《隐圆》压轴题练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

2026-2027年苏科版九年级数学《隐圆》压轴题练习 一、单选题 1．如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 3．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为G，连接，则长的最小值为（　　）    A． B． C． D．2 6．如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为______________________ ． 8．在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为4的上运动，则的最小值为__________． 9．已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 10．如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______． 11．如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 12．如图，正六边形的边长为2，动点M、N分别从点A、D同时出发，以相同的速度沿，向终点F，C运动，过点F作，垂足为H点，连接、，当最大时，线段的长为__________． 13．如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为4，则的取值范围是_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作，使其经过原点O，与x轴交于点B，并与y轴交于点A．点E是圆弧上一点，连接，点F为的中点．当点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B时，点F的运动路径长是______． 15．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值___________ 16．如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是________． 17．如图，矩形的边，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，则的最小值为_____． 18．在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是___． 三、解答题 19．如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，垂足分别为、． (1)在中是否存在长度保持不变的边？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； (2)在中是否存在角度保持不变的角？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； (3)当动点在圆弧上由点向点滑动时，的外接圆大小是否变化？若不变，求出其面积的值；若变化，求出它变化过程中面积的最大值． 20．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 21．[学习心得] （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决． 例如：如图1，在中，，是外一点，且，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，则________． [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，则________； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）①如图4①，已知矩形，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围_________． ②如图4②，在，，，且，求． 22．阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 23．（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    24．已知△ABC是边长为6的等边三角形．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°θ180°）得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O． （1）如图1，当0°θ60°时，∠BOC的度数是否变化？若不变，求出∠BOC的度数；若变化，直接写出∠BOC的度数的变化范围； （2）在旋转过程中，当△BDE是直角三角形时，求BD的长； （3）在θ从60°到120°的旋转过程中，直接写出点O运动的路径长． 25．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______． 26．【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．    (1)当时，________；当时，________； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《初三隐圆练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C B B D 1．A 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD=OA=3，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM==CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°， ∴BD=， ∴CD=， ∴OM=CD=，即OM的最大值为； 故选A 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 2．B 【分析】以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点，连接CM，  由点M为线段QP的中点，得，从而得点M在⊙O上，由勾股定理得，进而求得MN的最小值． 【详解】解：以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点，连接CM， 点M为线段QP的中点， ， 点M在⊙O上运动， N（4，3）， ， 即， ， MN的最小值为3， 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，构造辅助线，找出点M的运动轨迹是解题的关键． 3．C 【详解】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论． 详解：连接OP． ∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短． 连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C．      点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP． 4．B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 5．B 【分析】设交与点O，证明．连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，设交与点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取中点M，连接，，则，为定长， ∵， ∴， ∴， 如图，过点M作于点N，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A，M，G三点共线时，， 故选：B．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角是性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的第三边大于另外两边之差． 6．D 【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， 在中，，则， 的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则 当与重合时，；当与重合时，与重合； 走过的路程为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 7． 【分析】先确定点C的运动轨迹，再作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于 C，当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大，利用勾股定理求出最大值即可． 本题考查了坐标与图形性质，作出正确的辅助线，确定点C的运动轨迹是解答本题的关键． 