第三章《圆》章节测试卷2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第三章《圆》章节测试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1.已知⊙O的半径为3cm,线段OA=5cm,则点A与⊙O的位置关系是（) A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O内 D.不能确定 2.如图，在⊙0中，半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是() B A.3 B.2.5 C.2 D.1 3.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，BC=DC,∠A=25°，则∠D的度数是() A.25° B.40° C.60° D.65° 4.若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为120°，母线长为40Cm,则该圆锥的底面半径为 () A.10cm B.13cm C.cm 20。 ”on 5.如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过 点A作半圆的切线，与半圆相切于点F,与DC相交于点E,则△ADE的面积为() A D B A.12 B.24 C.8 D.6 6.如图所示，P是⊙O外一点，PA,PB分别和⊙O切于A,B两点，C是AB上任意一点，过C 作⊙O的切线分别交PA,PB于D,E.若△PDE的周长为12，则PA的长为() B A.12 B.6 C.8 D.4 7.我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形.如图 2,已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为() 图1 图2 A影-阳 及-要 2 c号-防 2 8.如图1，点C是AB上一动点，点D是弦AB的中点，过点B作BEAC交CD的延长线于点E. 若AB=8Cm,设AC=x,线段CB和CE的长度都是x的函数，分别记为ycB和ycE,如图2，在同 一平面直角坐标系Oy中分别画出两个函数的图象.当△BCE是以CE为腰的等腰三角形时， 线段AC的长是() 8 6 E ⊙12345678x 图1 图2 A.3.5cm或5cmB.5cm或6.3cm C.3.5cm或6.3cm D.6.3cm 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9.下列命题中，不正确的是 ①圆心角相等，所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等. 10.在Rt△ABC中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为 11.如图，AB为⊙O的一条弦，且AB=8,∠AOB=120°，C为劣弧AB上一点，连接AC, BC,则∠ACB的度数为· 0 B 12.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DF‖OE,EFOD,连接OF,则∠OFD的度数 为 0 B 13.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之， 二而一，其大意是孤田面积计算公式为：弧田面积=号（弦×失十失×矢），弧田是由圆弧 (弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的 是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧 田，其弧国弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该孤国的面积为乙平方米，则弧 田弧所在的圆的半径为 弦 14.如图，△ABC内接于⊙O,AB=BC,AD是⊙O的直径.设∠DAB=a,∠DBC=B,则a 与β的关系是 D 0 15.如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A 出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是 16.如图，将半径为2cm的圆形纸板，沿着边长分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并 回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是cm（π≈3.14). 17.如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD,OE垂直AB,OF垂直CD,则：① AB=CD:②弧AB等于弧CD:③PO=PE;④弧BG等于弧DG:⑤PB=PD:其中结论正确的 是（填序号） G 18.在直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=6,AC=4,E为射线AC上一点，以AE为直径作圆， 连接BE交圆于点D,则CD的最小值为 D 三、解答题（共9小题，共64分) 19.(5分)如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧BC上一点，连接BD, AD,OC,∠AOC=58· E (1)求∠ADB的度数. (2)若OE=3,OA=5,求BC的长. 20.(5分)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，对角线AC,BD相交于点P. (1)求∠APB的度数. (2)求证：AC=AB+BP, 21.(6分)有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画.如图1，大 观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代.图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱 高PD=18米. B 图1 图2 (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时， 是否要采取紧急措施？ 22.(6分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD经过⊙O的圆心O,过点 A作AE⊥CD,与CD的延长线交于点E,且DA平分∠BDE D E (1)求证：∠ABO=∠EAD: (2)过点O作OH⊥CD于点H,连接OA,若⊙O的半径为5，求EH的长. 23.(8分)如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. D B 0 B G 图1 图2 (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)如图2，⊙O与边BC交于点E、点F,连接DE、DF,作∠EDF的平分线交⊙O于点G,连 接EG、FG ①求证△EGF的形状，并说明理由； ②若DE=6,DF=8,求弦GF与劣弧GF围成的阴影的面积. 24.(6分)如图①，已知AC是⊙O的直径，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点，且 ∠P=40,连接BC: δ ○ 图① 图② (1)求∠BAC和∠ACB的大小； (2)如图②，在直径AC上取一点D,使AD=AB,延长BD交⊙O于点E,连接AE,若AB=4, AE=33,求∠EAC的度数及△ABE的面积. 25.(7分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求 写作法)· B 图① 图② 图③ (1)如图①，已知AC经过点B,画出AC所在圆的圆心O; (2)在图②中找一格点D,使∠ADB=∠ACB(找出一个符合条件的格点即可)； (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B,画出该圆的圆心O. 26.(12分)如图，△ACD内接于⊙O,AC=AD,AB为⊙O的直径，AB交CD于点E. D E B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB平分∠CAD; (2)如图2，点F在弧AC上，连接DF、BF,∠ADF=2∠BFD,求证：DF=DA; (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD,若BF+BE=CD,OE=3,求BD的长. 27.(9分)【材料阅读】 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=4,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点P 是BD上的-个动点，连接CP,求CP的最小值. B 图1 解题思路：连接OC与⊙O交于点E,如图2.当点P运动到交点E时，CP取得最小值，此时 最小值为5-3=2， 图2 (1)如图3，在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=10,BC=6,P是△ABC内部的-个动点，且满 足∠PAB=∠PBC,求CP的最小值. P 图3 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形ABCD中，AD=12,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足 DE=CF,连接AE和DF,交于点P.点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P 运动路径的长. B 图4 (3)如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=3,CD=1,请直接写出 AD的长为 参考容案 一、选择题 1.A 解：.⊙O的半径为3cm,OA=5cm,且5>3， .点A在⊙O外. 2.C 解：OC⊥AB,AB=8, .∠0DA=90,AD=号AB=4, .OC=0A=5' .在Rt△ODA中，0D=V0A2-AD=V5-4=3' .∴.CD=OC-OD=5-3=2: 3.B 解：设OC与BD交于点E,如图所示： 259 .BC=DC,∠A=25°， ∴.∠C0D=2∠A=50°， .BC=DC,OC为半径， ∴.OC⊥BD, .∠OED=90°， .∠D=90°-50°=40°」 4.D 解：设该圆锥的底面半径为rcm, ,圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， .27m=120n×40 180 解得r=40 即该圆锥的底面半径为40 m. 5.D 解：，四边形ABCD是正方形， .AB⊥BC,DC⊥BC ∴AB:DC是圆O的切线， :AE与圆o切于点F, 根据切线长定理有AF=AB=4,EF=EC, 设EF=EC=X, 则DE=4-x,AE=4+x, :四边形ABCD是正方形， .∴.∠ADE=90, :.三角形ADE是直角三角形， 在三角形ADE中由勾股定理得： (4-x2+42=(4+x2, .∴.x=1, .∴.CE=1 .DE=4-1=3 .SAADE=AD·DE÷2=3×4÷2=6 6.B 解；PA,PB分别和⊙O切于A,B两点， ∴.PA=PB, 过C作OO的切线分别交PA,PB于D,E. ∴.AD=CD,BE=CE, .PA+PB=PD+AD+PE+BE=PD+CD+PE+CE=PD+DE+PE, ∴.△PDE的周长为12， .PA+PB=PD+DE+PE=12, ∴.PA=PB=6 7.C 解：设圆的圆心为O,正六边形的一条边为AB,连接OA,OB B ·多边形为正六边形， 圆心角∠A0B=360° 609 6 :正六边形的边长为2， :.圆的半径R=OA=OB=AB=2 ·.△OAB为等边三角形 60·π·222 .S扇形OAB 360 3 过点0作OC1AB于点C,则AC=2AB=1 在Rt△OAC中，OC=OA2-AC=V22-17=3 5aw=AB-0C=×2×5-=93 2 六阴影部分的面积S=S形os-Sa0AB=写n-3. 8.C 解：D为AB的中点， ∴.AD=BD, .BE‖AC, ∴.∠ACD=∠BED,∠CAD=∠EBD, ∴.△ADC≌△BDE AAS, ∴.BE=AC=X, 画出yBE的图象如图， 6 32 012345678衣 图2 ,当C与点A重合时，BC=AB=8,当点C与点B重合时，BC=0, ∴.ycB是过0,8和8,0的曲线， 由图象可知，当BC=CE时，x=3.5,当CE=BE时，x=6.3, 即当△BCE是以CE为腰的等腰三角形时，线段AC的长是3.5cm或6.3cm. 二、填空题 9.①②③ 解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不 正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直， 本命题缺少限制条件，故②不正确： ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④ 正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正 确. 综上所述，不正确的是①②③. 10.5 解：设两条直角边分别为a=6,b=8,斜边为C. 由勾股定理得：c=Va+b2=V62+8=/36+64=V/100=10. 直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴.外接圆直径为10， .外接圆半径为10÷2=5. 11.120° 解：在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD D .:∠A0B=120° ∠ADB=1 ∠AOB=60°， :四边形ACBD内接于O0, .ACB+∠ADB=180, .∠ACB=180°-60°=120· 12.36 解：：点O是正五边形ABCDE的中心， ·∠D0E=360° =72°，OD=OE. 5 :DF OE?EF‖OD' :四边形ODFE是平行四边形. .OD=OE' :.四边形ODFE是菱形. “∠EFD=∠D0E=72,∠0FD=∠DFE=36 13.5 解：设矢长为h米， 由题意可得， 6h+i, 整理得h2+6h-7=0, 解得h。=1,h。=-7(不合题意，舍去) .矢长为1米， 设圆的半径为R米，圆心到弦AB的距离为d米， “矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差. .R-d=1,即d=R-1, 如图，连接AO,过点O作OC⊥AB, 弧 弦 -0 .OC⊥AB,AB=6米， AC=1AB=3米 2 在Rt△AOC中，0A2=0C2+AC2, .R2=R-1+32, 解得R=5米， 即弧田弧所在的圆的半径为5米. 14.β=2a-90° 解：，AD是⊙O的直径， ∴.∠ABD=90°， ∴.∠D=90°-∠DAB=90°-a, ∴.∠C=∠D=90°-a, .AB=BC, ∴.∠BAC=∠C=90°-a, ∴.∠DAC=∠DAB-∠BAC=a-(90°-a=2a-90°， 又'∠DAC=∠DBC=B, ∴.β=2a-90°. 15.8V2 解：沿过点A的母线将圆锥侧面展开，如图所示，则AA的长是最短的路线长， …底面半径是2， :底面圆的周长为4π， 即圆锥侧面展开得到的扇形弧长为4π， …圆锥的母线长是8， :圆锥侧面展开得到的扇形半径为8， 180π8=4n, 设圆锥侧面展开的扇形圆心角为n°，则， 解得n=90, 即扇形的圆心角为90°. .∴.∠AOA=90°， 在Rt△AOA中，由勾股定理得AA=V82+8=8V2, 即最短的路线长是8V2. 16.68.56 解：16+12×2+90×3.14×2×4=56+12.56=68.561m 180 答：圆心所经过的路线长度是68.56cm. 17.①②④⑤ 解：PO平分∠BPD,OE垂直AB,OF垂直CD,则OE=OF, 即弦AB,CD的弦心距相等，因而AB=CD,弧AB等于弧CD,故①、②正确； 在直角三角形中，PO>PE,故③错误； 如图，连接OB,OD, OE=OF,PO=PO' ∴.Rt△PEO≌Rt△PFO HL ∴.PE=PF, :AB=CD:OE垂直AB,OF垂直CD, BE-AB-]GD=DF, .PB=PD,故⑤正确； .PO=PO,BO=DO' .△POB≌△POD|SSS .∠POB=∠POD, .∴.∠BOG=∠DOG? :.弧BG等于弧DG, 故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤. 18.2 解：连接AD, ,AE为直径， ∴.∠ADE=90°， ∴.∠ADB=90°， 点D在以AB为直径的⊙O上运动，当点D在C0与⊙O的交点处时，CD最短，如图所示， .AB=6 A0=D0= AB=3, .∵∠CAB=90o, ∴.C0=AC2+A02=V42+3=5: .∴.CD=C0-D0=5-3=2 ∴.CD的最小值为2. 三、解答题 19.(1)解：连接OB A .OA⊥BC,且OA为⊙O的半径， .BE=EC.AB=AC. .∠A0C=58°， ∴.∠B0A=∠AOC=58°， .∠ADB=1∠BOA=29. (2)解：OB=OA=5,OE=3, .BE=V0B2-0E=V52-3=4, ..BC=2BE=8. 20.(1)解：.⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， 12 11 根据圆周角定理可知，∠ABD=2×号×360©=72°，∠BAC=2×5 ××360°=36°， ∴.∠APB=180°-72°-36°=72o. (2)证明：由（1)可知，∠ABP=∠APB, ∴.AB=AP· :根据圆周角定理可知，∠PBC=∠PCB=号××360=36， 25 ∴.BP=CP, .∴AC=AP+CP=AB+BP· 21.(1)解：连接OA, 由题意得：AD=号AB=30米，OD=(r-18)米， 在Rt△AD0中，有r2=302+(r-18,解得r=34米； (2)解：连接OA. OE=OP-PE=30米， .在Rt△AE0中，AE=A02-0E2=16(米)， AB=32米. .AB=32>30 不需要采取紧急措施. 22.(1)证明：：BD是⊙O的直径， ∴.∠BAD=90, .∴.∠ABO+∠ADB=90, :DA平分∠BDE: ∴.∠ADB=∠ADE, .:AE⊥CD .∴.∠AED=90o, .∴.∠EAD+∠ADE=90°， .∴.∠ABO=∠EAD (2)解：由题意可得，OB=OA=5, .∴.∠ABO=∠BAO' .∠ABO=∠EAD' ∴.∠BAO=∠EAD .∠BAD=90, ..∠BAO+∠OAD=90°， ∠EAD+∠OAD=90,即∠OAE=90, .:AE⊥CD'OH⊥CD :.四边形AOHE是矩形， .∴.EH=OA=5 23.(1)过点O作OH⊥AC于点H,连接OD、OA. D H B ,△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点， .AO⊥BC,且AO平分∠BAC. .AB与⊙O相切于D, .OD⊥AB .OH⊥AC, ∴.OH=OD .OD是⊙O的半径， .OH也等于⊙O的半径， ∴.AC是⊙O的切线. (2)①△EGF是等腰直角三角形，证明如下： .EF是⊙O的直径 ∴.∠EDF=90°. .DG平分∠EDF, ∴.∠EDG=∠FDG=45°. ∴.EG=FG, ∴.EG=FG ∴.△EGF是等腰直角三角形. ②连接OG, D G .在Rt△EDF中，∠EDF=90°，DE=6,DF=8, ∴EF=VDE2+DF2=V62+82=10, ∴.⊙O的半径r=OE=OF=OG=5. .DG平分∠EDF, :∠FDG=∠EDF=45, 2 ∴.∠GOF=2∠FDG=90° :扇形0GF的面积：S8ocF360。X =90°×mr2=2×nx5=25n 4 4 :△0GF的面积：Soc2 ×0G×0F=x5x5=25 2 : S阴 25π25 42 24.(1)解：AC是⊙O的直径，PA,PB是⊙O的两条切线， ∴.PA=PB,∠CAP=90°， :∠P=40°， ∠PAB=∠PBA=18040°=70， .∠BAC=90°-70°=20° 又AC为直径， .∠CBA=90°， ∴.∠ACB=90°-20°=70°. (2)解：由(1)可知∠ABC=90°，∠BAC=20°，∠C=70°， .AB=AB, ∴.∠E=∠C=70°， .AB=AD. :∠ADB=18020°=80°， ∴.∠EAC=∠ADB-∠E=80°-70°=10°， ∴.∠EAB=∠BAC+∠EAC=20°+10°=30°， 作BF1AE于R,在Rt△AF中，Bn-号AB-号x4-2, 2 B △ABE的面积SAAE=33×2×号=33. 25.(1)解：如图①，点0即为所求； B 图① (2)解：如图②，点D1(或D2、D3、D4、D5、D6、D)即为所求（写一个即可）； D6-- D D Dh◆- 图② (3)解：如图③，设过点A的网格线分别交圆于点M,N,过点B的网格线分别交圆于点P,Q, 连接PQ,MN,相交于点O,, 图③ 由网格可得：∠MAN=90°，∠PBQ=90°， .MN和PQ均为圆的直径， .点O为该圆的圆心. 26.(1)证明：连接BD、BC, .AC=AD, ∴.∠ADC=∠ACD, .AB为⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠ACB=90°， ∴.∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD, ∴.∠BDC=∠BCD ∴BC=BD, ∴.∠BAC=∠BAD, ∴.AB平分∠CAD: E B 图1 (2)证明：连接AF, .FC=EC, ∴.∠FAC=∠FDC, .BD=BD. .∠BFD=∠BAD, .∠ADF=2∠BFD, ∴.∠ADF=2∠BAD. .AB平分∠CAD, ∴.∠CAD=2∠BAD, ∴.∠CAD=∠ADF, 又，∠FAC=∠FDC, ∴.∠CAD+∠FAC=∠ADF+∠FDC, 即∠AD=∠ADC, ∴FD=AC, ∴.DF=CA, .CA=DA, ∴.DF=DA; B F 图2 (3)解：连接AF、OD 由(1)知，AB平分∠CAD, ∴.∠EAD=∠EAC, AC=AD,AE=AE. .△ACE≌△ADE SAS, ∴.∠AED=∠AEC, :∠AED+∠AEC=180°， ∴.∠AED=∠AEC=90°， 即AB⊥CD, 在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE+DE2=OD, 由(2)知，DA=AD,∠CAD=∠ADF,DF=CA, ∴.△DAC≌△ADF SAS, ∴.CD=FA, BF+BE=CD .BF+BE=FA, ,AB为⊙O的直径， ∴.∠AFB=90°， 在Rt△AFB中，根据勾股定理得，AF2+BF2=AB2, .AF=CD, ..CD2+BF2=AB2, 又，AB为⊙O的直径，AB⊥CD, AB=20B=20D,DE-CE-CD, .|2DE2+BF2=2OB2, 整理得，4DE2+BF2=40B, 即4DE2+BF2=40D2 又0E2+DE2=0D2, ..4DE2+BF2=4OE2+DE2 整理得，4DE2+BF2=40E2+4DE, BF2=40E2, .0E=3, .BF=6, 设BE=X,则OD=OB=OE+BE=3+X,CD=BF+BE=6+X, DE-D6+x-3+2x. 在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE+DE=OD, 整理得：x+4x-12=0, 解得：X1=2,x2=-6(舍)， ∴BE=2, DE=3+x=4, 在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2+DE=BD2, ∴.BD2=22+4=20, ∴.BD=2V5 B 图3 27.(1)解：如图，作以AB为直径的⊙O, :∠ABC=90°， .∴.∠ABP+∠PBC=90°· .∠PAB=∠PBC' .∴.∠BAP+∠ABP=90· .∠APB=90°， .点P在以AB为直径的⊙O上. ∴.连接OC交⊙O于点P,此时CP最小. 点0是AB的中点，AB=10: 0A=00=A5=5, 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=6,OB=5, .0C=BC2+0B=61' ∴.CP=OC-OP=V61-5 :CP的最小值为61-5 (2)解：如图，作以AD为直径的圆，连接AC,BD交于点O, .正方形ABCD ..AD=CD,∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF, ∴.△ADE≌△DCF SAS, ∴.∠DAE=∠CDF, ∴.∠DAE+∠ADP=∠ADP+∠CDF=∠ADE=90°， .∠APD=90°， :点P在运动中保持∠APD=90, :.点P的运动路径是以AD为直径的圆的弧DPO, 点P的运动路径长 90π×6=3. 180 (3)解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接 OA'OB'OC, .AD是BC边上的高， ∴.∠OED=∠OFD=∠FDE=90°， ∴.四边形OEDF是矩形， ∴.OF=DE,OE=DF, .∠BAC=45, ∴.∠B0C=90· 在Rt△BOC中，BC=BD+DC=3+1=4, ∴.B0=C0=2V2' OE1BC,0为圆心， 86-G=2, .∴.DE=OF=BD-BE=1· 在Rt△BOE中，BO=22,BE=2, ∴OE=DF=2 在Rt△AOF中，AO=22,OF=DE=1, ∴.AF=7, ∴.AD=AF+DF=V7+2·