3.4 第2课时圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

∠AGE=∠DGF,∴.∠A=∠DGF.∴.∠DGF+ ∠D=90°.∴.∠DFG=90°.∴.EF⊥CD. 11.(1)如图，连接OA,OC,过点O作OH⊥AC于点H. :∠ABC=120°，BM平分∠ABC,∴.∠MBA= ∠MBC=2∠ABC=60.:AM=AM,CM=CM, ∴.∠ACM=∠ABM=60°，∠MAC=∠MBC=60°. ∴.∠AMC=60°.∴.△AMC是等边三角形，∠AOC 2∠AMC=120°.，AO=C0,∴.∠OAC=∠0CA=30°. OH LAC.AC2AH-CH-AC- Rt△AOH中，∠OAH=30°，∴.易得OA=2OH.∴.易得 OH=1,OA=2..⊙O的半径为2.(2)AB+BC= BM.如图，在BM上截取BE=BC,连接CE.·'∠MBC 60°，∴.△EBC是等边三角形.∴BC=EC,∠BCE=60°. ∴.∠BCA+∠DCE=60°.∠ACM=60°，∴.∠ECM+ ∠DCE=60°.∴.∠BCA=∠ECM.:'△AMC是等边三角 BC=EC. 形，∴.AC=MC.在△ACB和△MCE中，∠BCA=∠ECM, AC-MC. '.△ACB≌△MCE(SAS)..AB=ME..'ME+BE= BM,∴.AB+BC=BM. M 0 HD B (第11题) 方法归纳 证明两条线段之和等于第三条线段的一般方法 解决这类问题时，可采用两种思路：①在第三条线 段上截取一条线段等于两条线段中的一条线段，再构造 图形中的两个三角形全等，证得第三条线段中剩下的线 段等于另一条线段②在两条线段中的一条线段的延长 线上，截取一条线段等于另一条线段，再构造图形中的两 个三角形全等，证得这两条线段之和等于第三条线段. 12.(2,0)连接PB,PA,过点B作BE⊥x轴于点E,过 点A作AF⊥x轴于点F.由点A,B的坐标，可得OE=1, AF=3.∠ACB=45,.∠APB=90°.∴∠BPE+ ∠FPA=90°.：'∠BPE+∠EBP=90°，.∠EBP= ∠FPA.∠BEP=∠PFA=90°，BP=PA, ∴.△BPE≌△PAF(AAS).∴.PE=AF=3.设P(a,0), a+1=3..a=2.P(2,0). (1D二AB为⊙O的直径，CDLAB于点E,BC BD..CF CB,.CF=BC=BD.:'BD+BC= BC+CF,即CD=BF.∴.CD=BF.(2)如图①，连接 BC.由(1)，得CF=BD,CD=BF=4,.∠FBC= ∠BCD..BG=CG..AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点 E,.DE=CE=CD=2.设EG=x,则BG=CG=2 x.在Rt△BEG中，EG+BE2=BG,即x2+1=(2- x,解得x=子GE的长为子 (3)如图②，连接 OC,交BF于点L.:AF-AE,:号∠AOF=∠OBF. OC=OB. 在△OCG和△OBG中，{OG=OG,.△OCG2△OBG CG-BG. (SSS).∴.∠COG=∠BG.∴.∠IOB=2∠EOG.OF= OB,CF=BC,.易得OC⊥BF.∴.∠OIB=90 ∠I10B+∠IB0=90,2∠E0G+号 ∠AOF=90°. B ① ② (第13题) 第2课时圆周角定理的推论 及圆内接四边形的性质 1.BAB是⊙O的直径，.∠ACB=90°.∴.∠CAB+ ∠B=90°.∠CAB=40°，∴.∠B=50°..∠ADC= ∠B=50° 2.B连接AC.,AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°. ∠ACD=∠AED=20°，∴.∠BCD=∠ACB+ ∠ACD=90°+20°=110°. 3.20连接AD.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90° :∠BAC=35°，∴∠ADC=∠ABC=90°-∠BAC= 90°-35°=55..AC=CD,∴.∠DAC=∠ADC=55 ∴.∠BCD=∠BAD=∠DAC-∠BAC=55°-35°=20° 4.150∠A:∠B:∠C=2:1:4,.设∠A=2x, ∠B=x,∠C=4x.:四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，.∠A十∠C=180°，即2x+4x=180°，解得x=30°. ∴.∠B=30°..∠D=180°-∠B=180°-30°=150°. 5.(1)连接CD.BC为半圆O的直径，∴∠BDC=90°. ∴.CD⊥AB.