3.7 第1课时弧长及扇形面积-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第3章圆 3.7扇形 第1课时弧长及扇形面积 一阶·基础通关 融通新授知识，奔实双基▲ 1.一题多解易错题如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，点A,B在大圆上，点C,D在小圆上， AB,CD的长度分别是11，l2.若扇形OAB与扇形OCD的面积相等，则L1与l2的大小关系为() A.1>l2 B.<2 C.l=l2 D.无法确定 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为⊙O的直径，且满足∠ABC=120°，AD=6,则 CD的长为 3.如图，AB是⊙O的直径，O℃=6，∠BAC=40°，则图中涂色部分的面积为 4.如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，将斜边BD绕点B按顺时针方向旋转至BC的位置，使BC∥ AD,过点C作CE⊥BD于点E. (1)求证：△ABD≌△ECB. (2)若∠ABD=30°，BE=3,求旋转过程中点D经过的路径长. (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点E,连接 AE,则涂色部分的面积是 () B. C.2π D.3π (第5题) (第6题) 6.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6,将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好 落在AB上的点O处，折痕交OB于点C,则O'B的长是 () A. B.π C.2π D.3π 71 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 7.情境生活实际如图①所示为一款扫地机器人的实物图，其抽象图如图②所示，⊙O为机身，A 为机身上一定点，AB为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交⊙O于点C, D.已知点A,C,D在同一直线上，⊙O的半径r=20cm,AB=10√2cm,则图中涂色部分的面积 为 cm2. ① ② (第7题) (第8题) 8.如图，E为正方形ABCD内一点，AD=5,AE=4,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到 △ABE',则边DE所扫过的区域（图中涂色部分）的面积为 9.如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'.已知 ∠AOB=90°，OA=2,AB交O'A'于点C. (1)连接OC,求∠AOC的度数. (2)请直接写出阴影部分面积S阴影与扇形AOC的面积S扇形Ac、△OCO'的面积S△0之间的数 量关系，并求出阴影部分的面积 0 0' (第9题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 10.如图①，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一动，点，AD⊥BC,垂足为D.AD上有一点E,且AE= BE.延长BE交AC于点F,交⊙O于点G. (1)请用无刻度的直尺和圆规在图①的AD上作出点E(直尺与圆规各限用一次)，并说明 理由。 (2)如图②，连接AG,若AGBC,⊙O的半径为6，求涂色部分的面积. DO ② (第10题) 72 >“答案与解析”见P47BC,∠ABC=90,∠0AB=∠0BA=号(180° ∠AOB)=45°.∴.∠OBC=∠ABC-∠OBA=90°-45°= 45.∠CBE=15°，∴.∠OBE=∠OBC+∠CBE=45°+ 15°=60°.又：OB=OE,∴△OBE是等边三角形. ∴.OB=BE=5..OA=OB=5..AB=√OA2+OB2= 5√2.∴.正方形ABCD的边长为5√2. D 0、 B (第9题) 10.(1)△EFM是直角三角形.理由：：'六边形ABCDEF 是正六边形，∴.∠AFE=∠FED=∠D=120°，DE=DC. ·∠CBD=∠cD-2180-∠D)=0.∠CEF= ∠FED-∠CED=120°-30°=90°..∠FEM=180° ∠CEF=90°.∴.△EFM是直角三角形.(2)：∠AFE= 120°，∠FEM=90°，.∠M=∠AFE-∠FEM=120°- 90°=30°.∴.FM=2EF=6.又由正六边形ABCDEF,可得 AF=EF=3,..AM=AF+FM=3+6=9. 11.(1)△AMN是正三角形.理由：如图，连接ON,NF. 由题意，可得FN=OF=ON,∴.△FON是等边三角形. ∴.∠NFA=60°.∴.∠NMA=60°.同理，可得∠ANM 60°，∴.∠MAN=60°.∴.∠NMA=∠ANM=∠MAN. ∴.△AMN是正三角形.(2)如图，连接OD.由(1)，得 ∠A0N=120,∠AMN=6m.:∠A0D=3X2= 144°，.∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°. 360°÷24°=15，.从点A开始，以DN的长为边长，在 ⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形， 则n的值是15. (第11题) 12.(I)15.在正六边形ABCDEF中，∠DAB= 2∠BAF= 令×120=0.在正方形ANPQ中，∠DAN=2∠PAQ= 3X90=46.·∠BAM=∠DAB-∠DAP=60- 45°=15°.(2)如图，连接BE交AD于点O,连接OP交 BC于点H.在正六边形ABCDEF中，CD=BC=AB=4, ∠BAF=∠ABC=∠C=∠CDE=120°，AO,BO分别平 分∠BAF,∠ABC,OA=OB,∴.∠BAO=∠ABO= ∠C0=号×120=60.：.△AB0是等边三角形， ∴.AO=BO=AB=4,∠AOB=∠CBO=60°.∴.AD= 2AO=8,BC∥AD.在正方形APDQ中，AP=DP, ZAPD=90AO=DO.PO=7AD-4,POLAD. ∠APO=∠DP0=∠PD=452.:AD∥BC. ∴.∠MHP=∠AOP=90°.∴.∠BHO=90°..∠OBH= 60,B0=4,∠B0H=30.·BH=2B0=2,0H= √OB2-BH=2√5.易得△PHIM为等腰直角三角形， .MH=PH=OP-OH=4-25.易得△PMN为等腰 直角三角形，PH⊥MN,∴.MN=2MH=8-4W3. (第12题) 3.7扇形 第1课时弧长及扇形面积 1.B设大圆的半径为r,小圆的半径为r2.解法一：根据 题意，得24=r:>4<1: 1 解法二： 设扇形的面积为S,所在圆的半径为r,圆心角所对的弧长 为1，则S-,即1-25.：两个扇形的面积相等> r2,∴.l<l2. 易错警示 不会灵活运用扇形面积公式导致错误 解答这类问题时，往往会出现仅仅使用孤长公式而 使问题解答陷入困境的情况，究其原因，是不会灵活根 据条件运用扇形面积公式，扇形面积一定时，其弧长与 所在圆的半径成反比例. 2.元连接OC.,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AD为直径，AD=6,0A=0C=0D=号AD=3, ∠ABC+∠D=180°.：∠ABC=120°，∴.∠D=180° ∠ABC=60°.又：OC=OD,.△OCD是等边三角形. ∠C0D=60..CD的长为60rX3=元 180 3.8元，O是AB的中点，.S△c=S△C..S色= S豹无C.·∠BAC=40°，.∠BOC=2∠BAC=80. 80 “0C=6,.Sx一360xX6=8元…涂色部分的面积 为8元 4.(1):∠A=90°，CE⊥BD,.∠A=∠BEC=90° :BCAD,∴.∠D=∠EBC.将斜边BD绕点B按顺 时针方向旋转至BC的位置，，BD=CB.在△ABD和 ∠A=∠BEC, △ECB中，∠D=∠EBC,∴.△ABD≌△ECB(AAS). BD=CB, (2)由(1)知，△ABD≌△ECB,∴.DA=BE=3.:'∠A 90°，∠ABD=30°，∴.在Rt△ABD中，BD=2AD=6. BC∥AD,∴.∠A+∠ABC=180°..∠ABC=90. ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-30°=60°..旋转过 程中点D经过的路径长为60πX6=2元 180 5.D根据题意，得AE=AD=6.四边形ABCD是矩 形，.∠ABE=90°，BC∥AD.AB=3,∴.在Rt△ABE 中，AB=号AE,易知∠AEB=30:∠DAE=∠AEB 30沁：涂色部分的面积是器xX谷=祝 6.B连接OO',则OO'=OA.由折叠的性质，得OA= OA..OA=OA=OO'=6.∴.△AOO'是等边三角形. ∴.∠A0O'=60.∠AOB=90°，.∠B0O=30. 1Om的长是06-元 7.200如图，连接CD,OC,OD.点A,C,D在同一直 线上，∴CD经过点A.由题意，得CD为半圆A的直径， ∴.AC=AD=AB=10w2cm.∴.CD=202cm..OC= OD=20cm,∴.OC2+OD2=CD2.∴.△OCD为直角三角 形且∠C0D=90.Sn=90rX20-100x(m)， 360 5m=号0c·0D=专×20×20=200(cm). ∴.S号cm=S前ocn-S△0cp=（100x-200)cm2. :S*4=T·AC-X(102) 2 2 =100x(cm),∴.S涂色= S半题A一S号无cn=100π-(100x-200)=200(cm2). 0 C (第7题) 8兰元易得S#=Smm十SAm-(SAe十 Sn)=5m-S4E-0X52_90xX4-9 360 360 4元 9.(1)如图，连接CB.·将扇形AOB沿OB方向平移，使 点O移到OB的中点O处，得到扇形A'OB',∴.O为OB 的中点，∠A'O'B'=∠AOB=90°..A'O⊥OB.∴.CO 是OB的垂直平分线..CB=CO.又C=OB, .OC=OB=CB.∴.△OBC为等边三角形.∴.∠COB= 60°.∴.∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-60°=30° (2)S阴影=S期无A'Og一(S前无c一S△00m）=S豹无AOB (S前无AOB一S前形A0e一S△0)=S豹无0e十S000.,'O'为 0B的中点，0A=0B=0C=2,00-号0B=1.