专题特训10 不规则图形面积的求法&专题特训11 圆的综合应用-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第3章圆 专题特训十 不规则图形面积的求法 类型一整体和差法 1.如图，矩形ABCD内接于⊙O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5, 则涂色部分的面积是 () Ax-20 B 2π20 C.20π D.20 .0 FE B (第1题) (第2题) 2.如图，在□ABCD中，DF⊥AB,AD=4,AB=6,DF=23,∠A=60°，以点A为圆心、AD长为 半径画弧，交AB于点E,连接CE,则涂色部分的面积为 类型二等积转换法 3.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OB=√3，C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，A'B 恰好经过点O,则涂色部分的面积为 () A 3 A.2π-3 B. 4π-2 c-5 33 D.2r-2 0 (第3题) 类型三构造和差法 4.如图，直线AB经过⊙O上的点E,直线AO交⊙O于点D,OB交⊙O于点G,连接DE交OB 于点F,连接EG.已知G是DE的中点，∠BEF=∠DOG (1)求证：AB是⊙O的切线. (2)若BE=6,EG=GB,求图中涂色部分的面积. 0 E (第4题) 5.如图，在正方形ABCD中有一点P,连接AP,BP,CP,旋转△APB到△CEB的位置， (1)若正方形ABCD的边长是8，PB=4,求涂色部分的面积. A (2)若PB=4,PA=7,∠APB=135°，求PC的长 (第5题) ♪“答案与解析”见P50 75 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 专题特训十一 圆的综合应用 类型一圆性质综合之求角度问题 1.如图，正五边形ABCDE的两条边AE,CD与⊙O相切，切点为A,C,点F在圆上且在正五边形 ABCDE的外部，则∠AFC的度数为 () A.52° B.72 C.88 D.90° G D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙O上，AB=AD,AC与BD相交于点G,∠BOC=54°，则 ∠AGB的度数为 () A.108 B.110° C.99° D.117° 3.如图，在△ABC中，AB=6,以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别 交于点E,G,F是优弧GE上一点，∠CDE=18°，则∠GFE的度数是 类型二圆性质综合之求线段长度问题 4.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,交BC于点F.若 AC=2,⊙O的半径为2，则DF的长为 0 G (第4题) (第5题) 5.如图，在⊙O中，直径CD=4,AB⊥CD于点G,且OG=1,E为BC上一点，连接AE,过点C作 CF⊥AE于点F.若FC=√6，则AE的长为 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于 点E,点F在BC上，且BF=DF. (1)求证：DF是半圆O的切线. (2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径. B D 0 E C (第6题) 76 第3章圆 类型三孤长与阴影部分的面积问题 7.新境生活实际如图，边长为2√3c的正六边形螺帽，中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为 B,AB=17cm,用扳手拧动螺帽旋转90°，则，点A在该过程中所经过的路径长为 () A.(17+√3)πcm B.(17+2√3)πcmC.10πcm D.20πcm 0 C VW严 (第7题) (第8题) 8.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4,OB=43,以点O为圆心，OA长为半径画弧，分别 交AB,OB于点C,D,则图中阴影部分的面积为 类型四圆与三角形综合 9.