综合与实践3 利用圆中弦长求阴影部分面积&第3章 圆拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 综合与实践3利用圆中弦长求阴影部分 1.如图所示为某玉瑗的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成 2cm,则图中阴影部分的面积是 A.πcm B.2πcm2 C.3πcm D.4πcm B 0 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，从一张半圆形的铁片（圆心为点O)上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面 积，在图中作出小半圆的一条切线，并使它平行于大半圆的直径.设这条切线交大半圆于点A, B,量得AB的长是5cm,则剩余部分的面积是 () A.25πcm 25 B.之元cm C 25 πcm n号 3.一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm)如图所示，则这枚古钱币 的半径为 m. 4.如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G,H分别在边AF,CD上，且不同于正六边形的 顶点，CH=FG (1)求证：四边形BGEH为平行四边形 (2)若正六边形的边长为4，连接OB,OF,以点O为圆心，OB长为半径的扇形BOF与正六边形 形成阴影部分，求图中阴影部分的面积. B e H D (第4题) 78 >“答案与解析”见P52 第3章圆 第3章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5.若以点C为圆心，画一个半径为3.5的圆，下列说法 正确的是 () A.点A在⊙C上 B.点B在⊙C上 C.点A在⊙C内 D.点B在⊙C内 2.在⊙O中，半径r=5,弦AB=8,P是弦AB上的动点（不与端点A,B重合）.若线段OP的长为 正整数，则点P的个数为 () A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.若∠ACB=40°，则∠BAC的度数为 () A.40 B.20° C.30° D.10° A H B D 0 E (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 4.如图，在扇形OAB中，∠AOB=150°，AC=AO=6,D为AC的中点.当弦AC沿扇形运动时，点 D所经过的路径长为 () A.3π B.√3π G D.4π 5.如图，无人机巡检基站时，以基站中心O为圆心作圆形巡检区域，按八个方位将圆八等分（等分 点为A~H),连接AF,AB,FC,则∠FAB一∠AFC的度数为 () A.60° B.50° C.45 D.30 6.如图，AB和BC是⊙O的两条弦，BC>AB,M是劣弧AC的中点，过点M作MD⊥BC,垂足为 D.若AB=2√2，BD=√2，则CD的长为 () A.6 B./10 C.25 D.3√2 7.如图，半圆O的直径AB为4，将半圆O绕点B按顺时针方向旋转45得到半圆O',与AB交于 点P,则图中涂色部分的面积为 () A.π-2 B.π+2 C.2π-2 D.2π+2 8.如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A.已知⊙O的半径为4，且 D BC=2AB.若在没有滑动的情况下，将⊙O向右滚动，使得点O向右移动了66π， 则此时与地面相切的弧为 ) 77777777777777777 A A.AB B.BC C.CD D.DA (第8题) 79 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 二、填空题（每小题4分，共32分） 9.在平面直角坐标系中，以点P(一3,4)为圆心、r为半径作圆，当x满足 时，⊙P与坐标 轴有4个交点. 10.如图所示为一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.若C是⊙O的弦AB 的中点，CD经过圆心O,交⊙O于点D,AB=4m,CD=6m,则⊙O的半径为 m. D 0 ACB (第10题) (第11题) (第13题) 11.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，点I是△ABC的内心，连接AI并延长至点D,使ID=BD, 则∠DBC的度数是 12.