【详解】解：∵，，即， ∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动， 如图，作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于点C， ∵O为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， 当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大， 在中，，，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 故答案为：． 8．144 【分析】本题考查了给定三角形性质的应用，点和圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，理解给定三角形的性质是解题的关键．取的中点，连接，根据给定三角形的性质，结合点与圆的位置关系回答即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， 在矩形中，， ， 连接，当点在上时，取得最小值，此时有最小值， ， ， 在中，， ， 当时，的最小值， 故答案为：． 9． 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键． 10．/ 【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，A，D，M三点共线时，最小，求出此时的长即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 点在以为弦，的圆弧上运动， 如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， A，D，M三点共线时，最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，点圆最值问题，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 11． 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 12． 【分析】连接、交于点，由题意可得点为正六边形的对称中心，且中心角为，，从而得出和均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，由题意可得，由对称性可得，直线必过对称中心，证明点在以为直径的上，结合是定线段，得出当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵六边形为正六边形， ∴点为正六边形的对称中心，且中心角为，， ∴和均为等边三角形， ∴， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵是定线段， ∴当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且， ∴， ∴， 故当最大时，线段的长为． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13． 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 根据题意得出点的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离、最小距离进行计算即可． 【详解】解：当点在上移动时，为的中点，连接，根据垂径定理得出， ∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴的中点的轨迹是以为直径的， ①如图，当交于点，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ， ∴， ②如图，当交于点，此时的值最小， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 14． 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，得出点在以点为圆心，半径为的圆上运动，再结合点E的运动路径，推出点的运动路径，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为的圆上运动， ∵点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点B，且绕转过的角度为， ∴点沿着圆弧从点顺时针运动到点，且绕转过的角度为， ∴点F的运动路径长是周长的一半， ∴点F的运动路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，勾股定理，三角形中位线定理，弧长公式，坐标与图形，正确找出点的运动轨迹是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系，根据题意找出，当点在一直线上时，的值最小是解题的关键． 连接，利用直径定理得出直角，确定，得出当点在同一条直线上时，的值最小，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， 当点在同一条直线上时，的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 16．8 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆外一点到圆上一点的距离的最值，由知，点P在以为直径的的圆弧上，连接交于P，此时线段最短，进而求解即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解： ∵， ∴， ∵点Q是劣弧上的一个动点， ∴点P在以为直径的的圆弧上， 如图所示，连接交于P，此时线段最短． ∵弦，半径， ∴直径，， 连接，则：， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：8． 17．/ 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，    则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 18． 【分析】圆与三边的切点分别为，，，连接，，，先根据圆是的内切圆，，，，求出正方形的边长为，根据勾股定理可得，连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，圆与三边的切点分别为，，，连接，，， 圆是的内切圆，，，， ，，，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为， 则，， 根据题意，得 ， 解得， ， ， ， 点在以为直径的圆上，如图， 连接，过点作于点， 当点运动到线段上时，取得最小值， ， ，圆的半径， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 19．(1)存在，，理由见解析 (2)存在，，理由见解析 (3)的外接圆大小不变其面积为 【分析】本题考查垂径定理、直角三角形的性质、中位线定理及圆周角定理等知识点，根据题意准确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得出为的中位线，结合中位线的性质可求出的边长； （2）根据垂径定理得出、为、的角平分线，得出角度关系，即可得的度数； （3）由（1）、（2）中的角度和边长不变的关系，得出的外接圆半径始终为，根据面积公式计算出该外接圆面积为． 【详解】（1）解：如图，连接，: ，， ， ； ，， ，， 是的中位线， ． （2）解：，，且， ，， ， 即． （3）解：设点为的外接圆圆心，连接，，如图： 则， 又， 为等腰直角三角形， ， 的外接圆大小不变，其面积为． 20．（1）2或4（2）（3）（4） 【分析】（1）分点在圆内和圆外讨论求解即可； （2）根据材料可直接得解； （3）由题易知点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，结合材料求解即可； （4）延长交延长线于点，易证（），可得，则根据直角三角形斜边中线可知，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）当点在圆内时，由图2知，，当点在圆外时，由图1知，， 故答案为：或； （2）连接， 由题意可知当点、、依次共线时，，为最小值， 在中，， ， ， 故答案为：； （3），为中点， ， 由折叠的性质可知， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图， 当、、依次共线时，为最小值， 连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ∵为中点， ， ， ， 即的最小值为； （）延长交延长线于点， ， ， ， ， ， （）， ， ， 则在中，为斜边中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 则，当且仅当、、三点共线时取等， ， 最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、点的轨迹等问题，正确找出动点轨迹是解题的关键． 21．