如图，在△ABC中，D是BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A,且∠CAD=∠ABC (1)求证：直线AC是⊙O的切线. (2)若⊙O的直径为6，CD+CA=6,求AC的长. (第9题) 类型五圆与四边形综合 10.如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC,连接BO并延长， 交⊙O于点E,连接DE并延长，交BA的延长线于点F (1)求证：AF=CB. (2)若BC=2,求EF的长 E D (第10题) ●“答案与解析”见P51 77∠AOB=n°，AO=Rcm,则CO=(R一8)cm.由题意，得 =6,2匹》-怀，片 n元R nR=1080, 解得 180 nR-8n=720, 1=:.扇形0AB的园心角的度数是45.”R=24 R=24. 1 六R-8=16.小Sm0m=2X4标X16=32π(cm2), 1 Sm04s=2×6rX24=72π(cm).纸杯的侧面积- S扇04B一S前cm=72x一32x=40π(cm2),纸杯的底面 积=π·22=4π(cm).∴.纸杯的表面积=40π十4r= 44π(cm). 11.(1)如图，连接OA,过点O作OD⊥AC于点D,则 AD=DC.:'∠BAC=60°，∴.由对称性，易得∠OAD= ∠BAC=30.·在R△0DA中，0D=20A=号× y 20=10(cm),AD=√OA2-OD=√/20-10=103(cm. ∴.AC=2AD=203cm,即剪下的扇形ABC的半径为 203cm.(2)设卡纸围成的圆锥的底面圆半径为rcm. 根据题意，得扇形ABC的弧长为60mX20,3_20 180 3π(cm), :2=20,3,解得，=10,3.：卡纸围成的圆锥的底 3 3 画西半径为m D (第11题) 专题特训十不规则图形面积的求法 1.D连接AC.矩形ABCD内接于⊙O,AB=4,BC= 5,∴.AC2=AB2十BC.∴.涂色部分的面积=SE乖AD十 x()'+x×()-×(9) =SE形ACn十πX (AB+BC-AC)-S-4X5-20. 2103-号元由题意，得AE=AD=4,则BE=AB AE=6-4=2.四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ CD.:DF⊥AB,∠A=60°，DF=23,∴.S色分= SAn-SAE-SAce=AB·DF-60r·AD 360 台E·Df=6x25-0号×9x25=105- 360 5 3.C如图，作点O关于BC的对称点O',连接CO',BO, OO,BC与OO交于点D,易得A',C,O'三点共线. ·0D=0D=200'=20B.∴易得∠08C=30. 易得OC=5OB=1..易得涂色部分的面积= 3 S扇无AOB一S△e一S△c0B=S帝无AOB一2 SACOR= 90xX(√3)2 360 -2××5×1=x-5. 3 0 (第3题) 4.(1)连接OE.:G是DE的中点，∴.DG=EG,OG垂 直平分DE..∠DOG=∠EOG,∠BFE=90°.：'∠BEF= ∠DOG,∴.∠BEF=∠EOG.∴.∠OEB=∠OEF+ ∠BEF=∠OEF+∠EOG=∠BFE=90°.∴.OE⊥AB. OE是⊙O的半径，∴.AB是⊙O的切线. (2)EG=BG,∴.∠GEB=∠B.由(1)知，∠OEB= 90°，∴.∠OEG+∠GEB=90°，∠EOG+∠B=90°. ∴∠OEG=∠EOG.∴.EG=OG..EG=OG=OE. ∴.△EOG是等边三角形.∴.∠DOG=∠EOG=60°. .∠B=90°-∠EOG=30°.∴.在Rt△OEB中，OB= 2OE,则BE=√OB2-OE=√(2OE)2-OE= 3OE=6.∴.OE=OD=OG=25.OG⊥DE,OE= GE,∴OF=GF=2OG=3.∴.DF-VOD-OF= √(23)2-(W3)2=3.∴.S色=S前0G-S△0r= ×-合X3×-2a-291涂色部分的面 360 现为2红9 5.(1).把△APB旋转到△CEB的位置，.∴.△APB2 △CEB,∠PBE=∠ABC=90°.∴.S△PB=S△CEB .S亲色都分=S前无C十S△B一S△AP一S前PE= S蒂c一S前专m-90XxX82-90XxX4 360 360 =12π. (2)连接PE.