若圆锥的底面圆半径为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为 13.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点 为圆心，边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为3dm,则这个“莱洛三角形”的周长 是 dm. 14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别是(0,4)，(4,0)，(8,0)，⊙M是△ABC的外 接圆，则点M的坐标为 yt 3 012345678元 B DO (第14题) (第15题》 (第16题) 15.如图，AB为⊙O的直径，PB,PC分别与⊙O相切于点B,C,过点C作AB的垂线，垂足为E, 交⊙O于点D.若∠BPC=60°，CD=2,则线段PB的长为 16.如图，半圆O的直径AB=9,C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到AC,交直径AB于点D.若 点D在半径OA上，且D为直径AB的三等分点，则AC的长是 三、解答题（共44分） 17.(10分)如图，AC,BC是⊙O的两条弦，且AC=BC,∠AOC+∠ABC=75°，D为弦AB所对优 弧上的一点，求∠ADB的度数 C (第17题) 80 第3章圆 18.(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E, 交⊙O于另一点F,FA=FE. (1)求证：CD⊥AB. (2)过点F作FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长. E D (第18题) 19.(12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长，交⊙O 于点E,连接CE并延长，交边AD于点F,已知AB=AC. (1)求证：AD是⊙O的切线. (2)若AB=6,AD=4,求⊙O的半径. (第19题)》 20.(12分)如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC, 交AC的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F,连接DA. (1)若AB=90cm,求圆心O到EF的距离. (2)若DA=DF=6√3，求涂色部分的面积. (第20题) “答案与解析”见P53 81.AB=WOA+OB2=√42+(43)2=8..在 R△A0B中，A0=号AB,则易知∠B=30.∠0AB= 90°-∠B=60°.如图，连接OC.:OA=OC,∴.△AOC为 等边三角形.∴∠AOC=60°，AC=OA=4.∴.CB=AB- AC=8-4=4.∴.OC=BC=AC.∴.∠COB=∠B=30°， C是AB的中点4Sac=Saam=25a4m=号×号× 1 4X45=4√3.：S布赤0c 60mX星=8红，S5tm= 360 3 Sm-(-Sowe)+(Srow 360 Sam)=(-45)+(4-誓)=誓 A C 0 严 D B (第8题) 9.(1)连接OA.BD是⊙O的直径，.∠BAD=90°， 即∠BAO+∠OAD=90°.：OA=OB,∴.∠BAO=∠B. ∴.∠ABC+∠OAD=90.∠CAD=∠ABC, ∴.∠CAD+∠OAD=90°，即∠OAC=90°.∴.OA⊥AC. :OA是⊙O的半径，∴.直线AC是⊙O的切线. (2)⊙O的直径为6，∴.OA=OD=3.设AC=x. CD+CA=6,∴.CD=6-x.∴.OC=OD+CD=9-x. 由(1)知，∠OAC=90°，∴.在Rt△OAC中，由勾股定理，得 OA2+AC2=OC2,即32+x2=(9-x)2,解得x=4.∴.AC 的长为4. 10.(1):AC是⊙O的直径，∴.∠ABC=∠ADC=90°. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD=45.∴.AD= CD.∴.AD=CD.BE是⊙O的直径，∴.∠BDE= ∠ADC=90°..∴.∠BDE一∠ADB=∠ADC-∠ADB,即 ∠FDA=∠BDC.四边形ABCD内接于⊙O, .∠FAD=180°-∠BAD=∠BCD..△DAF≌△DCB (ASA).∴.AF=CB.(2)连接AE.由(1)知，AF= BC=2,∠ADF=∠CDB,∴.AE=CB.∴.AE=CB=2. BE是⊙O的直径，.∠BAE=90.∴.∠EAF 180°-∠BAE=90°..在Rt△EAF中，EF= √AF2+AE=√22+2=2√2. 