第1章 一元二次方程 拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

设路面110米.(2)根据题意，得40(32+m+25)+ (110-3m)(m十32)=4800+1000，解得m1=18,m2=0 (不合题意，舍去).∴.m的值是18. 3.6010月的缴费总额为10元，∴.10月的用水量没 有超过x吨，即x≥50.根据9月用水情况，可以列出方程 10+(85-2)=25,解得x=60,,=25.:x≥50， .x=60..x的值是60. 4.(1)设本次比赛共有x名队员参加比赛.由表格，得赢 一场比赛得20：10=2（分），输一场比赛得7÷7=1（分）， 由题意，得2x(x-1)=210,解得x,=21x2=-20(不合 题意，舍去).∴.共有21名队员参加比赛.∴.每名队员一共 比赛0场.：有一名队员只输掉了一场比赛，∴.该名队 员的积分是(20一1)×2+1=39（分）.(2)6.设该名队 员在本次比赛中负y场.由题意，得(20一y)×2十y≥34， 解得y≤6，∴.该名队员在本次比赛中最多负6场. 5.(1)如图①，取AB的中点M,连接EM.:四边形 ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，∴.AB=BC= CD=AD=8,EM是△ABC的中位线.·.AM=号AB 4,EM=2BC=4,EM/∥BC.·∠AME=∠B=90.当 t=1时，AP=1,∴.PM=AM-AP=3.∴.PE= √PMP+EM=√32+4=5.(2)·四边形PEQF是 平行四边形，∴.PF=EQ,PF∥EQ.当点F恰好落在线段 AB上时，PF⊥BC,∴EQ⊥BC.∴易知此时Q为BC的 中点..Q是△ABC的中位线..BQ=2BC=4, EQ=2AB=4..PF=4:动点Q从点B出发，以每 秒2个单位长度的速度先沿C方向运动到点C,∴.t 4÷2=2.∴.易得AP=2.∴.BF=AB-AP-PF=2. (3)当□PEQF为菱形时，PE=EQ.分四种情况讨论： ①当0<t≤2时，如图②，过点E作EM⊥AB于点M, EN LBC于点N.易知EM=2BC=4,EN=2AB= PE2=PMP+EMP,EQ=QN2+EN2,∴.易得(4 t)2+42=(4-2t)2+42,解得t,=0(不合题意，舍去)，t2 号〔不合题意舍去@当2<≤4时同0，得(4-)十 4=(1-+,解得=0（不合题意，舍去）6=号 “t=氵.③当4<≤6时，如图③，过点E作EMLAB 于点M,EN⊥CD于点N.易知EM=4,EN=2AD=4. PE2=PM+EM,EQ=QN2+EN,∴.易得(t )十f=12-22)+,解得，=9=8（不合题意。 含去.1-9@当6<8时，同③，得-40+ (2-12)+,解得，（不合题意，合去）=8（不合 题意，舍去).综上所述，在整个运动过程中，当□PEQF为 婪形时，的值为号或号 D 0 ① ② ③ (第5题)》 综合与实践1优美的黄金分割 15根据题意设AC=,则C-1-2,:AC BC·AB,.x2=(1-x)·1.整理，得x2+x一1=0，解得 号w5含.Ac 2 21 2.(1)233.由斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34， 55…可知从2开始，后面的数等于前面两个数的和， .第11个数为34十55=89，第12个数为55+89=144，第 13个数为89十144=233.(2)根据题意，设AF=x,则 球-5，F=8-子.易得球=AE=AF EF-3,5,在R△AFB中，根据勾股定理，得AB- 2 AF+=+作：)广=185正方形 4 EFGH与正方形ABCD的面积之比为EF2:AB2= 6=2W518=65=1:3. 4 4 第1章拔尖自主测评 1.D:方程(m十2)x2-2+2x十1=0是关于x的一元 二次方程，∴.m十2≠0且m2-2=2,解得m=2. 2.C设方程4x2+(a2一3a-10)x+4a=0的两根为 x1,x2.:关于x的方程4x2+(a2-3a-10)x十4a=0的 两个根互为相反数，.x1十x2=0,即x1十x2= _a2-3a-10=0,解得a=-2或a=5.当a=-2时，原 4 方程为4x2一8=0，符合题意.当a=5时，原方程为4x2十 20=0,没有实数根，舍去..a=一2. 3.D由x2+2x+k2+4=0,得△=2-4×1·(k2十 4)=4一4(k2十4)=4-4k2一16=-4k2-12..k2≥0， .一4k20.∴.一4k2一12<0，即△0.∴.原方程没有实 数根. 4.A.关于x的一元二次方程(m一2)x2一4mx十 2m一6=0有两个相等的实数根，∴.m一2≠0且4= 16m2-4(m-2)(2m-6)=0..∴.m=-6或m=1. 5.A由题意，得m2+2m-2025=0,m=-2025, ∴.m2+2m=2025..∴.m2+mm+2m=(m2+2m)+mm 2025+(-2025)=0. 6.C设BC的长为xm(0<x≤5.5)，则AB的长为 2(10+1一x)m.根据题意，得2(10+1-x)x=15,解得 x=5或x=6(不合题意，舍去).∴.BC的长为5m. 7.B选项A:解方程，得x1=1x2=2.∴.x2=2x1..选 项A的说法正确.选项B:解方程，得，-2，x,-一” 该方程为“2倍根方程”，.x1=2x2或x2=2x1 2=-20或-”=4.m十n=0或4m十n=0.选 项B的说法不正确选项C:解方程，得x,=2,x=-” m十n=0,.x2=1..x,=2x2..选项C的说法正 确.选项D:解方程，得x1=一m,x2=n.,2m十n=0, ∴.n=一2m..x2=2x1.∴.选项D的说法正确. 8.A依题意，得(a一18)(320-10a)=400.整理，得a2 50a十616=0，解得a1=22,a2=28.又：物价部门规定每 件商品的加价不能超过进货价的25%，∴.每件商品的售价 不能超过18×(1+25%)=22.5（元）.∴.a=22. 9.一3：x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2 2)x十2k十4=0的一个根，∴.4k+2k2一4+2k+4=0. .k2+3k=0..,=0,k2=-3.k≠0，.k=-3. 10.-17a,b是方程x2十x一4=0的两个实数根， ∴.a2+a-4=0,b2+b-4=0,a+b=-1,ab=-4. .(a2+3a-3)(b2+3b-3)=(a2+a-4+2a+1)(b2+ b-4+2b+1)=(2a+1)(2b+1)=4ab+2(a+b)+1= 4×(-4)+2×(一1)+1=-16-2+1=-17. 11.1或4x☒k=0,.(x一k)2一k=0.x=2是这 个方程的一个根，∴.(2一k)2一k=0.整理，得k2一5k十 4=0,解得k1=1,k2=4. 12.2038:x1,x2是方程x2-6x一2026=0的两个实 数根，.x1十x2=6,x一6x1-2026=0..x=6x1+ 2026.∴.x-4x1+2x2=6x1+2026-41+2x2= 2026+2(x1+x2)=2026+2×6=2038. 13.-1'关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+ a2一a-2=0有两个不相等的实数根，∴.△=[一2(a一 1)]2-4X1X(a2-a-2)>0..a<3.:x1x2是关于x 的一元二次方程x2-2(a-1)x十a2-a-2=0的两个实 数根，.x1十x2=2(a-1),x1x2=a2-a一2.∴.x十 x-1x2=(x1+x2)2-3x1x2=16,即[2(a-1)]- 3(a2-a-2)=16.整理，得a2-5a-6=0,解得a1=-1, a2=6(不合题意，舍去).∴a=-1. 143Kk<4由题意，得x-1=0,x2-2x+冬=0 ·4=(-2P-4×0,解得6≤4设x2-2x+年-0 的两根分别是mm≥)，则m十以=2m一奈m一 n=√/(m十n)2一4m=√4一.根据三角形的三边关系， 得m-n<1<m十，即√4-b<1<2.∴.3<k≤4. 15.2设小路的宽为xm.根据题意，得(16-2x)(12 1 2x)=2×12X16,解得x=2或x=12(不合题意，舍去). .小路的宽为2m 16.24.a,b是关于x的一元二次方程x2-10x十 m+1=0的两个根，.a十6=-一10=10，ab=m+ 1 1 m十1.由题意，分以下三种情况：①当a=3时，3+b=10, ∴.b=7.此时三边长分别为3,7,3.3十3<7，不满足三 角形的三边关系，∴.无法构成三角形，舍去.②当b=3 时，同理，三边无法构成三角形，舍去.③当a=b时，a十 b=2a=2b=10,.a=b=5.此时三边长分别为5,5,3. 3+5>5>5-3,∴.满足三角形的三边关系.∴.m十1= ab=25.∴.m=24. 17.(1)x1=5,x2=-1.(2)x1=1,x2=2, 18.(1)△=[-(2m-1)]2-4(-3m2+m)=4m2- 4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1=(4m-1)2≥0， ∴.无论m为何值，方程总有实数根.(2)根据题意，得 x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m.:+4= 好+z-十P-212=十x2 -2=-5 Z1X2 2 ②-2=-5整理，得5m2-7m十2=0解得 -3m2+m m,=1m:=号经检验，m,=1,m:=号是该分式方程的 2 解.∴.m的值为1或 19.根据题意，设AB=xm,则BC=(18十2一x)m. 2十14=36.经检验，符合题意.∴.这两个两位数分别为 .x(18十2-x)=96,整理，得x2-20x+96=0,解得 42和36. x1=8,x2=12.当x=8时，BC=18十2-x=18十2一8= 21.(1)设y关于x的函数表达式为y=kx十b.根据题 12(m);当x=12时，BC=18+2-x=18+2-12=8(m). 68k+b=40, /k=-5, 意，得《 解得 .y关于x的函数表达 ∴.当车棚的长为12m,宽为8m时，能围成一个面积为 67k+b=45, b=380. 96m的车棚. 式为y=-5.x+380.(2)由题意，得(x-40)(-5x+ 20.(1)21与48是“幸福数对”.理由：21×48=1008， 380)=1600,解得x1=56,x2=60.,要使顾客获得实惠， 12×84=1008..21×48=12×84..21与48是“幸福数 ∴.x=56..售价应定为56元/箱.(3)在(2)的条件下， 对”.(2)由题意，得这两个两位数分别为10(x十2)十 当x=56时，y=-5×56+380=100,17号到31号共计 x=11x+20,10(x+1)+x+4=11x+14.将它们各自的 15天.由题意，得1600×(31-15)=[56×(1-m%) 十位上的数字和个位上的数宇交换位置后，得到的新两位 40×(1一10%)]×100×(1+2m%)×15+7120.整理，得 数为10.x+x+2=11x+2,10(x+4)+x+1=11x+41. 7m2+100m-4800=0,解得m,=20,m2=-7(舍去). 这两个数为“幸福数对”，.(11x十20)(11x十14) (11x+2)(11x+41),解得x=2.∴.11×2+20=42,11× .m的值为20. 第2章 反比例函数 2.1反比例函数的概念 是x的反比例函数.(2)由题意，得y+10x=100,∴.两 个变量之间的函数表达式为y=100一10x,故y不是x的 1.BA.全班人数一定，出勤人数和缺勤人数的和为定 反比例函数.(3)实数x与y互为倒数，∴.两个变量 值，∴.A选项不符合题意.B运送一批货物，每天运的吨 1 数和需要的天数的积为定值，∴，B选项符合题意.C.单价 之间的函数表达式为y一下，故y是x的反比例函数，且 一定，买的数量和总价成正比，∴.C选项不符合题意D.出 k=1 油率一定，花生油的质量与花生的质量成正比，∴·D选项 16 3当x与y成正比例时，4：6=m:8,解得m= 不符合题意 6.3 2.B函数y=(m一1)x-2是反比例函数，∴.m 15.当x与y成反比例时，8m=4×6,解得m=3. 3 2=-1且m-1≠0.由m|-2=-1,得m=±1.由m- 7.(1)当函数y=(5m一3)x2-”十(n十m)为一次函数时， 1≠0，得m≠1.，.m=一1. 易错警示 2-n=1, n=1, 解得 3 (2)当函数y=(5m-3)· 忽视概念隐含条件导致错误 5m一3≠0， m≠ 解决反比例函教y=的概念问题时，常常会因忽 2-n=1, n=1, 视系数k≠0的隐含条件而出现错误 x2”十(n十m)为正比例函数时，了n十m=0,解得 m=一1. 5m-3≠0， 3②0①y-菁异二次函数：@y2是y关于： (3)当函数y=(5m一3)x2"十(n十m)为反比例函数时， 2-n=-1, 的反比例函数：③y=二5是y关于工的反比例函数： n=3, 5.x 了n十m=0, 解得 m=-3. 5m一3≠0， @y一1-不是y关于：的反比例函数：⊙y名不 2.2反比例函数的图象与性质 是y关于x的反比例函数. 4一2设反比例函数为y一冬.：当x=一3时，y=4, 第1课时反比例函数的图象 1.CA.由一次函数的图象可知，k>0,b>0.由反比例函 :4=合3，解得k=-12.·反比例函数为y= x 数的图象可知，k>0.两者一致，但不满足kb<0,故此项错 六当x=6时y=12 误，不符合题意.B由一次函数的图象可知，k<0,b<0.由 -2 6 反比例函数的图象可知，k>0.两者不一致，且不满足b< 5.(1)根据平行四边形的面积公式，可得y=3,.y不 0,故此项错误，不符合题意.C.由一次函数的图象可知， 12拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 第1章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1若方程(m十2)xm-2+2x十1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 A.-2 B.0 C.-2或2 D.2 2.若关于x的方程4x2+(a2一3a一10)x+4a=0的两个根互为相反数，则a的值是 A.5或-2 B.5 C.-2 D.-5或2 3.关于x的方程x2+2x十k2+4=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.关于x的一元二次方程(m一2)x2一4mx十2m一6=0有两个相等的实数根，则m的值为() A.1或-6 B.-6 C.1 D.2 5.已知m,n是一元二次方程x2+2x一2025=0的两个根，则m2十mn+2m的值为 A.0 B.-10 C.3 D.10 6.如图，小程的爸爸用一段l0m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m)的矩 D 形鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一扇1m宽的门（由其他材料制 B C 成)，则BC的长为 () (第6题) A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3m 7.如果关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍， 那么称这样的方程为“2倍根方程”.下列说法中，不正确的是 () A.方程x2一3x十2=0是“2倍根方程” B.若关于x的方程(x一2)(m.x十n)=0(m≠0)是“2倍根方程”，则m十n=0 C.若m十n=0且m≠0，则关于x的方程(x一2)(.x十n)=0是“2倍根方程” D.