3.5 第2课时切线的判定与性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

2PF=2cm.∴.⊙P的圆心在直线AB上向右运动了6十 2-8(cm)后与CD相切.：⊙P运动所用的时间=9 8(s).综上所述，当⊙P的运动时间t(s)满足4<t<8时， ⊙P与直线CD相交 D D B A —B C ① ② (第10题) 11.(1)如图①，过点C作CD⊥AB于点D.:'∠ACB= 90°，AC=4,BC=3,.AB=√32+4=5.S△Ac= 2AC·BC=AB·CD,4CD-AC5BC-13- AB 5 2.4.又AB与⊙C相切，.r=CD=2.4.(2)①由 (1)知，当AB与⊙C相切时，只有1个交点，此时r=2.4. ②如图②，当AB与⊙C相交且只有1个交点时，易得3< r≤4.综上所述，r=2.4或3<r≤4.(3)①如图③，当 0<r<2.4时，AB与⊙C有0个交点.②如图①，当r 2.4时，AB与⊙C有1个交点.③如图④，当2.4<r≤ 3时，AB与⊙C有2个交点.④如图②，当3<r≤4时， AB与⊙C有1个交点.⑤如图⑤，当r>4时，AB与⊙C 有0个交点.综上所述，当0<r<2.4或r>4时，AB与 ⊙C有0个交点；当r=2.4或3<r≤4时，AB与⊙C有 1个交点；当2.4<≤3时，AB与⊙C有2个交点. ② ③ ⑤ (第11题) 12.4cm或2cm设⊙O的半径为rcm.由题意易知，需 要分两种情况进行讨论：①如图①，当直线，，l2在圆心O 同侧时，易得r一1=3，解得r=4.②如图②，当直线11， l2在圆心O异侧时，易得r+1=3,解得r=2.综上所述， 3 ⊙0的半径为4cm或2cm. l21 0 ① ③ C (第12题) (第13题) 13.(1)1.(2)2.如图，设⊙P与直线l交于点F,E 当点D,F或点B,E重合时，正方形ABCD与⊙P只有一 个公共点，此时OP=1+1=2.(3)当正方形ABCD与 ⊙P的公共点个数为0时，OP>2;当正方形ABCD与 ⊙P的公共点个数为1时，OP=2;当正方形ABCD与 ⊙P的公共点个数为2时，√2一1<OP<2;当正方形 ABCD与⊙P的公共点个数为4时，OP=0或OP=√2一 1;当正方形ABCD与⊙P的公共点个数为6时，0<OP< 2-1. 第2课时切线的判定与性质 1.DAE⊥CD,∴.∠AED=90°.当OC∥AE时， ∠OCD=90°，即OC⊥DE.OC是⊙O的半径，∴.CD 切⊙O于点C.故A正确，不符合题意.：AE⊥CD, ∴.∠AED=90°，则∠CAE+∠ACE=90°.：OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA.当∠OAC=∠CAE时，∠OCA+ ∠ACE=90°，即OC⊥DE.OC是⊙O的半径，∴.CD切 ⊙O于点C.故B正确，不符合题意.当∠OCA=∠CAE 时，OC∥AE.,AE⊥CD,.∠AED=90°.∴.∠OCD= 90°，即OC⊥DE.,OC是⊙O的半径，∴.CD切⊙O于点 C.故C正确，不符合题意.当OA=AC时，由OA=OC,得 OA=OC=AC,则△OAC是等边三角形，∴.∠OCA=60°. 无法确定∠OCD=90°，不能得到CD切⊙O于点C.故D 不正确，符合题意 2.C连接OB.AB切⊙O于点B,.AB⊥OB. ∴.∠ABO=90°.BD∥OA,∠DCO=25°，∴.∠D= ∠DC0=25°.∴.∠AOB=2∠D=50°..∠A=90°- ∠AOB=40°. 3.相切如图，连接AD,OD.,AB是⊙O的直径， ∴.AO=BO,∠ADB=90°..AD⊥BC.AB=AC, ∴.BD=CD.∴.OD是△ABC的中位线.∴.OD∥AC. :DE⊥AC,∴.DE⊥OD.OD是⊙O的半径，∴.DE 与⊙O相切. B 0 C E (第3题) 4.√2OA⊥BC于点D,∴.CD=BD= Bc=1, ∠ODC=90°..∠AO0C=45°，..△OCD为等腰直角三角 形.∴.易得OC=2CD=√2..OA=OC=√2.AE是 ⊙O的切线，∴.OA⊥AE.∴.∠OAE=90°.·∠AOE= 45°，∴.△AOE为等腰直角三角形.∴.AE=AO=√2. 5.(1)连接OA.:∠C=60°，.∠BOD=120°.又 AB=AD,∴.∠AOB=∠AOD=60°.又OA=OD, ∴.△AOD为等边三角形.∴.AD=OD.AB=AD, OB=OD,∴.AB=AD=OB=OD.∴.四边形ABOD为菱 形.(2)AM与⊙O相切.理由：△AOD为等边三角 形，∴.∠AD0=∠OAD=60°.∴.∠ADM=120°.又 OD=DM,OD=AD,∴.DM=AD.∴.∠DAM=30°. ∴.∠OAM=∠OAD+∠DAM=60°+30°=90°.∴.OAL AM.又.OA为⊙O的半径，∴.AM与⊙O相切. 6.B解法一：如图①，过格点A,B,C作一段圆弧， .易得三点所在圆的圆心为O(2,0).当O'B⊥EF时，直 线BF与圆弧相切，此时E(1,3),F(5,1).∴选项所给的 格点中，与，点B的连线能够与该圆弧相切的是点(1,3). 解法二：如图②，·过格点A,B,C作一段圆弧，∴易得三 点所在圆的圆心为O'(2,0).当∠O'BD十∠EBF=90时， BF与圆弧相切，易得△BO'D≌△FBE,∴.EF=BD=2, ∴，点F的坐标为(5,1).∴.直线BF上的格点满足题意 ∴.选项所给的格点中，与点B的连线能够与该圆弧相切 的是点(1,3). 10 010'D 2 ⑦ ② (第6题) 易错警示 不会运用切线的判定定理而仅凭主观臆断导致错误 解答这类问题时，往往需要先确定圆的圆心，再连 接圆心和已知，点，进而运用切线的判定定理确定可能经 过的点。 78 如图，连接EO并延长，交AB于点H,连接AO. 四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,ABCD,∠D ∠DAH=90°.：边CD与⊙O相切于点E,∴.HE⊥CD ∴.∠DEH=90°，HE⊥AB.∴.∠AHO=90°，AH= 合AB.:∠DAH=∠D=∠DEH=90,·四边形 AHED是矩形.∴.HE=AD.设OH=x,则AD=AB= HE=x+1.AH=生.：在R△AH0中，由勾股定 理，得A0=AH+OH,1P=(号)+x2,解得 =号=-1（不合题意，舍去）.AD=多：正方 3 形ABCD的边长为 D B C (第7题) (第8题) 8.4如图，连接EO并延长，交CD'于点G,连接DF.由 题意，易得BC=BC=4,CD=AB=5,∠B'=∠B=90°. A'B与⊙O相切于点E,.GE⊥A'B.又易知 A'DGELCD.cG=G-2CF.:易得四 边形B'CGE为矩形，∴.EG=B'C=4..OE=OC= 2CD-2.50G=G-0E=4-2.5=1.5在 Rt△0CG中，CG=√0C2-0G=√2.52-1.5=2. .CF=2CG=4. 9.(1)PA,PB是⊙O的切线，OA,OB是⊙O的半径， ∴.OA⊥PA,OB⊥PB.OC∥PA,CD⊥AP,∴.CD⊥ OC...∠OAD=∠CDA=∠OCD=90°.∴·四边形OADC 是矩形.∴.C=AD.(2)设OC=AD=x.四边形 OADC是矩形，⊙O的半径是3，PA=9,∴.OA=OB= CD=3,PD=PA-AD=9-x.:OC∥PA,∴.∠OCB= ∠P.OB⊥PB,CD⊥AP,∴.∠OBC=∠CDP=90°.在 |∠OCB=∠P, △OCB和△CPD中， ∠OBC=∠CDP,.△OCB≌ OB=CD, △CPD(AAS..BC=DP=9-x.在Rt△OCB中，由勾 股定理，得OC2=OB2+BC2,.x2=32+(9-x)2,解得 x=5..0C=5. 10.(1)四边形ABCD内接于⊙O,.∠ABC+ ∠ADC=180°.：∠ADE+∠ADC=180°，∴.∠ABC= ∠ADE.:AB=AC,.∠ABC=∠ACB.∠ACB= ∠ADB,∴.∠ADB=∠ADE.∴.DA平分∠BDE. (2)连接OB,OC,OA.ABCD,.∠BAD=∠ADE. 由(1)知，∠ADB=∠ADE,∴.∠BAD=∠ADB.∴.AB= BD.:'CE=BD,∴.AB=CE..四边形ABCE是平行四 边形.∴.BC∥AE.:OB=OC,∴.点O在线段BC的垂直 平分线上.AB=AC,∴，点A在线段BC的垂直平分线 上..OA垂直平分BC.∴.OA⊥AE.OA为⊙O的半 径，∴.AE是⊙O的切线. 方法归纳 判定切线的常见方法 要说明直线与圆相切，关键就是说明这条直线与圆 的半径垂直，往往有两种思路：①如果直线过圆上一个 已知点，那么连接圆心与这个已知点，证明这条半径与 直线垂直.②如果直线没有过圆上的已知，点，那么过圆 心作这条直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于 圆的半径 11.(1) 思路导引 OA=OB AE⊥BD ∠FAE=2∠ABD∠FOA=2∠ABD∠FOA+∠EAO=90 ∠FAE=∠FOA ∠FAE+∠EAO=90° 0A为⊙0的半径 OA⊥AF 确定直线AF与⊙O相切 直线AF与⊙O相切.理由：：∠FAE=2∠ABD ∠FOA=2∠ABD,.∠FAE=∠FOA.:AE⊥BD, ∴.∠AEO=90°..∠FOA+∠EAO=90°.∴.∠FAE+ ∠EAO=90°，即∠FAO=90°..OA⊥FA.OA为⊙O 的半径，∴.直线AF与⊙O相切. (2) 思路导引 延长AE交⊙O于点H,连接BH AH⊥BD BD为⊙O的直径 ■ BD垂直平分AH AB-AC BH=AB AC=BH 设⊙0的半径为r AC=BH OE=r-1,0A=r AE⊥BD AH=BC AE+OE-0A AH=BC=4 求得⊙0的半径 AE=2AH-2 如图，延长AE交⊙O于点H,连接BH.BD为⊙O的 直径，AE⊥BD,∴.BD为AH的垂直平分线.∴.BA= BH.AB=AC,∴.BH=AC..BH=AC.∴.易得 AH=BC.·.AH=BC=4.·AE=2AH=2设O0的 半径为r,则OE=OD-DE=r一1，在Rt△OAE中， AE2+OE2=OA2,.22+(r-1)2=r2,解得r=2.5. ∴.⊙0的半径为2.5. (第11题)》 2 第3课时切线长 1.D如图，连接OA,OB.由切线的性质及切线长定理， 得∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE,DB=DE,PA=PB. :∠P=40°，∴.∠AOB=360°-∠P-∠OAP ∠OBP=360°-40°-90°-90°=140°.∴.∠AFB= ∠AOB=70,△PCD的周长=PC+CE+DE+PD PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=10. 0 D B (第1题) 2.DCA,CD是⊙O的切线，∴.CA⊥AB,CA=CD :∠C=48,∠CAD=∠CDA=号X(180-∠C)= 7X180-48)=66,AB是⊙0的直径，“∠ADB ∠CAB=90°.∴.∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+ ∠DAB=90°.∴.∠DBA=∠CAD=66° 3.20由四边形ABCD是⊙O的外切四边形，可得AB+ CD=BC+AD.,BC:AB:AD=3:4:6,∴.设BC= 3x,AB=4x,AD=6x.∴.4x+CD=3x+6x.∴.CD= 5x.:四边形ABCD的周长为72，∴.3x十4x+5x+6a= 72,解得x=4.∴.CD=5x=20. 易错警示 不会挖掘圆外切四边形的特征导致错误 解答这类问题时，往往会出现不知圆外切四边形的 对边和相等而导致错误的情况， 4.(1)ADOE.理由：CE,BE是⊙O的切线，.OD⊥ CE,OB⊥BE.∴.∠ODE=∠OBE=90°.在Rt△DOE和 OD=OB, Rt△BOE中， ∴.Rt△DOE≌Rt△BOE(HI). OE=OE, ∴.∠DOE=∠BOE.OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD. :∠DOB=∠DOE+∠BOE=∠ODA+∠OAD, .∠DOE=∠ODA..AD∥OE.(2)CE,BE是 ⊙O的切线，.DE=BE=6..CE=DE十CD=6+4= 10.∴.在Rt△CBE中，BC=√CE-BE=8.设OB= OD=r,则OC=8一r.在Rt△CDO中，由勾股定理，得 CD+OD2=OC2,即4+r2=(8-r),解得r=3.∴.⊙O 的半径为3. 5.A解法一：如图，设半圆O的半径是R,半圆O与AD, DC,CB相切于点E,F,H,连接OE,OD,OF,OC,OH.设拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 第2课时 切线的判定与性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作AE⊥CD,垂足为E,连 接AC,OC.若要使CD切⊙O于点C,则下列条件中，添加后不正确的是 () A.OC∥AE B.∠OAC=∠CAEC.∠OCA=∠CAED.OA=AC B 0 0 E B (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，AB切⊙O于点B,连接OA,交⊙O于点C,过点B作BDOA,交⊙O于点D,连接CD. 若∠DCO=25°，则∠A的度数为 () A.25° B.30° C.40° D.45° 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC上一点，过点D作DE⊥AC,垂足为E,以AB为直径 作⊙O,⊙O经过点D,则DE与⊙O的位置关系是 4.如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切线，AE交OC的延 长线于点E.若∠AOC=45°，BC=2,则AE的长为 5.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O,∠C=60°，AB=AD,连接OB,OD,延长OD 至点M,使得DM=OD,连接AM. (1)求证：四边形ABOD为菱形. (2)试判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由. (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 6,一题多解易错题如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一段圆弧，下列y↑ 格点中，与点B的连线能够与该圆弧相切的是 () A.点(0,3) B.点(1,3) 01 C.点(6,0) D.点(6,1) (第6题) 60 第3章圆 7.如图，正方形ABCD的顶点A,B都在⊙O上，且边CD与⊙O相切于点E.如果⊙O的半径为 1,那么正方形ABCD的边长为 0 (第7题) (第8题) 8.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O,将矩形ABCD绕点C旋转，使所 得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E,边CD'与⊙O相交于点F,则CF的长 为 9.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，连接OA,OB,过点O作OC∥PA,交PB于点C,过 点C作CD⊥AP,垂足为D. (1)求证：OC=AD. (2)若⊙O的半径是3，PA=9,求O℃的长 D (第9题) 10.★如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,延长CD至，点E,使CE=BD,连接AE. (1)求证：DA平分∠BDE, (2)若ABCD,求证：AE是⊙O的切线. B D (第10题) 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC,连接BO并延长，交⊙O于点D,过点A作AE⊥ BD,垂足为E,点F在BD的延长线上，连接AF,使∠FAE=2∠ABD,连接OA,OC (1)试判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由. (2)若DE=1,BC=4,求⊙O的半径. (第11题) ●“答案与解析”见P36 61