：m×10十20+n× 20_m+21 10+20 3 2.48解法一：九年级(3)班的平均成绩为 50×5+49×8+48×7+47×6+46×6=48(分). 5+8+7+6+6 解法二：50×5+8+7+6十6+49×5+8+7+6十6+48× 7 6 5+8+7+6+6+47×5+8+7+6+6+46×写+8+7+6+6 48(分). 5 3000 3.(①)由题意，得A地考生的数学平均分为90X300十200十 2000 80× =86(分).(2)不能.举例如下：如B地 3000+2000 甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地 考生的数学平均分为94X100十300+82×100+300 1000 3000 85(分).85<86，.不能判断B地考生的数学平均分 定比A地考生数学平均分高（答案不唯一，只要学生能作 出正确判断，并且所举的例子能说明其判断即可). 4(①甲公司送餐员日平均送餐单数为38×品+39× "+0×器+41×品+2×0-87甲公可送 餐员的日平均工资为80十3×39.7=199.1（元）.(2)应 该选择去乙公司应聘.理由：乙公司送餐员的日平均工资 X38X5×10+39X5×20+40×5×20+(4 1×7)×40+(40×5+2×7)×10]=202.2(元. 199.1<202.2,∴.仅从日平均工资的角度考虑，这个人 应该选择去乙公司应聘， 4.2中位数与众数 第1课时中位数 1.C这组数据的平均数是号×(31+32+35+37+35)= ×170=34.将这组数据从小到大排列为31,32,35,35， 1 37,中位数为第3个数，即35. 2.53.0m3,.∴.4952-m52,5454+m57, ∴.将原数据从小到大排列后，处在第4,5位的两个数的平 均数为52十54=53，即中位数为53. 2 3.(1)78.5;44%.这次测试成绩的中位数是第25,26个 数据的平均数，而第25,26个数据的平均数为78十79 2 78.5(分)，∴.这组数据的中位数是78.5分，成绩不低于 80分的人数占测试人数的百分比为16十6X100%=4%. 50 (2)不正确.理由：：甲的成绩77分低于中位数78.5分， ∴.甲的成绩不可能高于一半学生的成绩(3)测试成绩 不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对 “航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）， 4.80,'计算原来35人的数学考试成绩时，算出中位数 是80分，∴.最中间的成绩是80分.由于其中一名同学的 成绩记录有误，将75分写成了55分，但最中间的成绩还是 80分，不受影响，因此实际这次考试成绩的中位数是80分. 5.(1)由题意，得甲箱子内还剩98-49=49（个）球.，乙 箱子内球的号码的中位数为40，'.乙箱子内号码小于40、 大于40的球各有(49一1)÷2=24（个）..甲箱子内号码 小于40的球有39-24=15（个），号码大于40的球有49 15=34(个)，即a=15,b=34.甲箱子内球的号码的中位数 不能为40.理由：：a≠b,40号球在乙箱子内，甲箱子内有 49个球，不可能有40号球，∴.甲箱子内球的号码的中位数 不能为40.(2)由(1)知，当甲、乙两个箱子内球的号码的 中位数相同时，甲、乙两个箱子内球的数量应该都是偶数. 设在甲箱子内球的号码小于x的数量是c个，则大于x的 数量也是c个.设在乙箱子内球的号码小于x的数量是 d个，则大于x的数量也是d个..在全部的98个球中 号码小于x的数量是(c十d)个，大于x的数量也是(c十 d)个，即198的中位数是x.小x=2×(49+50)=49.5, 方法归纳 解答与中位数相关的问题的一般方法 解答与中位数相关的问题时，需要根据中位数的意 义作出分析，将一组数据按照从小到大的顺序排列，当 总数为奇数时，其中位数为这组数据的最中间一个数； 当总数为偶数时，其中位数为最中间两个数的平均数 第2课时众数 1.B根据题意，得这组数据的众数为7，则平均数为7， .(7十x十7十8)÷4=7，解得x=6. 2.B王同学说的话以5.0为中间的标准，指的是中位数； 李同学说的话是指大部分同学的视力，指的是众数 3.6或9不等式组的解集为2<x<10,.不等式组 的整数解是3,4,5,6,7,8,9.这组数据2,9,6,10，x的众 数是x,.x=6或9..这组数据的中位数是6或9. 4.A由五个整数按从小到大的顺序排列，中位数为4及 这五个整数的唯一众数是6，可得前两个数不是同一个数 且小于4.∴.前两个整数最大是2,3，后两个整数为6,6，即 这五个整数为2,3,4,6,6.∴.这五个整数的和最大是21. 5.(1)2:3.:七年级10名学生活动成绩的中位数为 8.5分，∴成绩由低到高排列，第5位的成绩为8分，第6 位的成绩为9分，即a=2,b=3.(2)2;8.样本中，八年 级活动成绩为7分的学生有10×(1一40%一20%一 20%)=2(人)，八年级活动成绩的众数为8分.(3)本次 活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高.理由：结合 (1)(2)中所求，可得七年级的优秀率为3+2×100% 10 50%,八年级的优秀率为20%+20%=40%；七年级的平 均成绩为品×(6×2+7×1+8X2+9×3+10×2)= 8.2(分)，八年级的平均成绩为7×20%+8×40%+9× 20%+10×20%=8.4(分).七年级的优秀率高于八年 级，但七年级的平均成绩低于八年级，∴.本次活动中优秀 率高的年级不是平均成绩也高， 第3课时平均数、中位数、众数的选用 1.B由题表可知，25cm出现次数最多，有10次，.众数 为25cm.中位数是数据从小到大排列后，第10个和第 1个数据的平均数中位数为5士25=25(m。 2.D数据4,4,6,7,8,9,10的众数是4，中位数是7， ∴去掉的两个数据可能是6,8或6,9或6,10，不能去掉的 数是4和7. 3.23.5由题表可知，23.5cm出现的次数最多，∴.该鞋 店下一周进货最多的鞋的尺码应是23.5cm. 4.(1)30.本次调查的人数是6+11+8+5=30. (2)10;10.捐10本的人数最多，故众数为10本.捐书数 量按从小到大排列，中位数是第15个数据和第16个数据 的平均数，即100=10（本）.《3)云-品×(5×6+ 2 10×11+15×8+20×5)=12(本).答：本次活动中捐书数 量的平均数为12本. 5.A数据23,27,20,18,12从小到大排列为12,18,20， 23,27.一组数据23,27,20,18，x,12的中位数是20， ∴x=20..这组数据为12,18,20,20,23,27.∴.平均数 为6×(12+18+20+20+23+27)=20，众数为20. 6.B,'这组数据只有一个众数，且中位数和平均数相 等，∴.x≠3且x≠8.当x=4时，中位数为4，平均数为 3十4什4什5十8=48,4≠4.8，故x=4不符合题意.当x= 5时，中位数是5，平均数为3+4+5+5十8=5，中位数和平 5 均数相等，符合题意 7.146由这组数据的中位数为13.5可知，最中间的两个 数为13,14.∴.这个俱乐部共有学员(28+22+23)×2= 146(名). 8.(1)25;A.实验学校参加射击比赛的人数为6+12+ 2+5=25,体育学校射击比赛成绩的众数落在A等级. (2):实验学校射击成绩的中位数为90分，体育学校射击 成绩的中位数为80分，.从中位数看，实验学校好于体育 学校，实验学校射击水平较高.实验学校射击成绩的平均 数为2×(10X6+90X12+80×2+70X5)=87.6(分， 体育学校射击成绩的平均数为100×44%+90×4%+ 80×36%十70×16%=87.6（分），从平均数看，两所学校射 击水平相同.综上所述，实验学校射击水平更高 9()这组数据的平均数为×(163+171+173+159+ 161+174+164+166+169+164)=16.4,中位数为2× (166+164)=165,众数为164.(2)选平均数作为标准 当身高x(单位：cm)满足166.4×(1一2%)x166.4× (1+2%)时为“普通身高”，即163.072≤x≤169.728.此 时，序号为⑦⑧⑨⑩的男生具有“普通身高”.选中位数作 为标准，当身高x(单位：cm)满足165×(1一2%)x 165×(1+2%)时为“普通身高”，即161.7x168.3.此 时，序号为①⑦⑧⑩的男生具有“普通身高”.选众数作为 标准，当身高x(单位：cm)满足164×(1一2%)x164× (1+2%)时为“普通身高”，即160.72≤x≤167.28.此时， 序号为①⑤⑦⑧⑩的男生具有“普通身高”（三种标准任选 一种即可).(3)选平均数作为标准，估计九年级中具有 “普通身高”的男生有280X0-12(名).选中位数作为标 、准，估计九年级中具有“普通身高”的男生有280×0白 112(名).选众数作为标准，估计九年级中具有“普通身高” 的男生有280X品-140（名）[对应第(2小超即可 方法归纳 根据“三数”的特征解题的一般方法 平均数、中位数和众数三个统计量具有各自的特 ,点，从不同的角度描述一组数据的集中趋势.平均数能 够充分运用所有数据提供的信息，但容易受到个别异常 值的影响；中位数不受异常值的影响，但不能充分运用 所有数据的信息：众数是一组数据中出现次数最多的数 据，因而是人们尤为关心的统计量，反映了人们的一种 普遍的倾向.在实际问题中，用哪一个统计量来描述一 组数据的集中趋势，需要根据数据的特征和问题的具体 情况作出合适的选择 4.3四分位数和箱线图 第1课时四分位数 1.C将这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序 排列为93,12,136,145,15,165,171,182,8×}-2， ∴.这组数据的第一四分位数是第2个与第3个数据的平 均数，即12136-124. 2 2.A将打靶成绩（单位：环）由小到大排列为6,7,8,8,9， 10.:6×号-1.5第一四分位数为7环 3.12根据题意，得。×(6+x+10+12十24+2)=10， 6 解得x=6.∴.数据为6,6,10,12,24,2，按从小到大排列为 2,6,6,10,12,24.这组数据共6个，75%×6=4.5，∴.这 组数据的第三四分位数是排序后数据中的第5个数， 即12. 4.把10名同学的身高（单位：cm)从小到大排列为158， 161.163.163,167,168,169.170.170,175.10×}- 2.5,10×4 -5,10×子=75，该小组身高的四分位数 分别为m5=163cm,m0=167168-=167.5(cm,m6- 2 170cm. 5B:8×号=2第一四分位数是第2个与第3个数 据的平均数.14牛0=15，解得4=16..原始数据为 2 13,14,16,18,18,20,22,23,去掉一个最高分和一个最低分 后，数据为14,16,18,18,20,22.选项A:原始数据的平均 数为13+14+16+18118+20+22+23-18，去掉一个最 高分和一个最低分后数据的平均数为 14+16+18十18+20+22-18，平均数不变，不符合题 6 意.选项B:原始数据的最大值与最小值的差为23一13= 10,去掉一个最高分和一个最低分后最大值与最小值的差 为22-14=8，∴.最大值与最小值的差发生了变化，符合题 意.选项C:原始数据的中位数为18十18-18，去掉一个最 2 高分和一个最低分后的数据的中位数为1818-18，.中 位数不变，不符合题意.选项D:原始数据的众数为18（出 现2次)，去掉一个最高分和一个最低分后数据的众数为 18(出现2次)，.众数不变，不符合题意.综上所述，会发 生变化的是最大值与最小值的差 6.(1)共有50个数据，∴.中位数是第25个和第26个 数据的平均数.：4+8=12<25,12+15=27>26，∴.第 25和26个数据都落在5≤x<6这一组.∴.中位数落在 5<x<6这个分组内.(2)：}×50=12.5，第-四 分位数为第13个数据，它落在5≤x<6这个分组内. :寻×50=7.5，第三四分位数为第38个数据：4什 8=12<38,12+15=27<38,27+12=39>38,∴.第三四 分位数落在6≤x<7这个分组内.(3)重点宣传对象户 数月均用水量超过第三四分位数的家庭占比为1一75%= 25%,估计该小区300户居民中，需要被列为重点宣传对象 的有300×25%=75（户）.