（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【分析】（1）根据在同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解，即可解题； （2）取的中点为，连接、，根据直角三角形性质得到，以为圆心长为半径作，利用在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等求解，即可解题； （3）分别以为圆心，长为半径作弧，弧交上方于点，以点为圆心，为半径作交直线于点，结合等边三角形性质和判定，以及圆周角定理即可得到； （4）①取的中点为，以为圆心长为半径作，过点作交于点，连接，由垂径定理可知，以为圆心，长为半径作，交边长于点，由圆周角定理可知，再根据题意找出临界情况，当与边长只有一个交点时，当与边长有个交点，且交点分别与重合时，结合全等三角形性质，正方形判定与性质求解，即可解题． ②作的外接圆，连接，过点作于点，作于点，证明四边形为矩形，结合矩形性质，直角三角形性质，垂径定理，求出，再结合矩形性质，以及勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：（1），， ； 故答案为：； （2）取的中点为，连接、， ， ， 以为圆心长为半径作， 则均在上， ，， ； 故答案为：； （3）上所有的点，如图所示： （4）①取的中点为，以为圆心长为半径作，过点作交于点，连接，由垂径定理可知，以为圆心，长为半径作，交边长于点，由圆周角定理可知， 当与边长只有一个交点时， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线， ， 四边形为矩形， ，即，解得； 当与边长有个交点，且交点与重合时， ， 四边形为正方形， ，即，解得； 若满足的点恰好有两个，则的取值范围为； 故答案为：； ②作的外接圆，连接，过点作于点，作于点， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形性质和判定，全等三角形性质和判定，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 22．（1） ① 28度； ②，后续证明如下： 如图2，连接交于点，此时最小，   点是的中点，， 在中，，，， ，． 最小值为4． （2）4； （3）①结论：，理由： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ，，， ，． ② 【分析】(1) ①根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质计算即可． (2) 根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆得性质计算即可． (3) 根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质，弧长公式计算即可． 本题主要考查圆的基础知识，熟练掌握圆的定义，构造辅助圆的基本方法是解题的关键． 【详解】（1）①∵，， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，    如图1，． ②略 （2）如图3，连接，   点，点关于直线对称， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， ，，， ∴的最小值为． （3）①略 ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持，    ∴点P的运动路径是以为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 23．（1）；（2）①，②；（3） 【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：． （2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解； （3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求； 【详解】解：（1）当P在延长线上时最大，如图：        ∴最大为：． 当P在上时最小，如图：     ∴最小为：． 故答案为∶． （2）①如图：      ∵沿将翻折得到， ∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆， ∴当E、P、B三点共线时，小，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． ②∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴当最大时，就最大， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当C、A、B三点共线时，最大，如图：    ∴此时． （3）以为边作，在的异侧作等边，      ∵为半圆O的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而， ∴， 在中，， ∴， 当G、D、B三点共线时，BD最小，如图：    ∴最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． 24．（1）不变， （2） ；（3） 【分析】（1）先证明△ABD≌△ACE，然后根据角的代换可得出∠BOC=120°； （2）先推出∠BDA=30°，根据AB=AD=6，得出∠ABD=30°，作AM⊥BD于M，在△ABM中，∠ABM=30°，AB=6，∠BMA=90°，即可得出答； （3）如图，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K．证明∠AOC＝120°，推出点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD=AE，AB=AC，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠AEC=∠ADB， ∵∠ADO+∠ADB=180°， ∴∠ADO+∠AEC=180°， ∴∠DAE+∠BOC=180°， ∵∠DAE=60°， ∴∠BOC=120°， ∴∠BOC的度数不变，∠BOC=120°； （2）∵△BDE是直角三角形， ∴∠BDE=90°， ∵∠BDA+∠ADE=90°，∠ADE=60°， ∴∠BDA=30°， ∵AB=AD=6， ∴∠ABD=30°， 作AM⊥BD于M， 在△ABM中，∠ABM=30°，AB=6，∠BMA=90°， ∴BM=， ∴BD=6； （3）如图中，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ODJ＝∠AEJ， ∵∠AJE＝∠OJD， ∴∠EAJ＝∠JOD＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°， ∴当θ从60°到120°的旋转过程中，KC=·=， =． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，弧长公式，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（1）1；（2）3；（3）；（4）； 【分析】（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可； （2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长； （3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长． 【详解】解:（1）∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点在处时，，点在A处时，点与重合． ∴点运动的路径的长； （3）取中点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在处时，，点在处时，点与重合， ∴点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB， ∵∠CGA=90°， ∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动， ∵四边形ABCD为正方形，BC为边长， ∴∠COB=90°，设OC=x， 由勾股定理即， ∴， 点G所经过的路径长为长=， 点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动， 点H所经过的路径长为的长度， ∵点G运动圆周的四分之一， ∴点H也运动圆周的四分一， 点H所经过的路径长为的长=， 故答案为；． 【点睛 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键． 26．(1)2；30或210 (2) 当时，如图所示：    (3) 【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可； （2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可； （3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可． 【详解】（1）解：∵和中， ∴， ∴当时，与重合，如图所示：连接，    ∵，， ∴为等边三角形， ∴； 当时， ∵， ∴当时，为直角三角形，， ∴， 当在下方时，如图所示：    ∵， ∴此时； 当在上方时，如图所示：    ∵， ∴此时； 综上分析可知，当时，或； 故答案为：2；30或210． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即两块三角板重叠部分图形的面积为． （3）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动， ∵ ∴点F运动的路径长为． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $