3.5 第4课时三角形的内切圆-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

方法归纳 求与多边形各边（或延长线）相切的 圆的半径的一般方法 解决与多边形各边（或延长线）相切的圆的半径问 题时，可将这个多边形分割（或补充）成以圆心到各边的 距离为高的几个三角形的和（或差），再运用整体的数学 思想建立方程求得这个圆的半径.当然，有时也需要根 据问题隐含的条件考虑所有可能出现的情形，分类讨论 进行解答 第4课时三角形的内切圆 1.B连接OB,OC.点O是△ABC的内心，∠A=84°， ∴.BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.∴.∠OBC= 3∠AC,∠0CB=号∠ACB.:∠B0C=180 ∠OBC-∠0CB=180°-2（∠ABC+∠ACB)=180°- 3(180-∠A)=90+号∠A=132::点0也是 △DC的外d,∠D-2∠BOC=6: 2.129°：∠CDE=78°，.∠ADC=180°-∠CDE= 180°-78=102°.四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠B= 180°-∠ADC=180°-102°=78°.∴.∠BAC+∠BCA= 180°-∠B=180°-78=102°.点I是△ABC的内心， .IA,IC分别平分∠BAC,∠BCA.∴.∠IAC+∠ICA= 号∠BAC+号∠BCA=(∠BAC+∠BCA)=X 102°=51°.∴.∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA)=180°- 51°=129°. 3.(1)如图①，点P即为所求.(2)如图②，点Q即为 所求. ① ② (第3题) 4.C如图①，当∠A是锐角时，点O为△ABC的外 心，∠BOC=120°，∴.易得∠A=60°..∠ABC+ ∠ACB=120°.：点I为△ABC的内心，∴.易得∠IBC+ ∠ICB=60°.∴.∠BIC=120°.如图②，当∠A是钝角时， ∠BOC=120°，∴.易得∠A=120°.∴.∠ABC+ ∠ACB=60°.：点I为△ABC的内心，∴.易得∠IBC+ ∠ICB=30°.∴.∠BIC=150°.综上所述，∠BIC的度数为 120°或150°， 01 B ① (第4题) 易错警示 不会分类讨论导致错误 解答这类问题时，往往会忽略所给三角形的外心位 于三角形的形内或形外，导致错误 5.4如图，延长ID至点M,使DM=ID,连接CM,则 IM=2ID=10.点I为△ABC的内心，.∠IAC= ∠IAB,∠ICA=∠ICB.BD=BD,∴.∠BAD= ∠BCD,即∠IAB=∠BCD.∴.∠IAC=∠IAB= ∠BCD.:'∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+ ∠ICB,∴.∠DIC=∠DCI..ID=CD.DM=ID, ∴.ID=CD=DM=5..易得∠ICM=90°.∴.CM= √IM-IC=√10-6=8.A1=2CD,∴.AI=10. ∴.AI=IM.又，E为AC的中点，∴.IE为△ACM的中 位线E=2CM=4 M (第5题) 6.(1)⊙E是△ACD的内切圆，F,G,I是切点， .CI=CG,AI=AF.AC=BC,.'AC-CI=BC- CG,即AI=BG.AF=BG.(2)EH=AB.理由： 如图，连接AE,BE,CE.⊙E是△ACD的内切圆， ∴.CE平分∠ACD.∴.∠ACE=∠DCE,即∠ACE= (AC=BC, ∠BCE.在△ACE和△BCE中，∠ACE=∠BCE, CE=CE. ∴.△ACE≌△BCE(SAS.∴.∠AEC=∠BEC,AE= BE.,⊙E是△ACD的内切圆，∴.∠ACE=∠DCE= 3∠ACD,∠CAE=∠FAE=3∠CAD.&∠ABC= 1B80-(∠ACE+∠CAE)=180°-号（∠ACD+∠CAD). :∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC,∠ADC=90°， ÷∠AbC=18r-2×(180-90=135:∠BB0=135 ∴.∠AEB=360°-∠AEC-∠BEC=360°-135°-135°=90°， 又，AE=BE,∴△ABE为等腰直角三角形.EH⊥AB, AH=BH,即H为AB的中点.“EH=AB. D H B (第6题) 方法归纳 解决含60°，90°，120°角的三角形的 内切圆的相关问题的一般方法 解决含60°，90°，120°角的三角形的内切圆的相关问 题时，可利用内切圆的性质求得这个特殊角的内心角（即 特殊角对边的两个顶点分别与内心连接而成的角)的度 数，再结合图形的相关性质求出相关的边长或角的度数 专题特训七圆中的分类讨论 1.D如图.：PA,PB分别切⊙O于点A,B, .∠OAP=∠OBP=90°.∠P=70°，∴.∠AOB= 360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-70°= 110.当点C在优弧AB上时，∠ACB=7∠AOB=55, 当点C'在劣弧AB上时，∠AC'B=180°-∠ACB=125°， 综上所述，∠ACB的度数为55或125°. A (第1题) 2.15或165如图，∠A0B=30,则∠C=2∠A0B= 15°.：四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴.∠D= 180°一∠C=165°.因此，弦AB所对的圆周角的度数为15 或165°. ADB (第2题) 3.45或135°如图，连接OA,OB,过点O作OD LAB于 点D,在⊙O上AB的两侧分别取点E,F,连接AE,BE, AF,BF.:P是弦AB上的一动点，且2≤OP≤2， .OD=2..AD=√OA2-OD=W2.∴.AD=OD ∴.∠OAB=∠AOD=45°.：OA=OB,OD⊥AB, .∠AOD=∠BOD.∴.∠AOB=2∠AOD=90..∠AEB= ∠A0B-45,:∠E+∠F=180,∠F-135.综上 1 所述，弦AB所对的圆周角的度数为45°或135. (第3题) 4.2或4如图，记该圆为⊙O,过点O作OD⊥AB,OE⊥ AC,垂足分别为D,E,连接OA,0C',AE=AC 5,AD-2AB=1,AE=CE,AD=BD.在R△OEA中， OE=VOA-AE-2-5-1.40E=20A,则 ∠OAE=30°.同理，可得∠AOD=30°.∴.∠AOE=90° ∠OAE=60°..OC=OA=OB,∴.∠AOE=∠COE= 60°，∠AOD=∠BOD=30°.当AB,AC在圆心O的异侧 时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=60°×2+30°×2=180°， ∴.BC是⊙O的直径.∴.BC的长为4.当AB,AC在圆心 O的同侧时，，'AC'=AC=23,OA=OA,OC=OC=2, ∴.△A0C'≌△AOC(SSS)..∠AOC'=∠AOC=120° ∴.∠BOC'=∠AOC-∠AOB=120°-60°=60° OB=OC',∴.△OBC是等边三角形.∴.BC'=OB=2. 综上所述，弦BC的长为2或4. B (第4题) 5.75或15°如图，当AF在OA的上方时，连接OE,OF, OB,过点O作OH⊥EF于点H.:OE=OB,OF=OC, EF=BC,∴.△OEF≌△OBC(SSS).∴.易得∠C= ∠OBC=∠E=∠OFE.,以OC长为半径的圆切AB于 点B,.OB⊥AB.,四边形OABC是平行四边形， ∴.OA=BC,ABOC..OB⊥OC..△OBC是等腰直 角三角形..易得∠C=∠OAB=∠OBC=45°.∴.∠E= ∠EFO=45.·易得OH=2EF.:OA=BC=EF, ∴.OH= 0A.·易得∠0AH=30∠BAF=46+拔尖特训· 数学（苏科版）九年级上 第4课时 三角形的内切圆 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心.若∠A=84°，则∠D的度数为 () A.42° B.66 C.76 D.82 (第1题) (第2题) 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心，点E在AD的延长线上，∠CDE=78°， 则∠AIC的度数为 3.如图①②，在6×6的正方形网格中，有部分网格线被擦去，点A,B,C在格点（正方形网格的交 点)上 (1)请用无刻度的直尺在图①中找到△ABC的外心P. (2)请用无刻度的直尺在图②中找到△ABC的内心Q. ① ② (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.易错题已知△ABC的外心为，点O,内心为点I,∠BOC=120°，则∠BIC的度数为 A.120 B.130° C.120°或1509 D.130°或150 5.如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D,AI= 2CD,E为AC的中点，连接EI,IC.若IC=6,ID=5,则IE的长为 B D 6.★如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,AD是边BC上的高，⊙E是△ACD的内 (第5题) 切圆，分别与边AD,CD,AC相切于点F,G,I. (1)求证：AF=BG, (2)过点E作EH⊥AB于点H,试探究EH与AB之间的数量关系，并说明理由. E H (第6题) 64 >“答案与解析”见P40 第3章圆 专题特训七 圆中的分类讨论 类型一点与圆的位置的分类讨论问题 1.已知P是⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O于点A,B,∠P=70°，C是⊙O上的点（不与点A,B 重合)，则∠ACB的度数为 () A.70 B.55° C.70°或110° D.55或125° 类型二点或弦位置的分类讨论问题 2.已知圆中的一条弦所对的圆心角是30°，则这条弦所对的圆周角的度数是 3.如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的一动点，且√2≤OP≤2，则弦 AB所对的圆周角的度数为 0, 4.在半径为2的圆中，弦AB,AC的长分别为2,23，则弦BC的长为 B (第3题) 类型三点的运动位置的分类讨论问题 5.如图，在□OABC中，以点O为圆心、OC长为半径的圆切AB于点B,F是圆上一动点，作射线 AF交⊙O于另一点E.当EF=BC时，∠BAF的度数为 B D (第5题) (第6题) 6.分类讨论思想如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H,连接OB.已知OB=2cm, ∠OBC=30°，动点E在直径AD上从点D向点A以1c/s的速度运动，运动时间为ts,连接 BE.当∠OBE=30时，t的值为 类型四相切位置的分类讨论问题 y 7.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(0,2)，(4,0)，P是直线y= 2x十2上的一动点，当以点P为圆心、PO长为半径的圆与△AOB的一条边所 B 在的直线相切时，点P的坐标为 (第7题) 8.在△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,点P在∠ABC的平分线上，以点P为圆心作⊙P. (1)如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切. (2)当⊙P同时与直线BC,AC相切时，⊙P的半径为 (第8题) “答案与解析”见P41 65