3.7 扇形 课时作业 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

苏科版 九年级上册　第3章 圆　3.7 扇形 课时作业 第3章 圆　3.7 扇形 （苏科版·九年级上册）课时作业 · 含知识梳理、典型例题、分层作业与详细解析 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 一、学习目标 1．经历弧长公式和扇形面积公式的探索过程，掌握公式 ，，并能灵活运用。 2．会求弓形及由扇形、三角形、四边形组合而成的阴影部分面积，体会“和差”“割补”“等积变形”等转化思想。 3．认识圆锥的母线、高、底面半径，知道圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和全面积。 二、知识梳理 知识点1　弧长公式 半径为 的圆，周长 ， 的圆心角所对的弧长为 ，所以 的圆心角所对的弧长为 　　　　。 注意：公式中的 表示 1° 的倍数，不带单位；、、 三个量中，已知任意两个可求第三个。 知识点2　扇形及其面积 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形（如图1左）。 圆心角为 、半径为 的扇形面积：。 由 可得另一公式：（与三角形面积公式 形式类似）。 图1　扇形（左）与圆锥（右） 知识点3　弓形与不规则图形的面积 （1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 　　劣弧弓形：；优弧弓形：；半圆也是弓形。 （2）求不规则图形（阴影部分）面积的常用方法： 　　① 和差法：把阴影部分看作几个规则图形面积的和或差； 　　② 割补法：把阴影部分分割后移补，拼成规则图形； 　　③ 等积变形法：利用平行线间距离相等、等底等高等，把阴影部分转化为面积相等的规则图形。 知识点4　圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，设母线长为 ；顶点与底面圆心的距离叫做圆锥的高 ；底面半径为 。三者满足 。 （2）圆锥的侧面展开图是一个扇形：扇形的半径等于圆锥的母线长 ，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长 。 （3）；。 （4）展开图扇形的圆心角：由 得 。 三、典型例题 例1　已知扇形的半径为 6，圆心角为 120°，求扇形的弧长和面积。 【解答】；。 （也可用 检验。） 例2　一个扇形的弧长为 ，面积为 ，求这个扇形的半径和圆心角。 【解答】由 得 ，∴ 。 由 得 ，∴ ，即圆心角为 60°。 例3　如图，正方形 的边长为 2，以点 为圆心、 为半径画弧 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 π）。 例3图 【解答】。 【点评】这是“和差法”的典型应用，关键是看清阴影部分由哪些规则图形组合而成。 例4　如图，⊙O 的半径为 2，弦 所对的圆心角 ，求图中阴影部分（弓形）的面积。 例4图 【解答】作 于 ，则 ，，，∴ ，，。 ，， ∴ 。 例5　如图，圆锥的母线长为 5，底面半径为 3。求圆锥的高、侧面积、全面积以及侧面展开图的圆心角。 例5图 【解答】高 ；；。 设展开图圆心角为 ，则 ，解得 ，即圆心角为 216°。 例6　用一个半径为 6 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求这个圆锥的底面半径和高。 【解答】半圆的弧长为 ，它等于圆锥底面周长，∴ ，。 母线 ，高 。 【点评】解决圆锥问题抓住两个“对应”：扇形半径＝母线，扇形弧长＝底面周长。 四、易错警示 1．弧长公式与扇形面积公式容易混淆：弧长分母是 180，面积分母是 360，且面积中半径要平方。 2．圆锥侧面展开图扇形的半径是圆锥的母线，不是底面半径，也不是圆锥的高。 3．求圆锥全面积时，不要漏掉底面积 。 4．求弓形面积时，要分清劣弧弓形（扇形减三角形）与优弧弓形（扇形加三角形）。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．半径为 3、圆心角为 60° 的扇形的弧长为（　　） A． B．π C．2π D．3π 2．半径为 4、圆心角为 90° 的扇形的面积为（　　） A．π B．2π C．4π D．8π 3．一个扇形的弧长为 ，半径为 6，则这个扇形的面积为（　　） A．12π B．24π C．6π D．36π 4．圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则它的侧面积为（　　） A．15π B．24π C．30π D．12π 5．一条弧所对的圆心角为 30°，弧长为 π，则这条弧所在圆的半径为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 6．如图，分别以正三角形 的三个顶点为圆心、边长为半径画弧，得到的封闭图形称为“莱洛三角形”。若 ，则莱洛三角形的周长为（　　） 第6题图 A．π B．2π C．3π D．4π 二、填空题 7．圆心角为 150°、半径为 12 的扇形的弧长为________。 8．