3.5 第3课时切线长-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 *第3课时切线长 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，PA,PB为⊙O的两条切线，直线CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.F为⊙O 上一点，连接AF,BF.若∠P=40°，PA=5,则∠AFB的度数和△PCD的周长分别为() A.40°，10 B.80°，10 C.70°，15 D.70°，10 0. B D B (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA,CD是⊙O的切线，A,D为切点，连接BD,AD. 如果∠C=48°，那么∠DBA的度数是 () A.32 B.48° C.60 D.66° 3.易错题如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形.若BC:AB:AD=3:4:6,且四边形 ABCD的周长为72，则边CD的长为 4.如图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E作⊙O的两条切线EC,EB,切点分别为D,B,EC交 BA的延长线于点C,连接OE,AD,OD. (1)AD与OE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若EB=6,CD=4,求⊙O的半径， (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.一题多解如图，半圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其他三边均相切.若AB=10, AD=6,则CB的长为 () A.4 B.5 C.6 D.8 B (第5题) (第6题) 6.如图，以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交边AD于点E. 若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为 () A.12 B.13 C.14 D.15 62 第3章圆 7.如图，正方形ABCD的边长为1，边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在 AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积. D E 0 (第7题) 8.如图，AB为⊙O的直径，PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于 点Q. (1)求证：OQ=PQ (2)连接BC并延长，交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长. (第8题) 的三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.★舒考向探究题【探究问题】 (1)如图①，PM,PN,EF分别切⊙O于点A,B,C,猜想△PEF的周长与切线长PA之间的数 量关系并证明， 【变式迁移】 (2)如果(1)中的条件不变，且点P到点O的距离为10cm,△PEF的周长为16cm,那么⊙O的 半径为 cm. 【拓展提高】 如图②，E是∠MPN的边PM上一点，EF⊥PN于点F,⊙O与边EF及射线PM、射线PN都 相切. (3)画出符合条件的⊙O. (4)若EF=3,PF=4,求⊙O的半径. M M E 0 ① ② (第9题) ●“答案与解析”见P38 6311.(1) 思路导引 OA=OB AE⊥BD ∠FAE=2∠ABD∠FOA=2∠ABD∠FOA+∠EAO=90 ∠FAE=∠FOA ∠FAE+∠EAO=90° 0A为⊙0的半径 OA⊥AF 确定直线AF与⊙O相切 直线AF与⊙O相切.理由：：∠FAE=2∠ABD ∠FOA=2∠ABD,.∠FAE=∠FOA.:AE⊥BD, ∴.∠AEO=90°..∠FOA+∠EAO=90°.∴.∠FAE+ ∠EAO=90°，即∠FAO=90°..OA⊥FA.OA为⊙O 的半径，∴.直线AF与⊙O相切. (2) 思路导引 延长AE交⊙O于点H,连接BH AH⊥BD BD为⊙O的直径 ■ BD垂直平分AH AB-AC BH=AB AC=BH 设⊙0的半径为r AC=BH OE=r-1,0A=r AE⊥BD AH=BC AE+OE-0A AH=BC=4 求得⊙0的半径 AE=2AH-2 如图，延长AE交⊙O于点H,连接BH.BD为⊙O的 直径，AE⊥BD,∴.BD为AH的垂直平分线.∴.BA= BH.AB=AC,∴.BH=AC..BH=AC.∴.易得 AH=BC.·.AH=BC=4.·AE=2AH=2设O0的 半径为r,则OE=OD-DE=r一1，在Rt△OAE中， AE2+OE2=OA2,.22+(r-1)2=r2,解得r=2.5. ∴.⊙0的半径为2.5. (第11题)》 2 第3课时切线长 1.D如图，连接OA,OB.由切线的性质及切线长定理， 得∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE,DB=DE,PA=PB. :∠P=40°，∴.∠AOB=360°-∠P-∠OAP ∠OBP=360°-40°-90°-90°=140°.∴.∠AFB= ∠AOB=70,△PCD的周长=PC+CE+DE+PD PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=10. 0 D B (第1题) 2.DCA,CD是⊙O的切线，∴.CA⊥AB,CA=CD :∠C=48,∠CAD=∠CDA=号X(180-∠C)= 7X180-48)=66,AB是⊙0的直径，“∠ADB ∠CAB=90°.∴.∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+ ∠DAB=90°.∴.∠DBA=∠CAD=66° 3.20由四边形ABCD是⊙O的外切四边形，可得AB+ CD=BC+AD.,BC:AB:AD=3:4:6,∴.设BC= 3x,AB=4x,AD=6x.∴.4x+CD=3x+6x.∴.CD= 5x.:四边形ABCD的周长为72，∴.3x十4x+5x+6a= 72,解得x=4.∴.CD=5x=20. 易错警示 不会挖掘圆外切四边形的特征导致错误 解答这类问题时，往往会出现不知圆外切四边形的 对边和相等而导致错误的情况， 4.(1)ADOE.理由：CE,BE是⊙O的切线，.OD⊥ CE,OB⊥BE.∴.∠ODE=∠OBE=90°.在Rt△DOE和 OD=OB, Rt△BOE中， ∴.Rt△DOE≌Rt△BOE(HI). OE=OE, ∴.∠DOE=∠BOE.OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD. :∠DOB=∠DOE+∠BOE=∠ODA+∠OAD, .∠DOE=∠ODA..AD∥OE.(2)CE,BE是 ⊙O的切线，.DE=BE=6..CE=DE十CD=6+4= 10.∴.在Rt△CBE中，BC=√CE-BE=8.设OB= OD=r,则OC=8一r.在Rt△CDO中，由勾股定理，得 CD+OD2=OC2,即4+r2=(8-r),解得r=3.∴.⊙O 的半径为3. 5.A解法一：如图，设半圆O的半径是R,半圆O与AD, DC,CB相切于点E,F,H,连接OE,OD,OF,OC,OH.设 CD=y,CB=.设S#5An=S,则S=2(CD+AB)R= 0+10)R①.S=Sax+Sam+5a=R十 1 R+号×6R@.联立①@，解得x=4,即CB=4 1 解法二：连接OC,OD.AD,CD是⊙O的切线，.易得 ∠ADO=∠ODC.由梯形ABCD,可得CD∥AB, .∠ODC=∠AOD...∠ADO=∠AOD..∴.AD=OA. AD=6,..OA=6..'AB=10,..OB=AB-OA= 10一6=4.同理，可得CB=OB=4. DF C E 0 (第5题) 6.C设AE的长为x.:CE与半圆O相切于点F, .AE=EF,BC=CF.EF FC+CD+ED=12, ∴.AE+ED+CD+BC=12,即AD+CD+BC=12. :AD=CD=BC=AB,∴.正方形ABCD的边长为4.在 Rt△CDE中，ED2+CD=CE,即(4-x)2+4=(4+ x)2,解得x=1.∴.AE+EF+FC+BC+AB=14.∴.直 角梯形ABCE的周长为14. 7.设AF=x.,四边形ABCD是正方形，∴.∠D= ∠DAB=∠ABC=90°.∴.AB⊥DA..AB是⊙O的直 径，∴AD是⊙O的切线.CF是⊙O的切线，E为切 点，.EF=AF=x.同理，可得CE=CB=1..FD= AD-AF=1-x,CF=CE+EF=1+x.在Rt△CDF中， 由勾股定理，得CD2+DF2=CF2,即1+(1-x)2=(1+ x,解得x=}DF=1-=是Sam=CD DF-2X1X3- 48 8.(1)连接OP.PA,PC分别与⊙O相切于点A,C, ,.PA=PC,OA⊥PA,OC⊥PC.·OA=OC,OP=OP .∴.△OPA≌△OPC(SSS)..∴.∠AOP=∠COP.PQ1 PA,∴.PQ∥AB.∴.∠QPO=∠AOP.∴.∠COP= ∠QPO.∴.OQ=PQ.(2)设OA=r,则PA=PC= AB=2r.OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB.由(1)，得PQ∥ AB,∴.∠QDC=∠OBC.:'∠OCB=∠QCD,∴.∠QCD= ∠QDC..CQ=QD=6..OQ=PQ,∴.OQ-QC= PQ-QD,OC=PD=r..PQ=QD+PD=6+r. :PC是⊙O的切线，∴.OC⊥PC.∴.∠OCP=∠PCQ= 90°.在Rt△PCQ中，由勾股定理，得PQ=PC+CQ,即 (6十r)2=(2r)2+6,解得r=4或r=0(不合题意，舍去). .OA=4,AP=8..在Rt△AOP中，OP=√OA+AP= 45.'OC=PD,OB=OC,∴.OB=PD.又：PQ∥AB, 即OBPD,∴.四边形OBDP是平行四边形.∴.BD= OP=45. 9.(1)△PEF的周长=2PA.:PA,PB分别切⊙O于点 A,B,.PA=PB.:PA,EF分别切⊙O于点A,C, ∴.EA=EC.同理，可得FC=FB.∴.△PEF的周长= PE+EF+PF-PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+ PF=PA+PB=2PA.(2)6.连接OA,OP.'PM 切⊙O于点A,∴.OA⊥PM.由(1)知，△PEF的周长= 2PA=16cm,∴.PA=8cm.又：PO=10cm,∴.在 Rt△PAO中，由勾股定理，得OA=√PO2-PA=6cm (3)如图①②，⊙0即为所求.(4)如图①，设⊙0分别 与射线PM、射线PN、边EF相切于点A,B,C,连接OA, OB,OC.∴.AE=CE,∠OBF=90°，∠OCF=90° EF⊥PN,∴.∠CFB=90°..四边形OCFB为矩形. 又：C=OB,∴.四边形OCFB为正方形.∴CF=BF= OC.设⊙O的半径为r,则CF=BF=.在Rt△PEF 中，EF=3,PF=4,∴.PE=√PF2+EF=5,AE= CE=3-r.:'PA=PB,∴.PE+AE=PF+BF,即5+ 3-r=4十r,解得r=2..⊙0的半径为2.如图②，连接 OE,OF,OP.设⊙O的半径为R.:EF⊥PN, ∴.∠EFP=90°.在Rt△PEF中，EF=3,PF=4, PE=√Pm+EF=5.:易得Sam=之(EF+ PP+PE,R=EP,P合X3+4+5R=2× 3X4,解得R=1.∴.⊙0的半径为1.综上所述，⊙0的半 径为2或1. ① ② (第9题) 9 方法归纳 求与多边形各边（或延长线）相切的 圆的半径的一般方法 解决与多边形各边（或延长线）相切的圆的半径问 题时，可将这个多边形分割（或补充）成以圆心到各边的 距离为高的几个三角形的和（或差），再运用整体的数学 思想建立方程求得这个圆的半径.当然，有时也需要根 据问题隐含的条件考虑所有可能出现的情形，分类讨论 进行解答 第4课时三角形的内切圆 1.B连接OB,OC.点O是△ABC的内心，∠A=84°， ∴.BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.∴.∠OBC= 3∠AC,∠0CB=号∠ACB.:∠B0C=180 ∠OBC-∠0CB=180°-2（∠ABC+∠ACB)=180°- 3(180-∠A)=90+号∠A=132::点0也是 △DC的外d,∠D-2∠BOC=6: 2.129°：∠CDE=78°，.∠ADC=180°-∠CDE= 180°-78=102°.四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠B= 180°-∠ADC=180°-102°=78°.∴.∠BAC+∠BCA= 180°-∠B=180°-78=102°.点I是△ABC的内心， .IA,IC分别平分∠BAC,∠BCA.∴.∠IAC+∠ICA= 号∠BAC+号∠BCA=(∠BAC+∠BCA)=X 102°=51°.∴.∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA)=180°- 51°=129°. 3.(1)如图①，点P即为所求.(2)如图②，点Q即为 所求. ① ② (第3题) 4.C如图①，当∠A是锐角时，点O为△ABC的外 心，∠BOC=120°，∴.易得∠A=60°..∠ABC+ ∠ACB=120°.：点I为△ABC的内心，∴.易得∠IBC+ ∠ICB=60°.∴.∠BIC=120°.如图②，当∠A是钝角时， ∠BOC=120°，∴.易得∠A=120°.∴.∠ABC+ ∠ACB=60°.：点I为△ABC的内心，∴.易得∠IBC+ ∠ICB=30°.∴.∠BIC=150°.综上所述，∠BIC的度数为 120°或150°， 01 B ① (第4题) 易错警示 不会分类讨论导致错误 解答这类问题时，往往会忽略所给三角形的外心位 于三角形的形内或形外，导致错误 5.4如图，延长ID至点M,使DM=ID,连接CM,则 IM=2ID=10.点I为△ABC的内心，.∠IAC= ∠IAB,∠ICA=∠ICB.BD=BD,∴.∠BAD= ∠BCD,即∠IAB=∠BCD.∴.∠IAC=∠IAB= ∠BCD.:'∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+ ∠ICB,∴.∠DIC=∠DCI..ID=CD.DM=ID, ∴.ID=CD=DM=5..易得∠ICM=90°.∴.CM= √IM-IC=√10-6=8.A1=2CD,∴.AI=10. ∴.AI=IM.又，E为AC的中点，∴.IE为△ACM的中 位线E=2CM=4 M (第5题) 6.(1)⊙E是△ACD的内切圆，F,G,I是切点， .CI=CG,AI=AF.AC=BC,.'AC-CI=BC- CG,即AI=BG.AF=BG.(2)EH=AB.理由： 如图，连接AE,BE,CE.⊙E是△ACD的内切圆， ∴.CE平分∠ACD.∴.∠ACE=∠DCE,即∠ACE= (AC=BC, ∠BCE.在△ACE和△BCE中，∠ACE=∠BCE, CE=CE. ∴.△ACE≌△BCE(SAS.∴.∠AEC=∠BEC,AE= BE.,⊙E是△ACD的内切圆，∴.∠ACE=∠DCE= 3∠ACD,∠CAE=∠FAE=3∠CAD.&∠ABC= 1B80-(∠ACE+∠CAE)=180°-号（∠ACD+∠CAD). :∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC,∠ADC=90°，