·CA=CB,.AD=BD,即D为AB的中 点.(2)连接BE.:BC为半圆O的直径，∴∠BEC= 90.即∠BEA=90.AD=BD.DE=AD=2AB, 即AD=DE. 6.B连接OC,OD.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB= 90°.AC=BC,OA=OB,.OC⊥AB..∠BOC=90 CD=DE.OD-7CE-CD.OD-CD-C. ∴.△OCD是等边三角形.∴.∠COD=60°.∴.∠CAD= ∠C0D=30.∴.∠AFC=90°-∠CAF=90°-30°=60 1 7.C·四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴.∠A十 ∠BCD=180°.∠CDF是△ADE的外角，∴.∠CDF= ∠A+∠E.:∠BCD是△CDF的外角，∴.∠BCD= ∠F+∠CDF..∠BCD=∠F+∠A+∠E.∴.∠A+ ∠BCD=∠A+∠F+∠A+∠E=180°.∴.2∠A+∠F+ ∠E=180°.：∠E=54°41'，∠F=43°19'，∴.2∠A+ 4319+54°41'=180°..∠A=41. 8.35°连接BC.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90° ∴.∠CAB+∠ABC=90°.，'∠CAB=∠CAD+∠BAD, ∠ABC=∠BCD+∠E,∠BAD=∠BCD,∴.∠CAB+ ∠ABC=∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E=45°+ 2∠BAD+25°=70°+2∠BAD=90°，解得∠BAD=10° ∴.∠CDA=∠BAD+∠E=10°+25°=35° 9.√13-2如图，取AC的中点O',连接BO,BC,O'E ·.C0=E0=2AC=2.CELAD,.∠AEC=90. ∴.在点D运动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运 动.AB是半圆O的直径，∴.∠ACB=90°.在Rt△ABC 中，AC=4,AB=5,∴.BC=√AB2-AC=√5-4 3.在Rt△BCO中，B0'=W√BC+CO7=√32+2= √I3.O'E+BE≥OB,∴.当O',E,B三点共线时，BE 的长最小，最小值为O'B-OE=√3-2. 0 B (第9题) 10.(1).四边形ADBC内接于⊙O,.∠CBD+ ∠CAD=180°.∠CBE+∠CBD=180°，∴.∠CBE= ∠CAD.:AC=CD,∴.∠CBH=∠CAD.∴.∠CBH ∠CBE..BC平分∠ABE.(2)连接CD.:CH⊥AB, CE⊥DB,∴.∠AHC=∠E=90°.AC=CD,.AC= ∠AHC=∠E, CD.在△ACH和△DCE中，∠CAH=∠CDE,∴.△ACH≌ AC-DC, △DCE(AAS).∴.AH=DE. 11.(1):AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=∠ADB=90°， C是AB的中点，∴.AC=BC.∴△ABC是等腰直角三 角形..∠CAB=∠CBA=45.:CD=CD,BD=BD, ∴.∠DAC=∠CBK,∠DAB=∠BCD.设∠DAC= ∠CBK=a,则∠DAB=∠BCD=45°-a,∠AKB=90° a...∠AKB-∠BCD=(90°-a)-(45°-a)=45°. (2)如图，过点C作CH⊥AD于点H.∴.∠CHD=90°= ∠ADB.∠CDH=∠CBA=45°，∴.易得△CHD是等 腰直角三角形.∴.易得CD=√2CH.CD=√2BD, I∠CEH=∠BED, ∴.CH=BD.在△ECH和△EBD中，{∠CHE=∠BDE, CH=BD, ·△ECH≌△EBD(AAS..CE=BE.·.CE=2BC .AB是⊙O的直径，.∠ACE=90°..∠BCK=90 ∴.∠ACE=∠BCK.在△ACE和△BCK中， ∠CAE=∠CBK, AC=BC, .△ACE≌△BCK(ASA).,.CE= ∠ACE=∠BCK, CK..CK-CE-7BC.BC-2CK. (第11题) 微专题·与圆心角和圆周角有关的辅助线 1.A连接OA.AB=CD,.AB=CD.∴∠AOB ∠COD,即∠BOD+∠AOD=∠AOC+∠AOD. ∴.∠ACC=∠BOD=84°..·OC=OA,.∴.∠ACO= ∠C40=2180°-∠A0C)=3×180-89)=48. 2.44°连接BC.:AB是⊙O的直径，∴.∠ACB 90.∠BAC=23°，∴.∠ABC=90°-∠BAC=90° 23°=67.由翻折的性质，得AC所对的圆周角为∠B, ABC所对的圆周角为∠ADC,∴.∠ADC十∠ABC 180°.：∠ADC+∠CDB=180°，∴.∠ABC=∠CDB= 67°.∴.∠DCA=∠CDB-∠BAC=67°-23°=44°. 3.√42BC=CD=AC=25,∴.点B,D,A在以 点C为圆心，2√3为半径的圆上（如图）.延长BC交⊙C 于点B',连接DB',则∠BDB'=90°.：CD=AC, ∴.∠CDA=∠CAD.'AD∥BC,∴.∠B'CD= ∠CDA,∠BCA=∠CAD.∴.∠B'CD=∠BCA. .B'D=AB..DB'=AB=√6.又：BB'=2BC= 43,.在Rt△BDB中，由勾股定理，得BD √BB-DBF=√(4√3)2-(W6)2=√42. D B (第3题) 4拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 第2课时圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025青海中考]如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是 () A.80° B.50 C.40 D.25 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB是⊙O的直径，点C,D,E在⊙O上，连接BC,CD,AE,DE.若∠AED=20°，则 ∠BCD的度数为 () A.1009 B.110° C.115 D.120° 3.如图，在⊙O中，AB为直径，C,D为圆上的两，点，且AC=CD,连接CB.若∠A=35°，则∠BCD 的度数是 4.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A:∠B:∠C=2:1:4,则∠D的度数为°. 5.如图，在△ABC中，CA=CB,以BC为直径的半圆O与AB交于点D,与AC交于点E,连接 DE.求证： (1)D为AB的中点. (2)AD=DE. (第5题) 归二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能么 6.如图，AB是⊙O的直径，AC=BC,弦CD,AB的延长线相交于点E,AD交BC于点F,若 CD=DE,则∠AFC的度数为 () A.52.5° B.60° C.67.5 D.75 B 7E 0 (第6题) (第7题) 7.[2024济宁中考]如图，分别延长⊙O的内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E,F. 若∠E=5441',∠F=4319',则∠A的度数为 () A.42° B.41°20 C.41° D.4020 56 第3章圆 8.如图，AB是⊙O的直径.若∠E=25°，∠CAD=45°，则∠CDA的度数为 0 (第8题) (第9题) 9.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,D是BC上的一个动点，连接AD. 过点C作CE⊥AD于点E,连接BE,则BE长的最小值是 10.如图，四边形ADBC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，AC=CD,CE⊥DB,交DB的延长线于 点E (1)求证：BC平分∠ABE. (2)若CH⊥AB于点H,求证：AH=DE. (第10题) 11.如图，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，点D在BC上，BD,AC的延长线交于点K,连接 AD,BC交于点E,连接CD (1)求证：∠AKB-∠BCD=45°. (2)若CD=√2BD,求证：BC=2CK. (第11题) 微专题·与圆心角和圆周角有关的辅助线 1.[求角度]如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD.若∠BOD=84°，则∠ACO的度数是() A.48° B.42° C.44° D.46 0 (第1题) (第2题) 2.[求角度]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将AC沿弦AC翻折，交AB于点D,连接 CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC=23°，则∠DCA的度数为 3.[求长度]在四边形ABCD中，ADBC,BC=CD=AC=2√3，AB=√6，则BD的长为 ●“答案与解析”见P33 57