3.4-3.6《圆周角、点与圆、直线与圆的位置关系、正多边形与圆》同步练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.4-3.6《圆周角、点与圆、直线与圆的位置关系、正多边形与圆》同步练习 一．选择题 1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 3．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若∠ADB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 5．如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．34° B．39° C．51° D．56° 6．如图所示，是由正八边形与正方形构成的组合图案，图中阴影部分为植草区域，若正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则植草区域的面积为（图中阴影部分的面积）（　　） A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 7．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点A，与y轴的一个交点为B．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（3，0），则点B的坐标是（　　） A．（0，7） B．（0，8） C．（0，9） D．（0，10） 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 二．填空题 9．如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知∠BCD＝40°，则∠BOD的度数为　 　 ． 10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上．若∠ACB＝72°，则∠P为　 　 °． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为　 　 ． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 　 　 ． 13．如图，在正多边形ABCD…PMN中，若∠AMB＝18°，则该多边形的边数为 　 　 ． 14．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于D点，若O为△BCD的内心，则　 　 ． 15．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠ACD的度数为　 　 ． 16．如图，在正五边形ABCDE中，F，G分别为边AB，DE的中点，连接AC，FG，交于点P，则∠CPG＝　 　 °． 17．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是边AB上的一个动点，点O是边BC上的一个动点，且始终满足BE：BO＝1：2，连接OE，以点O为圆心，OE长为半径作圆，当⊙O与矩形ABCD的边有且只有三个公共点时，BE长等于　 　 ． 18．已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是 　 　 ． 三．解答题 19．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E． （1）求证：∠EAD＝∠BAC； （2）若的度数为64°，则∠E的度数为 　 　 °． 20．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AD恰为⊙O的直径，点A恰为的中点．过点A作射线AF，使∠EAF＝∠ADE． （1）AF与⊙O相切吗？为什么？ （2）若∠EAF＝42°，则∠BCD＝　 　 °． 21．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长． 22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长． 23．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC并延长至点D，使DC＝AC，连接BD交⊙O于点E，延长BD至点F，连接AF，使∠FAD∠ABD． （1）求证：FA是⊙O的切线； （2）若FD＝4，FA＝8，求BE的长． 24．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D，分别交边BC、边AB于点E、点F．（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法） （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝6，求⊙O的半径． （3）在（1）的条件下，求证：∠BOD＝2∠BDC． 26．如图1，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交BC、AB于点D、E． （1）求证：BD＝CD； （2）若BE＝4，AE＝14，则BC＝　 　 ； （3）结合第（1）问的结论，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图： 如图2，已知⊙O及⊙O外一点P，在⊙O上取一点N，连接PN交⊙O于点M，使得PM＝MN．（保留作图痕迹，简要写出作法） 参考答案 一．选择题 1．解：∵O的半径为5，点P在⊙O外， ∴OP＞5， 故选：D． 2．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°， ∴∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝60°， ∵∠ADC＝50°， ∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CEB＝∠B+∠BDE＝60°+40°＝100°， 故选：A． 3．解：如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，∠ADB＝18°，连接OA，OB， ∴∠AOB＝2∠ADB＝36°， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＝∠EBC＝65°． ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝65°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°， ∴∠DBC＝∠CAD＝50°， 故选：A． 5．解：如图，连接OP，交AC于H， ∵PA，PC是⊙O的切线， ∴PA＝PC，∠APO＝∠CPO∠APB＝34°，∠OAP＝90°， ∴OP⊥AC， ∴∠PAH＝90°﹣∠APO＝56°， ∴∠BAC＝90°﹣56°＝34°， 故选：A． 6．解：△ABC是等腰直角三角形，且AB＝a， 则AC＝BCa， 则S△ABCAC•BCa•a， 中间的正方形的面积是：a2， 则阴影部分的面积是：4a2＝2a2． 故选：A． 7．解：如图，过点P作PD⊥OB于点D，连接PA、PB， ∵⊙P与x轴相切于点A， ∴PA⊥x轴， 则四边形DOAP为矩形， ∴PD＝OA＝3，OD＝PA＝3， 在Rt△BDP中，PD＝3，PB＝5， 由勾股定理得：BD4， ∴OB＝OD+BD＝5+4＝9， ∴点B的坐标为（0，9）， 故选：C． 8．解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴OG⊥AC，AG＝CG， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2， ∵S△BCFBF•CFBC•FH， ∴FH2， ∵S△OCFOC•FHOF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4， 故选：B． 二．填空题 9．解：∵AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴∠BCD∠BOD， ∵∠BCD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°， 故答案为：80°． 10．解：如图，连接OA、OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝2×72°＝144°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠P＝180°﹣∠AOB＝180°﹣144°＝36°， 故答案为：36． 11．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BDC＝∠BAC＝40°， 故答案为：40°． 12．解：如图，连接OB，OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC90°， ∴∠BPC∠BOC＝45°， 故答案为：45°． 13．解：如图，设这个正n边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，则∠AMB∠AOB＝18°， ∴18°， 解得n＝10， 经检验，n＝10是原方程的解， ∴这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 14．解：连接OB、OC，则OB＝OC， ∵△ABC内接于⊙O， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CD⊥AB于D点， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∵O为△BCD的内心， ∴BO平分∠DBC，CO平分∠DCB， ∴∠OBC∠DBC，∠OCB∠DCB， ∴∠DBC∠DCB，∠OBC+∠OCB（∠DBC+∠DCB）＝45°， ∴∠DBC＝∠DCB，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°， ∴BD＝CD，∠DAC∠BOC＝67.5°， ∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝22.5°， 在线段CD上截取ED＝AD，连接AE，则∠EAD＝∠AED＝45°， ∴∠EAC＝∠DAC﹣∠EAD＝22.5°， ∴∠ACD＝∠EAC， ∴CE＝AEAD， ∴BD＝CD＝CE+EDAD+AD， ∴， 故答案为：． 15．解：设上点D的对应点为点E，连接AE、CE，如图， ∵将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D， ∴∠EAC＝∠BAC＝26°，∠DCA＝∠ECA； ∴∠BAE＝52°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°； ∵四边形AECB是圆内接四边形， ∴∠ECB＝180°﹣∠BAE＝128°， ∴∠DCA＝∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝38°， 故答案为：38°． 16．解：连接BD， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠E108°， 在△ABC中，AB＝BC，∠B＝108°， ∴∠BAC＝∠BCA36°， ∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°， ∴∠CAE+∠E＝72°+108°＝180°， ∴AC∥DE， 同理AE∥BD，即四边形ABDE是等腰梯形， ∵点F是AB的中点，点G是DE的中点， ∴FG∥AE∥BD， ∴∠CPG＝∠CAE＝72°． 故答案为：72． 17．解：当圆与AD相切时，得到4，x， OB+44＞7， 此时圆与边AB，CD，AD各有一个交点， 当OE＝OD时， x2+4x2＝（6﹣2x）2+42， x1＝2，x2＝﹣26（舍去）， 故答案为：或2． 18．解：连接OP， ∵点P是AM的中点， ∴OP⊥AM， ∴点P在以OA为直径的圆上，设为⊙Q， ∴OQ＝AQ＝QP＝1， 连接BQ，与⊙Q的交点即为P点，此时BP有最小值，最小值为BQ﹣QP， 作ON⊥AB于N，QH⊥AB与H， ∵OA＝OB， ∴N是AB的中点， ∵∠BOA＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴ANOA，AHAQ，QHAQ， ∴AB＝2， ∴BH， ∴BQ， ∴BP的最小值为1， 故答案为1． 三．解答题 19．（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， 由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC， ∴∠EAD＝∠BAC； （2）解：∵的度数为64°， ∴∠ACB＝32°， ∵∠EAD＝∠BAC，∠EDA＝∠ABC， ∴∠E＝∠ACB＝32°， 故答案为：32． 20．解：（1）AF与⊙O相切， 理由：∵AD是⊙O的直径， ∴∠E＝90°， ∵∠EAF＝∠ADE， ∴∠OAF＝∠EAF+∠EAD＝∠ADE+∠EAD＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA， ∴AF与⊙O相切． （2）连接BD，则∠ABD＝90°， ∵点A为的中点，∠EAF＝∠ADE＝42°， ∴， ∴∠ADB＝∠ADE＝42°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝48°， ∴∠C＝180°﹣∠BAD＝132°， 故答案为：132． 21．（1）证明：连接OD， 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠BOD＝∠COD＝60°， ∵OB＝OD，OC＝OD， ∴△BOD和△COD是等边三角形， ∴OB＝BD＝DC＝OC， ∴四边形OBDC是菱形； （2）解连接OA， ∵OB＝OA，∠ABO＝15°， ∴∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°， ∴AC． 22．（1）证明：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，点C是的中点， ∴，OA＝OB， 根据垂径定理得：OC⊥AB， 在△ABD中，OA＝OB，AC＝CD， ∴OC是△ABD的中位线， ∴OC∥BD， ∵OC⊥AB， ∴BD⊥AB， 即BD⊥OB， 又∵OB是⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线； （2）解：∵AO＝2， ∴OC＝OB＝OA＝2， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵BD是⊙O的切线，OC⊥AB， ∴∠COE＝∠FBE＝90°， ∵点E是OB的中点， ∴OE＝BE， 在△COE和△FBE中， ， ∴△COE≌△FBE（ASA）， ∴OC＝BF＝2， ∵∠FBE＝90°， ∴△ABF是直角三角形， 由勾股定理得：AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AHB＝90°， 即BH⊥AF， 由三角形面积公式得：S△ABFAF×BHAB×BF， ∴BH． 23．（1）证明：连接BC，如图： ∵AB是⊙O的直径，且点C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD， 又∵DC＝AC， ∴BC垂直平分AD， ∴BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA， 设∠FAD＝α， ∵， ∴∠ABD＝2α， 在等腰△BAD中，， ∴∠BAF＝∠BAD+∠FAD＝（90°﹣α）+α＝90°， ∴FA⊥AB， ∵AB是⊙O的直径，且点A在⊙O上， ∴FA是⊙O的切线； （2）解：设BD＝x， 由（1）知，BA＝BD， ∴BA＝BD＝x， ∵FD＝4， ∴FB＝FD+DB＝4+x， 在Rt△FAB中， ∵FA2+AB2＝FB2，且FA＝8， ∴82+x2＝（4+x）2， 解得x＝6， ∴BA＝BD＝6，FB＝4+6＝10， 连接AE，如图： ∵AB是⊙O的直径，且点E在⊙O上， ∴∠AEB＝90°，即AE⊥BF， ∵， ∴FA•AB＝FB•AE，即8×6＝10AE， 解得， ∵在Rt△AEB中，， ∴． 24．（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝EAD， ∴EA∥OD， ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴直线DE与⊙O相切． （2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示： ∴∠DFA＝∠DEA＝90°， 在△EAD和△FAD中， ， ∴△EAD≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE＝8，DF＝DE， ∵OA＝OD＝5， ∴OF＝3， 在Rt△DOF中，DF4， ∴DE＝DF＝4． 25．（1）解：①作∠ABC的平分线BD，交AC于点D， ②过点D作DO⊥AC于点D，交AB于点O， ③以点O为圆心，OD为半径画圆，交AB于点E，如图， 则⊙O即为所求作． （2）解：连接OD，如图， ∵AC与⊙O相切， ∴OD⊥AC， ∴∠ODA＝90°， 设OD＝OB＝x， ∴AO＝AB﹣OB＝6﹣x， ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝30°， 在Rt△ADO中，则AO＝2OD， ∴6﹣x＝2x， 解得x＝2， ∴⊙O的半径为2． （3）证明：连接BD，如图， 设∠ODB＝m°， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD＝m°． ∴∠BOD＝180°﹣2m°＝2（90°﹣m°）， ∵AC为⊙O的切线， ∴OD⊥AC． ∴∠BDC＝∠ODC﹣∠ODB＝90°﹣m°， ∴∠BOD＝2∠BDC． 26．（1）证明：连接AD， ∵AC是圆的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）如图，连接EC， 则∠AEC＝90°， ∵BE＝4，AE＝14， ∴AC＝AB＝18， ∴CE2＝AC2﹣AE2＝128， 在Rt△BEC中，BC12， 故答案为：12； （3）如图，直线PN即为所求的直线l． 学科网（北京）股份有限公司 $