3.3 第1课时圆的旋转不变性-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE ∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， (BA=CA, ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS).∴.BD= AD-AE, CE.又：AD=AE,.AD=AE=CD=CE.∴.四边形 ADCE为菱形 3.3圆的对称性 第1课时圆的旋转不变性 1.COB=OA,.∴.∠OBA=∠OAB=72°. .∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-72°-72°= 36°.B是劣弧AC的中点，∴.BC=AB.∴.∠BOC= ∠AOB=36°.∴.∠AOC=2∠AOB=72. 2.C如图，作∠AOB的平分线交⊙O于点E,连接AE, BE.则∠A0E=∠0E-3∠A0R.:∠A0B=2∠0OD. ∴.∠AOE=∠BOE=∠COD.∴.AE=BE=CD. AB<AE+BE,∴.AB<2CD. (第2题) 易错警示 仅凭主观臆断导致错误 解答这类问题时，往往会不能运用推理确定两弦长 之间的关系，而是仅凭同圆中等孤、等弦、圆心角之间的 相等关系主观推断其他量之间仍然存在类似的数量关 系，从而导致错误 3.48°连接OA.AB=CD,.AB=CD..CD AD=AB-AD.∴.AC=BD.∴.∠AOC=∠BOD=84, :0C-0A,∠AC0=∠C40=2(180°-∠A0C)= 2×180°-840=48 4.=OE⊥AB,OF⊥CD,AE=BE=2AB, CF-DF-CD.AB=CD.AE-CF.OA= OC,.Rt△AEO≌Rt△CFO(HL)..OE=OF. 5.(1)OA,OB是⊙O的半径，.OA=OB.D,E分 别是0A,0B的中点0D=号0A.0E=号0B. .OD=OE.:AC=BC,∴.∠AOC=∠BOC.在△DOC OD=OE, 和△EOC中，{∠DOC=∠EOC,∴.△DOC≌△EOC OC=OC, (SAS)..CD=CE.(2)连接OM,ON.由(1)知， △DOC≌△EOC,∴.∠OCD=∠OCE,即∠OCM= ∠OCN..'OM=OC,ON=OC,.∴.∠OMC=∠OCM, ∠ONC=∠OCN.∴.∠OMC=∠ONC.在△OMC和 ∠OMC=∠ONC, △ONC中，∠OCM=∠OCN,∴.△OMC≌△ONC(AAS). OM-ON, ∴.CM=CN. 6.D连接OB,OC,则OA=OB=OC=OD,∴.∠OBA= ∠A=75°，∠OCD=∠D=60°.∴.∠AOB=180° ∠OBA-∠A=180°-75°-75°=30°，∠COD=180°- ∠0CD-∠D=180°-60°-60°=60°.∠AOD=150°， ∴.∠B0C=150°-∠AOB-∠COD=150°-30°-60°= 60°∴.BC的度数为60°. 7.D连接OD,OF.:'DE⊥AB,AB是⊙O的直径， .DE=EF.又OD=OF,∴∠AOD=∠AOF ∴.AD=AF.D是AC的中点，∴.AD=DC.∴.AC= DF..AC=DF.⊙O的直径为10，.OF=OA=5. AE=2,∴.OE=OA-AE=5-2=3.在Rt△OEF中， 由勾股定理，得EF=√OF2-OE=√52-3=4. .DE=EF=4...AC=DF=DE+EF=4+4=8. 8.√7-1如图，延长DC交AO于点E,连接OD.:'AM 是⊙0的直径，B是MM的中点，OD=之AM=4, ∠A0B=×180=90:.:CD∥/0B,∠ABC= ∠AOB=90°.：OA=OB,∴.∠BAO=45.:AC=√2， .易得AE=CE=1..EO=OA-AE=4-1=3. OD=4,∠DEO=180°-∠DEA=90°，∴.在Rt△DEO 中，DE=√OD2-OE=√4-3=√7..CD=DE- CE=7-1. (第8题) 9.√2作点B关于MN的对称点E,连接AE交MN于 点P,此时AP+BP的值最小，且等于AE的长.：A是 MN上的一个三等分点（靠近点M),∴.∠AOM=60°.连 接OB,OE.:B是AM的中点，∴.∠BOM= 3∠A0M=0:∠M0E=∠B0M=30.÷∠A0E= ∠AOM+∠MOE=90°.又.⊙O的直径为2，..OA= OE=1.∴.易得AE=2,即AP+BP的最小值为√2. 10.(1)连接AE.,'四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC.∴.∠EAF=∠AEB,∠GAF=∠B.AE= AB,∴.∠AEB=∠B.∴∠EAF=∠GAF..EF=FG. (2)EG的度数为140°，∴.∠EAG=140°.AG=AE ÷∠BB=∠ABG=180-∠EAG)=号X(180- 140)=20°. 方法归纳 解答求弧的度数问题的一般方法 “圆心角的度数与它所对的孤的度数相等”这一性 质揭示了圆心角的度数与它所对的孤的度数之间的关 系，所以要说明同圆中的两条孤之间的数量关系，可以 转化为说明它们所对的圆心角之间的数量关系，从而转 化为构造等腰三角形或直角三角形，根据“等边对等角” 或“直角边与斜边之间的数量关系”确定角的关系或大 小，进而解决问题 11.尝试：连接AC,BD.'∠AOB=120°，C,D是AB的 三等分点，∠A0C=号∠A0B=号×120=40 0M=0B∠0AB=∠0BA=7(180°-∠A0B) 30°..∠AOC=40°，∴.∠AEC=∠OAB+∠AOC= 30°+40°=70°..·OA=0℃，∠AOC=40°，.∠ACE= ∠0AC=2(180-∠A0C)=70.·∠ACE=∠AEC. ∴.AC=AE.同理，可得BF=BD.:C,D是AB的三等 分点，∴.AC=CD=BD.∴.AE=BF=CD.