一个扇形的半径为 3，面积为 3π，则它的圆心角为________°。 9．圆锥的底面半径为 6，高为 8，则它的母线长为________，侧面积为________，全面积为________。 10．用一个圆心角为 120° 的扇形围成一个底面半径为 2 的圆锥侧面，则这个扇形的半径为________。 11．如图，在Rt△ABC 中，，，以点 为圆心、 为半径画弧 ，则图中阴影部分的面积为________。 第11题图 12．时钟的分针长 6 cm，经过 20 分钟，分针针尖走过的路径长为________cm，分针扫过的面积为________cm²。 三、解答题 13．如图， 是⊙O 的直径，，点 在⊙O 上，。求劣弧 的长和图中阴影部分（扇形 ）的面积。 第13题图 14．如图，正方形 的边长为 4，分别以点 、 为圆心、4 为半径在正方形内画弧，求图中阴影部分的面积。 第14题图 15．一个圆锥的母线长为 6，它的侧面展开图的圆心角为 120°。求这个圆锥的底面半径、高和全面积。 B组　能力提升 16．若扇形的圆心角不变，半径扩大为原来的 2 倍，则弧长扩大为原来的________倍，面积扩大为原来的________倍。 17．如图，在Rt△ABC 中，，，。将△ABC 绕点 顺时针旋转 60° 得到△A′B′C。求点 经过的路径长及线段 扫过的面积。 第17题图 18．若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径之比为________。 19．如图， 是⊙O 的直径，弦 于点 ，，，连接 、。 第19题图 （1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分（弦 与劣弧 围成的弓形）的面积。 C组　拓展探究 20．如图，在扇形 中，，，分别以 、 为直径在扇形内作半圆，两个半圆重叠部分的面积记为 ，扇形内两个半圆外部分的面积记为 。 第20题图 （1）求证：；（2）求 的值。 21．如图是一个圆锥的侧面展开图，圆锥的母线 ，底面半径为 1。一只蚂蚁从底面圆周上的点 出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到点 ，求蚂蚁爬行的最短路程。 第21题图 D组　中考链接 22．第6题中的莱洛三角形的面积为________。 23．用半径为 30 cm、圆心角为 120° 的扇形纸片围成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），则纸帽的底面半径为（　　） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm 24．一个扇形的面积为 ，弧长为 ，则这个扇形的半径为________。 25．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为________°。 【课堂小结】 1．两个公式：，。 2．阴影面积：和差法、割补法、等积变形法，化不规则为规则。 3．圆锥：母线 、高 、底面半径 满足 ；展开图扇形半径＝母线，弧长＝底面周长；，。 六、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．B　【解析】。 2．C　【解析】。 3．A　【解析】。 4．A　【解析】。 5．B　【解析】，。 6．B　【解析】莱洛三角形由三段弧组成，每段弧所对圆心角为 60°、半径为 2，周长 。 7．10π　【解析】。 8．120　【解析】，。 9．10；60π；96π　【解析】，，。 10．6　【解析】，。 11．π-2　【解析】。 12．4π；12π　【解析】分针 60 分钟转 360°，20 分钟转 120°。路径长 ，面积 。 13．解：，（同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍）。 劣弧 的长 ；。 14．解：连接 。以 为圆心的弧与 围成的弓形面积为 。 同理，以 为圆心的弧与 围成的弓形面积也为 ，∴ 。 15．解：展开图弧长 ，∴ ，。 高 ；。 B组　能力提升 16．2；4　【解析】 与 成正比； 与 成正比，扩大 倍。 17．解：点 的运动路径是以 为圆心、 为半径、圆心角为 60° 的弧， 路径长 ；线段 扫过的面积为扇形面积 。 18．2∶1　【解析】，即 ，。 19．（1）解：∵ ，∴ 。，在Rt△OCE 中 ， 设 ，则 ，，，∴ 半径 。 （2）解：，，△OBC 是边长为 2 的等边三角形，（ 为高）。 。 C组　拓展探究 20．（1）证明：，两个半圆的面积和为 。 两个半圆覆盖的部分面积为 （重叠部分被计算了两次），∴ 。 （2）解：设两半圆的另一个交点为 ，、 的中点分别为 、，连接 、、，则 ，且 ，∴ 四边形 是正方形，。重叠部分被 分成两个全等的弓形， 每个弓形面积 ，∴ 。 21．解：展开图扇形的弧长等于底面周长 ，设圆心角为 ，则 ，。 蚂蚁爬行的最短路程是展开图中线段 的长。在等腰Rt△ASA′ 中，。 D组　中考链接 22．　【解析】莱洛三角形面积 。 23．B　【解析】， cm。 24．6　【解析】，。 25．180　【解析】，，。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $