3.4 课时3 圆内接四边形 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．4 圆周角 课时3 圆内接四边形 ▌课时目标 1. 理解圆内接四边形的定义及性质（对角互补、外角等于内对角）。 2. 掌握四点共圆的判定方法（对角互补的四边形内接于圆），并能进行简单应用。 3. 能运用圆内接四边形的性质与判定进行角度计算与证明。 ▌课时目录 知识点01：圆内接四边形的定义 知识点02：圆内接四边形的性质 知识点03：圆内接四边形外角等于内对角 知识点04：四点共圆的判定 知识点05：圆内接四边形性质的计算与证明应用 ▌知识点01：圆内接四边形的定义 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 例如：四边形ABCD的四个顶点都在⊙Ｏ上，则ABCD是⊙Ｏ的内接四边形。 注意：并非所有四边形都能内接于圆，只有满足对角互补的才可以。 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 3．（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 4．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当时，求的度数． (2)若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据外角的性质求出，根据圆内接四边形对角互补求出，最后根据外角可得答案； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 四边形内接于， ， ， ； （2）解：由题意得， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． ▌知识点02：圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，即对角之和等于180°。 因为一组对角分别对着两段互补的弧（合起来为整个圆周）。 例如：⊙Ｏ内接四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。 注意：是“对角”互补，邻角一般不互补。 5．（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 6．（2026·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 7．（25-26九年级下·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 8．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． ▌知识点03：圆内接四边形外角等于内对角 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（即相邻内角的对角）。 例如：延长边AB得外角∠CBE，则∠CBE＝∠D（∠D是与∠B相对的内角）。 注意：外角等于“内对角”而非相邻内角，相邻内角与外角互补。 9．（2026·山西太原·一模）如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴； ∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形．根据圆周角定理得到，可知，进而可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 11．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，四边形内接于，点在延长线上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，同角的补角相等，根据圆内接四边形得，又，则，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 12．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． ▌知识点04：四点共圆的判定 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆（四点共圆）。 这是圆内接四边形的判定方法。 例如：四边形ABCD中∠A＋∠C＝180°，则A、B、C、D四点共圆。 注意：判定用“对角互补”，与性质互为逆定理，应用时需先证对角和为180°。 13．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】 （1）如图， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）30；（4）；（5） 【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解； （2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解； （3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得； （4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解； （5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】 （1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 【答案】 （1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，为所求直角三角形； （3）． 【分析】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理； （1）根据直角三角O形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得得出是直角三角形； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 16．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 【答案】(1)， (2) 证明：在上取点D，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P在上运动不与B，C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)7 【分析】（1）由圆周角定理和题意即可得解； （2）在上取点D，使，连接，证明是等边三角形，得，再证明得，从而可得出结论； （3）构造圆内接四边形，延长交圆O于点D，连接，利用B命题建立关于半径的方程求解即可； （4）条件中有2倍角，故构造一个外角等于二倍角从而得到等腰三角形，在线段上截取作，连接，证，可得，从而证明，再过点E作于点G，设，将都用x表示，最后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知因为， 所以A，B，C，D四点共圆， 此时； 故答案为：，； （2）略 （3）解：延长交圆O于点D，连接，，，如图3， 设半径为r，则， ， ， 为直径， ， 在中，， ，， ， ， 即， ， 解得负值舍去， 即扇形的半径的长； （4）解：如图4，在线段上截取，连接， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 过点E作于点G， 设，则，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． ▌知识点05：圆内接四边形性质的计算与证明应用 利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，可求角度、证角相等或线段关系。 例如：已知一内角为100°，其对角为80°；利用外角等于内对角可转化角。 注意：解题先识别“四点共圆”，再选用对应性质，避免与平行四边形性质混淆。 17．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，则_________________°． 【答案】68 【分析】由直径所对圆周角为直角结合题意可求出，再根据圆内接四边形的性质可求出，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点，． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，对角线，交于点，，若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 为等边三角形； (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出，结合，推出，即可证明； （2）作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可得出过圆心，利用勾股定理求得，进一步求得，，连接，设的半径为，则，在中，由得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， ， ， 过圆心， ，，， ， ， ， ， ， 连接，设的半径为，则， 在中，， ， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判断，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 19．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）问题背景：如图1，是的直径，点C，点D在圆上（在直径的异侧），且D为弧的中点，连接．探究思路：如图2，将绕点D顺时针旋转得到，证明C，B，E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决： (2)若点C，点D在直径的同侧，如图3所示，且点D为弧的中点，连接，，求线段的长 （用含有a，b的式子表示）； 拓展探究： (3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)推导过程如下： ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴在中，可得，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) (3)，理由如下： 如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，同理可得：点在上， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，进而可得为等腰直角三角形，由勾股定理可得，进而可知，然后结合，，即可证明结论； （2）将绕点顺时针旋转得到，易得，进而可得；证明为等腰直角三角形，可得，结合，即可获得答案； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，结合旋转的性质以及翻折的性质，易得，进而由勾股定理可得，进一步可得；证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径，为的中点， ∴，， 如下图，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴在上， ∵， ∴， ∴； （3）略 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为_． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积_．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·山东青岛·二模）如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等求出，根据直径所对的圆周角是直角求出，进而求出，最后利用圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】如图，连接， ∵ 与对着同一条弧， ∴ ， ∵ 是的直径， ∴ ， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 2．（2026·江苏淮安·二模）如图，四边形内接于，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再利用等腰三角形性质得出，最后利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，．下列说法错误的是（    ） A．劣弧的度数为 B．优弧与劣弧的度数之差为 C．弦所对的圆周角有2个，小者与大者的度数之比为 D．若弧的度数为，则弧的度数为 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得，再根据劣弧、优弧的定义逐项判断． 【详解】解：A、∵， ∴， 即劣弧的度数为， 故A选项正确； B、∵劣弧的度数为， ∴优弧的度数为， ， 即优弧与劣弧的度数之差为， 故B选项正确； C、弦所对的圆周角有2个，一个为，另一个为， ∴小者与大者的度数之比为， 故C选项正确； D、∵弧的度数为，劣弧的度数为， ∴劣弧的度数为， 故D选项错误． 故选：D． 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 5．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则______． 【答案】/140度 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∴． 6．（2026·江苏南京·二模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由直径所对的圆周角等于90度，由直角三角形两个锐角互余可得出，由圆内接四边形的性质得出． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 7．（2026·江苏常州·模拟预测）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 【答案】140 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·江苏扬州·二模）如图，将绕点A旋转至，使得共线．若，，则的长为____． 【答案】 【分析】作于点H，由旋转可得，再说明点A，点C，点B，点四点共线，可得，然后根据等腰三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， 将绕点A旋转至， ∴． ∵， ∴， ∴点A，点C，点B，点四点共线， ∴． ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中 ，每个小正方形网格的边长为1 ，点A ，B，C都在格点上． (1)的外接圆的圆心坐标为_____，该外接圆的面积为_____ (2)点D在格点上，画出使得 ． 【答案】(1)； (2) 解：如图所示，和即为所求． 【分析】本题主要考查了确定三角形外接圆的圆心的位置，圆内接四边形的性质，熟知三角形外接圆的定义是解题的关键． （1）三角形外接圆的圆心为其三边垂直平分线的交点，据此作出三角形外接圆的圆心位置，即可得到对应的坐标，再利用两点距离计算公式求出对应的半径，即可求出对应的面积； （2）以点为圆心，的长为半径画弧，与格线的交点（在下方）即为点D的位置，根据圆内接四边形对角互补可证明； 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线，二者交于点，则点即为的外接圆的圆心，由图可知点的坐标为， ∵， ∴， ∴该外接圆的面积为； （2）略 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． (1)理解 请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的是_（填序号）． (2)探索 如图，，且．请你用尺规作图在平面内找出动点的轨迹，使得四边形总是邻等内接四边形．（保留作图痕迹，不写作法） (3)应用 为喜迎元旦，某地准备在如图所示的邻等内接四边形空地上摆放花卉，已知，米．米，且．求四边形空地的面积． 【答案】(1)②④ (2) 解：如图所示， (3)平方米 【分析】本题主要考查新定义，尺规作角平分线，圆与四边形的综合知识，掌握圆内接四边形的知识，数形结合分析是关键． （1）根据邻等内接四边形的定义，数形结合分析即可求解； （2）结合（1）中图②，运用尺规作角平分线，作角等于已知角的方法即可求解； （3）根据题意得到点共圆，是直径，取中点为圆心，以为半径画圆，如图所示，连接，交于点，设米，则（米），由勾股定理得到，则可求出米，米，米，根据代入求值即可． 