综合与实践3利用圆中弦长 求阴影部分面积 1.D如图，连接AB,DC相交于点O.,正方形的内切圆 的半径是2cm,.AC=BC=4cm,OA=OB,∠ACB= 90°..AB=√AC2+BC=√42+4=42(cm),OA= OB=号AB=2W2cm·图中阴影部分的面积是x× (2/2)2-πX22=4r(cm2). D B (第1题) 2.D如图，平移小半圆，使小半圆的圆心与点O重合，小 半圆与直线AB相切于点C,连接OC,OA.:直线AB切 小￥圆于点C,OC1AB.·AC=AB-号m在 Rt△A0C中，由勾股定理，得OA?-OC=AC= 4cm2, 利余部分的面积为号×x0-号×mX0C=x· 25_25 (0A2-0C)=2rX=8x(cm), 0 (第2题) 3.0.013如图（单位：mm),设圆心为点O,延长正方形的 边长，交⊙O于点A,B,过点O作OC⊥AB于点C,连接 1 OB.根据题意，得0C=2×10=5(mm),则CB=5+7= 12(mm).在Rt△OCB中，由勾股定理，得OB= √0C2+BC=√5+12=13(mm).13mm=0.013m (第3题) 4.(1),六边形ABCDEF是正六边形，∴.∠C=∠D= ∠AFE=∠BAF=120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF. CH=FG,∴.CD-CH=AF-FG,即HD=AG.在 (BC=EF, △BCH和△EFG中，∠C=∠EFG,∴.△BCH≌ CH-FG, △EFG(SAS).∴.BH=EG.在△ABG和△DEH中， (AB=DE, ∠GAB=∠D,.△ABG≌△DEH(SAS)..BG= AG-DH, EH..四边形BGEH为平行四边形.(2)如图，连接 OA.,六边形ABCDEF是正六边形，∴.∠AOB=∠AOF= 360-60,OA=0B=OF..△A0B,△A0F均为正三角 6 形..OA=OB=OF=AB=4.、S阴影都分=S豹无0那一 5m-5e-12X-9×X2-9-88, 360 4 D (第4题) 第3章拔尖自主测评 1.C:∠C=90°，AC=3,AB=5,∴.BC=√AB2-AC √53-3=4.r=3.5,.AC<r<BC.∴.点A在⊙C 内，点B在⊙C外. 2.A当P为弦AB的中点时，AP=BP=4.由垂径定理， 得OP⊥AB,此时OP最短.连接OA,在Rt△AOP中， ∠OPA=90°，OA=5,AP=4,由勾股定理，得OP √OA一AP7=√5-4=3，即线段OP长的最小值为 3.当点P与点A或点B重合时，线段OP最长，此时 OP=5,而点P不与点A,B重合，∴.3≤OP<5.线段 OP的长为正整数，∴.OP=3或OP=4.根据对称性可知， 满足条件的点P有3个. 3.B:∠ACB=40°，∴.∠AOB=2∠ACB=80°， .∠AOB=2∠BOC=80°，∴.∠BOC=40°.∴.∠BAC= 2∠B0C=20 4.C如图，连接OD,过点B作BF=AC,与扇形OAB交 于点F,取BF的中点E,连接OE.D为AC的中点， AC=A0=6∴.ODLAC,AD=2AC=2A0=3.∴.易 得∠AOD=30°，OD=√OA2-AD=√62-3=35. 同理，可得∠BOE=30°，∴.∠DOE=∠AOB-∠AOD ∠BOE=150°-30°-30°=90°.易得点D在以点O为圆 心，O为半径的圆上运动，，.点D所经过的路径长为 90mX35_3 180 2π. 0 (第4题) 5.C如图，连接OA,OB,OC,OF.A,B,C,D,E,F GH是⊙0的八等分点，∠A0B=日×360=45， ∠A0C=号×380=90，∠A0F=g×360=135 ·∠AFC=∠A0C=45,∠A0B+∠A0F=180 .F,O,B三点在同一条直线上.BF是⊙O的直径 ∴.∠FAB=90°.∴.∠FAB-∠AFC=90°-45°=45°. H B E (第5题) 6.D如图，在CD上截取CE=AB,连接CM,EM,BM, AM.:M是劣弧AC的中点，.AM=CM.∴.AM= CM.:BM=BM,∴.∠A=∠C.在△ABM和△CEM (AB=CE, 中，∠A=∠C,∴.△ABM≌△CEM(SAS.∴.BM= AM-CM, EM.MD⊥BC,∴.BD=DE.AB=2√2，BD=√2， .CD=CE+DE=AB+BD=32. (第6题) 7.B连接OP.由题意，得AB=4,O为AB的中点， ∠00-45,0P=0B.0B-AB=2,∠0PB- ∠OB0'=45..∠POB=90°.∴.OP=O'B=OB=2. 53B=90X2-22=x-2.·5e54 360 2 S45,-51180XTX2-（a-2)=2m-+2=十2 360 8.B⊙0的半径为4，.⊙O的周长为2π×4=8元 将⊙0向右滚动，使得点O向右移动了66π，.66π： 8π=8…2π，即⊙0滚动8周后，又向右滚动了2元.：四 边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,BC=AD.∴.BC=AD, AB=CD..BC=2AB,.BC=AD=2AB=2CD. :AB的长为日×8x=青x<2,AB与B的长之和为 合×8x=4心>2元此时与地面相切的孤为屁 9.r>4且r≠5连接OP.圆心P的坐标为（一3,4）， ∴.OP=√32十4=5..当r=5时，该圆经过原点，此时 ⊙P与坐标轴有3个交点.∴.当r>4且r≠5时，⊙P与 坐标轴有4个交点. 10号连接0A.设⊙0的半径为rmC是⊙0的弦 AB的中点，CD经过圆心0，：AC=BC=号AB=2m, 易得CD⊥AB.在Rt△AOC中，OA=rm,OC=(6- rmAC2+0C=0A2+(6-ryP=,解得9 :©0的半径为号m 11.35°连接BL.I是△ABC的内心，∠BAC=70°， ·.∠BAD=-∠DAC=7∠BAC=35,∠CBI=∠AB. ID=BD,.∠DIB=∠DBI.∠DBI=∠DBC+ ∠CBI,∠DIB=∠BAD+∠ABI=∠DAC+∠ABI, ∴.∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠ABI.∴.∠DBC= ∠DAC=35° 1212设母线长为1.根据题意，得1=2x×6,解得 l=12.∴.该圆锥的母线长为12. 13.3元如图，△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC= 3dm,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.易得AB的长= BC的长=AC的长=60X3=x(dm,“这个“莱治三角 180 形”的周长是3πdm. B (第13题) 14.(6,6)如图，过点M作MN⊥BC于点N,连接OM. ⊙M是△ABC的外接圆，∴.BN=CN.点A,B,C 的坐标分别是(0,4)，(4,0)，(8,0)，∴.OA=OB=4,OC= 8.C=.BN-7 BC-2OV-OB+BN-4+ 2=6.∠AOB=90°，∴.△AOB是等腰直角三角形 .∠OBA=45°.：易知OM⊥AB,.∠MON=45. ∴.△OMN是等腰直角三角形.∴.MN=ON=6.∴.点M 的坐标为(6,6). Y M 5 2 1上 012345678元 (第14题) 15.2如图，连接BC.·AB为⊙O的直径，PB,PC分 别与⊙O相切于点B,C,.PB⊥AB,PB=PC ∴.∠ABP=90°.：'∠BPC=60°，∴.△PBC是等边三角 形.∴∠PBC=60°.∴.∠ABC=∠ABP-∠PBC=90° 60°=30°.CD⊥AB,CD=2,∴.∠BEC=90°，CE= DE=2CD.易得PB=BC=2CE=CD=2. P B (第15题) 16.3√6如图，连接CD,BC,OC,过点C作CH⊥OB于 点H.∠CAB=∠CAD,∴.BC=CD.∴.BC=CD. :CH⊥OB,∴.DH=BH.:AB=9,点D在半径OA 上，且D为宜径AB的三等分点OA=号=0C=OB, AD=号AB=3,BD=号AB=6.0D=OM-AD- 号-3号.DH=B阴=号BD=30H=DH-0 3--AH=0A+0H=号+号=6在 R△coH中，CH=V0c-oF=√(g)-(受)- 32.∴.在Rt△ACH中，AC=AI+CHI= √62+(3√2)2=3V6. AK--- D OH (第16题) 17.连接CD.:AC=BC,.AC=BC..∠ADC= ∠BDC.∴.∠ABC=∠ADC=∠BDC.∠AOC+ ∠ABC=75°，∠AOC=2∠ADC,∴.3∠ADC=75°. ∴.∠ADC=25°.∴.∠ADB=∠ADC+∠BDC=2∠ADC=50 18.(1)FA=FE,∴.∠FAE=∠AEF.,∠FAE与 ∠BCE都是BF所对的圆周角，∴.∠FAE=∠BCE. :∠AEF=∠CEB,.∠CEB=∠BCE.·CE平分 ∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE.:AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°.∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE= ∠ACB=90°..∠CDE=90°.∴.CD⊥AB.