△APB≌△CEB,.BP=BE=4, ∠ABP=∠CBE,PA=EC=7,∠APB=∠CEB=135. :∠PBE=90°，∴△PBE为等腰直角三角形.∴.易得 ∠BEP=45°，PE=42.∴.∠PEC=∠CEB-∠BEP= 135°-45=90°.∴.在Rt△PEC中，PC=√PE2+ECz= √/(4√2)2+72=9. 专题特训十一圆的综合应用 1.B连接OA,OC.五边形ABCDE是正五边形， ÷∠D=∠E=号×(5-2)X180°=108：AE,CD与 ⊙O相切，切点为A,C,.OA⊥AE,OC⊥CD ∴.∠OAE=∠OCD=90°.∴.∠A0C=(5-2)×180°- 2X90-2X108=14.∠AFC=3∠A0C=72 2.ABD是⊙O的直径，∠DAB=90°.：AB= AD,∴.AB=AD..∠ABD=∠ADB=45.∠BOC= 5,∠BAC=3∠B0C=2T.·∠AGB=180 ∠BAC-∠ABD=180°-27°-45°=108. 3.48°连接AD.BC与⊙A相切于点D,∴.AD⊥ BC.∴.∠ADB=∠ADC=90°.，AB=6,AG=AD=3, :AD=号AB.在R△ADB中，易得∠B=30 ∴.∠GAD=60°.∠CDE=18°，∴.∠ADE=∠ADC- ∠CDE=90°-18°=72°.：AD=AE,.∠ADE= ∠AED=72°.∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 180°-72°-72°=36°.∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD= 60+36=96.∠GFE=2∠GAE=2×96=48 423 3 如图，连接OC,OD,BD.:AB是⊙O的直径，C 是⊙O上一点，⊙0的半径为2，∴.OA=OC=OB=OD= 2.:AC=2,.OA=OC=AC=2..△OAC是等边三角 形.·∠A0C=60..∠B0C=120,∠ABC=2∠A0C= 30:D是C的中点∠C0D=∠0D=2∠0C= 60°.OB=OD=2,∴.△OBD是等边三角形. .∠ODB=60.DELAB,.OE=BE=20B=1.在 Rt△ODE中，由勾股定理，得DE=√OD2-OE= √22-1=√3.在Rt△BEF中，∠FBE=30°，.BF= 2EF.由勾股定理，得BE=√BF2-EF= (2EF)-EFF.FDF- E-F-5-g-29 C (第4题) 5.√6+√2如图，连接AC,CE,OA,AD.:CD=4, ·0D=2CD=2.:0G=1,.DG=0D-0G=2-1= 1..DG=OG.又AB⊥CD,∴.AO=AD.OD= OA,.OD=OA=AD=2.∴.△AOD是等边三角形 .∠D=60°.：CD是⊙O的直径，∴.∠CAD=90° ∴.在Rt△CAD中，AC=√CD-AD=√/4？-2= 2√3.CF⊥AE,FC=√6，.AF=√AC-FC= √(23)2-(W6)2=6.∠E=∠D=60°，∠CFE= 90°，.∠FCE=30°..易得EF=√2.∴.AE=AF+ EF=√6十√2. B D (第5题) 6.(I)连接OD..BF=DF,∴.∠B=∠BDF.:'∠C= 90°，.∠OAD+∠B=90°.：OA=OD,∴.∠OAD= ∠ODA.∴.∠ODA+∠BDF=90°.∴.∠ODF=180° (∠ODA十∠BDF)=90°..OD⊥DF.OD是半圆O 的半径，.DF是半圆O的切线.(2)连接OF,OD.设 半圆O的半径为r,则OD=OE=r.AC=4,BC=3, CF=1,∴.OC=4-r,DF=BF=BC-CF=3-1=2.由 (1)知，∠ODF=90°，又：∠C=90°，∴.由勾股定理，得 OD2+DF2=OF2=OC2+CF2,即r2+22=(4-r)2+12, 解得，-号：半圆0的半径为号 7C如图，连接OC,OD.根据题意，得∠D0C=360° 6 60°，OC=OD,∴.△ODC是等边三角形.∴.OD=OC= CD=2/3 cm.OB_LCD,BC=BD=CD=/3 cm, ∠OBD=90°.∴.在Rt△OBD中，OB=√OD-BD= √(23)2-(W3)2=3(cm).AB=17cm,.OA=OB+ AB=3+17=20(cm)..