在 Rt△00'C中，C0=√C02-O0=√22-1下=5. 4Sr-合×1X后-复：∠0c-0, S第击r-30rX2 360 =子.·SN=Sam+Saw + 0 B (第9题) 10.(1)如图①，以点A为圆心、AB长为半径，用圆规画 弧交⊙O于点G,用直尺连接BG交AD于点E.理由：如 图①，连接AG,延长AD交⊙O于点H,连接BH.:以 点A为圆心、AB长为半径，用圆规画弧交⊙O于点G, ∴.AB=AG..∠ABG=∠AGB.BC是⊙O的直径， AD⊥BC,∴.AD=DH,∠BDA=∠BDH=90°，BA= BH..∠BAD=∠BHD.:AB=AB,∴.∠AGB= ∠AHB..∠EAB=∠EBA.∴.AE=BE.∴.点E即为 所求.(2)如图②，连接OA交BG于点K,连接OG.由 (1),可得∠EAB=∠EBA,AB=AG,∠AGB=∠ABG. .AG∥BC,.∠AGB=∠OBG.∴.∠ABG=∠OBG :OB=OG,∴.∠OBG=∠OGB.∴.∠OGB=∠ABG. ∴.ABOG.∴.四边形ABOG是平行四边形.又AB= AG,∴.四边形ABOG是菱形.对角线AO,BG交于 点K,∴.KA=KO,KB=KG.在△KAB和△KOG中， KA-KO, ∠AKB=∠OKG,∴.△KAB≌△KOG(SAS).∴.S△KB= KB-KG, S△k0G..S亲色都分=S射形AG.:四边形ABOG是菱形， ∴.AB=BO,∠ABO=∠AGO.:BO=AO,∴.AB= BO=OA.∴.△ABO是等边三角形.∴.∠ABO= ∠AOB=60°=∠AGO..AG∥BC,∴.∠AGO= ∠C0G=60°.∴.∠A0G=180°-∠AOB-∠C0G= 180-600-60=60.S0年-60XxX8 =6π..涂 360 色部分的面积为6元 ① ② (第10题)》 第2课时圆锥的侧面积 1.B设圆锥的底面圆半径为rcm:母线与底面圆的半 径之比为2：1圆准的母线长为2rm由题意，得2× 2xr×2r=200π，解得r=10(负值舍去).∴.2r=20,即圆 锥的母线长为20cm. 2.D根据题意，得扇形的弧长为216X10-12x(cm,则 180 圆锥底面圆的半径为12π÷2π=6(cm).由勾股定理，得圆 锥的高为√102一6=8(cm). 3.6设圆锥的底面圆半径为r.根据题意，得2πr= 90XmX4,解得，=1.：四边形ABFE为正方形，.AE= 180 AB.∴.AD=AE+ED=AB十2r=4+2=6. 4.1：4由题意，得圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长 即X2R=2x,,:R=1:4 易错警示 不会根据隐含的相等关系导致错误 解决这类问题时，往往先要寻找所围成的圆锥与底 面圆之间隐含的等量关系，进而构建等式解答」 5.(1)连接BC.∠BAC=90°，∴.BC为⊙O的直径 易得AB=AC,∴.△ABC为等腰直角三角形.∴.易得 AB号BC-4m·扇形ABC的面积-90X4 360 4π(cm).(2)设圆锥的底面圆半径为rcm.根据题意 得2r=90XπX4 180 解得r=1.∴.圆锥的底面圆半径为 1cm.∴.圆锥的高为√4-1=√15(cm). 6.C设两个圆锥的母线长为x,则侧面展开图拼成的圆 的周长为2πx.设全面积较大的圆锥的底面圆的半径为R, 则它的底面圆的周长=2πR,它的侧面积为πRx,底面积为 πR.∴.它的全面积=πRx十πR.设全面积较小的圆锥的 底面圆的半径为r,则它的底面圆的周长=2πx一2πR= 2π(x一R)=2πr,即r=x一R..它的侧面积为 π(x一R)x,底面积为π(x一R)2..它的全面积为π(x R)x十π(x一R)2.由题意，得[πRx十πR]:[π(x-R)x+ x-R)门=61，解得R,=号x,R:=3x(不合题意，舍 1 去).r=x一R=5x.小r:R=1:4,即它们的底面圆 的半径之比为1：4. 7.150°设圆锥的母线长为1cm,则2×20元×1=240元， 解得1=24.设这个扇形的圆心角的度数是°.由题意，得 20m-”4,解得a=150这个绵形的圆心角的度数 为150. 8.120°如图，将圆锥沿母线SB展开，A'为BB的中点， M'为SA'的中点，则BB'为从点B出发，沿圆锥侧面走回 点B的最短路径，且BB'经过点M.A'B=A'B, ∴.∠B'SA'=∠BSA',SA'⊥BB'.在Rt△BSM'中， sw=sr=M=SB,=安易知 ∠SBM'=30°，则∠BSM=60°.∴.∠BSB=2X60°=120° B (第8题) 且cm如图，连接OB,过点0作OH1AB于点 H.由对称性可知，∠OAH=∠0AC=2∠BAC=30 :∠AH0=90,0M=2cm.易得0H-20M=1cm .AH=√OA2-OH=√2-1平=√3(cm).:在 Rt△OBH中，OB=√13cm,∴.BH=√OB2-OH= W√（√13）2-12=25(cm)..AB=AH+BH=5+ 23=35(cm.C的长=60rX3,5-5cm.设 180 圆锥的底面圆半径为Rcm,则2R=5元：R=S 2 ∴.圆锥的高= (35)2- 3) 05(cm. 2 0 (第9题) 10.由题意可知，BA的长为6πcm,CD的长为4πcm.设