若2m十n=0且m≠0，则关于x的方程x2十(m一n)x一mm=0是“2倍根方程” 8.某商店以每件18元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价.据市场调查，该商品的售价与销 售量的关系如下：如果每件的售价为a元，那么可卖出(320一10a)件，但物价部门规定每件商品 的加价不能超过进货价的25%.若商店计划获利400元，则每件商品的售价应定为 () A.22元 B.24元 C.26元 D.28元 二、填空题（每小题3分，共24分） 9.:已知x=2是关于x的一元二次方程k.x2+(k2一2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为 10.若a,b是方程x2+x一4=0的两个实数根，则(a2+3a一3)(b2+3b一3)的值为 11.定义新运算“a☒b”:对于任意实数a,b,都有a☒b=(a一b)2一b,其中等式右边是通常的加法、 减法和乘法运算，如3☒2=(3一2)2一2=一1.若x8k=0(k为实数)是关于x的方程，且x=2 是这个方程的一个根，则k的值是 22 第1章一元二次方程 12.若x1,x2是方程x2一6.x一2026=0的两个实数根，则代数式x一4x1十2x2的值等于 13.已知关于x的一元二次方程x2一2(a一1)x十a2一a一2=0有两个不相等的实数根x1,x2,且 x1,x2满足x十x2一x1x2=16,则a的值为 14.如果关于x的方程(x-1)(x2一2x十)=0的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么实 数k的取值范围是 -16m 15.如图，某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛 12m 花坛 四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为 m. (第15题) 16.已知等腰三角形的三边长分别为a,b,3,且a,b是关于x的一元二次方程x2一10x+m十1=0 的两个根，则m的值是 三、解答题（共52分） 17.(8分)解方程： (1)x2-4x-5=0. (2)x(x-2)=x-2. 18.(9分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m一1)x-3m2十m=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根. 们芳是方程的两个实数根，目+。昌求a的值 19.(10分)如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚 ABCD,为了方便出人，在CD(CD>2m)边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材 料).当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96的车棚？ B (第19题) 23 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 20.(12分)已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数， 且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同.若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两 位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：13×62=31×26=806，所以13 和62是“幸福数对”. (1)请判断21与48是否为“幸福数对”，并说明理由. (2)有一个两位数，十位上的数字为(x+2),个位上的数字为x.另一个两位数，十位上的数字 为(x十1)，个位上的数字为(x+4).若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数， 21.(13分)某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x(元/箱)与销量 y(箱)之间的关系如下表： 每天的售价x/(元/箱) 68 67 66 65 … 40 每天的销量y/箱 40 45 50 55 180 已知y与x之间的函数关系是一次函数. (1)求y关于x的函数表达式 (2)水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，且要使顾客获得实惠， 则售价应定为多少？ (3)七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定降价销售，所以从7月17日开始水蜜桃的售价在 (2)的条件下下降了m%,同时水蜜桃的进价下降了10%，销量也因此比原来每天盈利1600元 时上涨了2m%(m<100),七月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比降价前少 7120元，求m的值. 24 >“答案与解析”见PI0