点A在该过程中所经过的路径 长为90XxX20-10x(cm. 180 A (第7题)》 π 8.3 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4,OB=43, .AB=WOA+OB2=√42+(43)2=8..在 R△A0B中，A0=号AB,则易知∠B=30.∠0AB= 90°-∠B=60°.如图，连接OC.:OA=OC,∴.△AOC为 等边三角形.∴∠AOC=60°，AC=OA=4.∴.CB=AB- AC=8-4=4.∴.OC=BC=AC.∴.∠COB=∠B=30°， C是AB的中点4Sac=Saam=25a4m=号×号× 1 4X45=4√3.：S布赤0c 60mX星=8红，S5tm= 360 3 Sm-(-Sowe)+(Srow 360 Sam)=(-45)+(4-誓)=誓 A C 0 严 D B (第8题) 9.(1)连接OA.BD是⊙O的直径，.∠BAD=90°， 即∠BAO+∠OAD=90°.：OA=OB,∴.∠BAO=∠B. ∴.∠ABC+∠OAD=90.∠CAD=∠ABC, ∴.∠CAD+∠OAD=90°，即∠OAC=90°.∴.OA⊥AC. :OA是⊙O的半径，∴.直线AC是⊙O的切线. (2)⊙O的直径为6，∴.OA=OD=3.设AC=x. CD+CA=6,∴.CD=6-x.∴.OC=OD+CD=9-x. 由(1)知，∠OAC=90°，∴.在Rt△OAC中，由勾股定理，得 OA2+AC2=OC2,即32+x2=(9-x)2,解得x=4.∴.AC 的长为4. 10.(1):AC是⊙O的直径，∴.∠ABC=∠ADC=90°. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD=45.∴.AD= CD.∴.AD=CD.BE是⊙O的直径，∴.∠BDE= ∠ADC=90°..∴.∠BDE一∠ADB=∠ADC-∠ADB,即 ∠FDA=∠BDC.四边形ABCD内接于⊙O, .∠FAD=180°-∠BAD=∠BCD..△DAF≌△DCB (ASA).∴.AF=CB.(2)连接AE.由(1)知，AF= BC=2,∠ADF=∠CDB,∴.AE=CB.∴.AE=CB=2. BE是⊙O的直径，.∠BAE=90.∴.∠EAF 180°-∠BAE=90°..在Rt△EAF中，EF= √AF2+AE=√22+2=2√2. 综合与实践3利用圆中弦长 求阴影部分面积 1.D如图，连接AB,DC相交于点O.,正方形的内切圆 的半径是2cm,.AC=BC=4cm,OA=OB,∠ACB= 90°..AB=√AC2+BC=√42+4=42(cm),OA= OB=号AB=2W2cm·图中阴影部分的面积是x× (2/2)2-πX22=4r(cm2). D B (第1题) 2.D如图，平移小半圆，使小半圆的圆心与点O重合，小 半圆与直线AB相切于点C,连接OC,OA.:直线AB切 小￥圆于点C,OC1AB.·AC=AB-号m在 Rt△A0C中，由勾股定理，得OA?-OC=AC= 4cm2, 利余部分的面积为号×x0-号×mX0C=x· 25_25 (0A2-0C)=2rX=8x(cm), 0 (第2题) 3.0.013如图（单位：mm),设圆心为点O,延长正方形的 边长，交⊙O于点A,B,过点O作OC⊥AB于点C,连接 1 OB.根据题意，得0C=2×10=5(mm),则CB=5+7= 12(mm).在Rt△OCB中，由勾股定理，得OB= √0C2+BC=√5+12=13(mm).13mm=0.013m (第3题) 4.(1),六边形ABCDEF是正六边形，∴.∠C=∠D= ∠AFE=∠BAF=120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF. CH=FG,∴.CD-CH=AF-FG,即HD=AG.在 (BC=EF, △BCH和△EFG中，∠C=∠EFG,∴.△BCH≌ CH-FG, △EFG(SAS).∴.BH=EG.在△ABG和△DEH中， (AB=DE, ∠GAB=∠D,.△ABG≌△DEH(SAS)..BG= AG-DH, EH..四边形BGEH为平行四边形.(2)如图，连接 OA.,六边形ABCDEF是正六边形，∴.∠AOB=∠AOF= 360-60,OA=0B=OF..△A0B,△A0F均为正三角 6