(2)由 (I)知，∠BEC=∠BCE,∴.BE=BC.:AF=EF,FM⊥ AB,∴.MA=ME=OM+OE=2.∴.AE=4..OA= OB=AE-OE=3.∴.BC=BE=OB-OE=2.在△ABC 中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°，∴.AC= √JAB2-BC=√62-2-4V2 19.(1)如图，连接AO并延长，交BC于点H,连接OC AB=AC,OB=OC,∴.点A,O都在边BC的垂直平分 线上..AO垂直平分BC.∴.∠AHB=90°.：四边形 ABCD是平行四边形，.AD∥BC.∴.∠OAD= ∴.∠CAD=∠ADO.∴.OD∥AE.DE⊥AC,.ODL ∠AHB=90°.∴.OA⊥AD.OA是⊙O的半径，∴.AD EF.∴.OD的长是圆心O到EF的距离.：AB=90cm, 是⊙O的切线.(2)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=4.由(1)，得AO垂直平分边BC,交边BC于 OD=2AB=45cm,即圆心0到EF的距离为45cm (2)如图，过点O作OG⊥AD于点G.DA=DF, 点H,.BH=CH=号BC=2,∠AHB=902.又：AB ∴.∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD,∴.∠F= 6,∴.在Rt△AHB中，AH=√AB2-BH=√62-2= ∠CAD.∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴.∠F= 4√2.'OA=OB,∴.OH=AH-OA=4√2-OB.在 ∠BAD=∠CAD=30°.，∴.∠BOD=2∠BAD=60°，OF= Rt△BHO中，由勾股定理，得BH十OH=OB2,即22+ 2OD.在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2,.(2OD)2- 4反-0B)=0B,解得0B-8g.00的半径 OD=(6√5)2，解得OD=6(负值舍去).在Rt△OAG中， 0A=0D=6,∠0MG=30,:0G=号×6=3 为吧 1 .Sa0w=2X6BX3=9WB.S包=S0m十Sam 60mX6+95=6x+9B. 360 D (第19题) 20.(1)如图，连接OD.D为BC的中点，.CD=DB! .∠CAD=∠BAD.OA=OD,.∠BAD=∠ADO. (第20题) 第4章数据的集中趋势和离散程度 4.1平均数 ∴.估计财务科本月应准备3600×220=792000（元）发 工资. 第1课时算术平均数 4.Aa,b,c的平均数为M,a和b的平均数为N,N 1.A根据题意，得4+5十5+6十=6，解得a=10 5 和c的平均数为P,a+6+c=M,b-N,N= 3 2 2 212根据题意，得}(，十十十十x)=3, atbtc .x1+x2+x3+x1+x5=15.∴.5x1-3+5x2-3+ 卫MP+>。童，得a十62 3 5x3一3+5x4一3+5x5-3=5(x1+x2十x3+x1+x5) 5.(1)小丽数学成绩的离均差为82一84.75=一2.75（分）. 3X5=5×15-15=60,号(5，-3+5，-3+5， (2)①这组同学数学成绩的最高分为84.75+31.25 116(分)，最低分为84.75-32.75=52（分）.②10.25 3+5x,-3+5,-3)=号×60=12 8.75+31.25+15.25-3.75-12.75-10.75-32.75= 一12（分），∴.-12÷8+84.75=83.25（分）.∴.这组同学的 易错警示 数学平均成绩是83.25分.③能.该组最低分是52分，若 不会根据算术平均数的概念解决问题 达到72分，则增加20分.20÷8=2.5（分），83.25+ 解决这类问题时，往往不能灵活地根据算术平均数 的概念求变化后的数组的平均数，从而不能运用算术平 2.5=85.75(分)，85.75-84.75=1（分），.这组同学的数 均数的概念推理得到其中的内在关系，因而导致错误. 学平均成绩超过该班级的数学平均成绩1分， 第2课时加权平均数 3D估计全厂员工的月平均收入是品×3510+3540+ 1.C根据题意，得(1.3×3+1.2×4+1.1×2+0.9× 3580×2+3600+3620×3+3660+3670)=3600(元). 1)÷10=1.18(万). (2)估计平均每名员工的年薪是3600×12=43200（元）. (3)由(1)，得全厂员工的月平均收人大约是3600元. 287小李的最终成绩为85X6+90X4-=87(分). 6+4 55