猜想：连接 AC,BD.:在⊙O中，∠AOB=n°，C,D是AB的三等分 点，：∠A0C=子∠A0B=(3)水：OA=OB, ÷∠0AB=∠0BA=3(180-∠A0B)=(1802） :∠A0C=(S)°，·.∠AC=∠OAB+∠A0C- (2802+号）°=(0-g)水：0A=0c,∠A0c- (3),·.∠ACE=∠0AC=7(180°-∠A0C) 2(180-号）P=(90-g)·∠ACE=∠AEC. .AC=AE.同理，可得BF=BD.C,D是AB的三等 分点，∴.AC=CD=BD.∴AE=BF=CD 第2课时圆的轴对称性 1.B如图，CD⊥AB于点P.根据题意，得AB=10cm, CD=6cm.:AB是⊙O的直径，且CD⊥AB,∴.OC= 2AB=5cm,CP=2CD=3cm在R△0PC中，由勾股 定理，得OP=√OC2-CP=√5-3=4(cm). D B (第1题) 2.C:△ABE是等边三角形，∴.∠AEB=60° OF⊥BD,.∠GFE=90°..∠EGF=90°-∠AEB= F63.DF-DE+EF-4+ 3=7.OF过圆心O,且OF⊥BD,BF=DF=7. .BE=EF十BF=3十7=10.，∴.在等边三角形ABE中， AB=BE=10. 3.(6,0)解法一：过点P作PM LAB于点M,则点M的 坐标是(4,0).∴OM=4.又点A的坐标为(2,0)， ∴.OA=2..AM=OM-OA=4-2=2.PM⊥AB, ∴.BM=AM=2..OB=OM+BM=4+2=6.∴.点B 的坐标是(6,0).解法二：设点B的坐标为(x,0),则x一 4=4一2，解得x=6.∴.点B的坐标是(6,0). 4.1am或7m过点O作直线OE⊥AB于点E,交CD 于点F.ABCD,∴.OF⊥CD.:OE过圆心，OE⊥ AB,BE=号AB=3em:OB=5cm,在R△0EB 中，OE=√OB2-BE=√5-32=4(cm).同理，可得 OF=3cm.当AB,CD位于圆心O的同侧时，如图①， ∴.EF=OE-OF=4-3=1(cm.当AB,CD位于圆心O 的两旁时，如图②，∴.EF=OE十OF=4+3=7(cm).综上 所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm 0 ① ② (第4题) 易错警示 不会分类讨论导致错误 由于圆是轴对称图形，因而对于平行的定长弦，可 能会有两种情形，可能分布于圆心的两侧，也可能分布 于圆心的同侧，因此，解题时往往会出现不能考虑可能 出现的位置而导致漏解的情况 5.(1)如图，延长AD交⊙0于点E.OC⊥AD, .AE=2AC,AE=2AD.AB=2AC,.'.AE=AB. ∴.AB=AE.∴.AB=2AD.(2)如图，连接OA,设⊙O 的半径为x,则OA=x,OD=x-2.AB=2AD,AB=拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 3.3 圆的对称性 第1课时 圆的旋转不变性 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，A,B,C是⊙O上的三点，B是劣弧AC的中点，∠OAB=72°，则∠AOC的度数为() A.69 B.70° C.72° D.112° (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.易错题如图，在⊙O中，∠AOB=2∠COD,则下列判断中正确的是 A.AB=2CD B.AB<CD C.AB<2CD D.AB>2CD 3.如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD.若∠BOD=84°，则∠ACO的度数为 4.如图，AB,CD是⊙O的两条弦.若AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,则OE OF(填“=”或“≠”) 5.如图，OA,OB是⊙O的半径，且AC=BC,弦CM,CN分别经过OA,OB的中点D,E.求证： (1)CD=CE. (2)CM=CN. A (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点.若劣弧AD的度数为150°，∠A=75°，∠D=60°，则 BC的度数为 () A.25 B.40° C.50° D.60° 0 (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F. 若AE=2,⊙O的直径为10，则AC的长为 () A.5 B.6 C.7 D.8 8.如图，在⊙O中，AM是⊙O的直径，AM=8,B是AM的中点，点C在弦AB上，且AC=√2.点 D在AB上，且CDOB,则CD的长为 50 第3章圆 9.如图，A是MN上的一个三等分点（靠近点M),B是AM的中点，P是直径MN 上的一个动点，连接OA,AP,BP.若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值 为 10.*如图，以□ABCD的顶点A为圆心、AB长为半径作⊙A,分别交BC,AD于 (第9题) E,F两点，交BA的延长线于点G,连接EG. (1)求证：EF=FG (2)若EG的度数为140°，求∠EGB的度数. (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.小明在完成作业“如图①，∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，连接CD,OC,OD,弦AB分 别交OC,OD于点E,F,求证：AE=BF=CD”的基础上，做了如下尝试：把∠AOB=90改为 ∠AOB=120°，其他条件不变，证明成功后，大胆猜想“如图②，∠AOB=n°，C,D是AB的三等 分点，连接CD,OC,OD,弦AB分别交OC,OD于点E,F,求证：AE=BF=CD”.请写出小明 “尝试”和“猜想”的证明过程. ① (第11题) “答案与解析”见P29 51