【详解】（1）解：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形” 如图所示，， ∴该四边形不是邻等内接四边形； 如图所示， ， 又， ∴该四边形是邻等内接四边形； 同理，图形③的对角不互补，则不共圆，故不是邻等内接四边形； 图形④的对角互补，邻边相等，故是邻等内接四边形； 故答案为：②④； （2）解：如图所示， 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点， 以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，作射线，则是的角平分线，交于点， ∴， 以点为圆心，以为半径画弧，交于点， 以点为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点，作射线交于点，则， ∴， 以点为圆心，以为半径画弧交于点，作射线交于点，则，连接， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴点共圆，点为圆心， 以点为圆心，以为半径画弧，得到， ∴点在上运动， ∴四边形是所求邻等内接四边形； （3）解：∵米，米， ∴米， ∵四边形是邻等内接四边形， ∴点共圆，且， ∴是直径，取中点为圆心，以为半径画圆，如图所示，连接，交于点， ∴米，， ∴， 设米，则（米）， 在中，， 在中，， ∴， 整理得，，即， 解得，， ∴米，则米， ∴米，则米， ∵是直径， ∴， ∴米， ∴ （平方米）． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.4圆周角 课时3圆内接四边形 课时目标 理解圆内接四边形的定义及性质（对角互补、外角等于内对角）。 2. 掌握四点共圆的判定方法（对角互补的四边形内接于圆），并能进行简单应用。 3 能运用圆内接四边形的性质与判定进行角度计算与证明。 课时目逯 知识点01：圆内接四边形的定义 知识点02：圆内接四边形的性质 知识点03：圆内接四边形外角等于内对角 知识点04：四点共圆的判定 知识点05：圆内接四边形性质的计算与证明应用 知识点01：圆内接四边形的定义 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 例如：四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，则ABCD是⊙O的内接四边形。 注意：并非所有四边形都能内接于圆，只有满足对角互补的才可以。 1/16 A B D C 1.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，已知点A、B、C、D、E在⊙0上，若 ∠B+∠ADC=160°，则∠ADE的度数为 o A E 2.(25-26八年级下·江苏南京期末)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BE是⊙0的直径，连接 CE,若∠BAD=104°，∠DCE=° D B 3.(2026江苏扬州三模)以AB为直径的半圆O上，点C,D的位置如图所示，若∠CAB=20°，则 ∠D=°. D B 4.(26-27九年级上·江苏盐城阶段检测)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点 E.F 2/16 5 (①)当∠B=50°，∠E=35°时，求∠F的度数. (2)若∠E=a,∠F=B,且a≠B.请用含有a,B的代数式表示∠B的大小. 知识点02：圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，即对角之和等于180°。 因为一组对角分别对着两段互补的弧（合起来为整个圆周）。 例如：⊙0内接四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B十∠D=180°。 注意：是“对角”互补，邻角一般不互补。 B 5.(2026江苏苏州三模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，⊙0经过点A,B,C,与CD相交于点 E,连接AE.若∠B=75°，则∠DAE的度数为() A B A.25° B.30° C.35 D.40° 的内接四边形，若1=10° ABCD。⊙O BD 6.(2026江苏南京·二模)如图，四边形 则的度数为 3/16 () D 0 A.55° B.70° C.110° D.140° 7.(25-26九年级下·江苏盐城期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠C=130°，则∠B0D的度数 为 8.(2026-江苏扬州中考真题)如图，C是以1B为直径的O0上一点，点D在BC上.∠1BC=20 ,则 ∠CDB=°. D C B 知识点03：圆内接四边形外角等王内对鱼 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（即相邻内角的对角）。 例如：延长边AB得外角∠CBE,则∠CBE=∠D(∠D是与∠B相对的内角)。 注意：外角等于“内对角”而非相邻内角，相邻内角与外角互补。 4/16 B C 9.(2026山西太原一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0外的一点，连接C4,CB分别交⊙0于 D,E DE,DB∠CAB=50°，∠C=60° EDB 两点，连接 .若 则 的度数为() C D E A.30° B.25° C.20 D.15 10.(25-26九年级上：江苏盐城期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠AOC=120°，则∠CDE的度 数为() B D E A.50 B.60° C.70 D.80° 11.(25-26九年级上浙江台州期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，点E在BC延长线上，若 ∠DCE=50°，则∠BOD等于() 5/16 D A.100° B.115 C.140° D.150° 12.(2026江苏南京·二模)如图，在ABCD中，过A,B,C三点的⊙0交AD于点E. 0. (I)求证CE=CD; ②若点E为4C中点，B=4,BC=6,求O0 的半径 知识点04：四点共圆的判定 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆（四点共圆）。 这是圆内接四边形的判定方法。 例如：四边形ABCD中∠A十∠C=180°，则A、B、C、D四点共圆。 注意：判定用“对角互补”，与性质互为逆定理，应用时需先证对角和为180°。 13.(2425九年级上江苏徐州期中)【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个 点共圆，简称“四点共圆”，在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探 究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证. 6/16 图1 图3 【验证猜想】 己知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作⊙0，假设点C不在⊙O上，则点C在⊙O外或⊙0内 若点C在⊙O外，如图1，设BC交⊙0于C',连接DC',则LDCB>∠C. :四边形ABCD是⊙0的内接四边形， ∴.∠A+∠DC"B=180° ∠A+∠C=180°， .∠DC"B=∠C 与∠DC"B>∠C矛盾，故点C不可能在圆外： 若点C在圆内， (1)在图2中，用直尺和圆规作出过点A,B,D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明： 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？ 请你在此基础上展开探究： (2)如图3，在线段AB同侧有两点C,D,连接AC,BC,AD,BD.如果∠C=∠D,那么A、 B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： (3)如图4，在四边形ABCD中，∠1=∠4，∠2=30°，则∠3= (4)如图5，△ABC中∠CAB=∠CBA=50°，点E在AB上，连接CE,作点B关于CE的对称点B', 连接B'C,B'E,∠B'CE=I8°求∠B'EA的度数； 【拓展延伸】 7/16 (5)如图6，AB=BC=5,∠ABC=60°，点D为平面内一动点，连接DA、DB,若始终有 ∠ADB=60°，当四边形ABCD周长最大时，DC与BD的数量关系是多少？（直接写出答案）. >R B 图4 图5 图6 14.(24-25九年级上：江苏扬州阶段检测)【推理证明】 (1)如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.小明认为：连 接AC,取AC的中点O,连接OB、OD即可证明，请你按照小明思路完成证明过程， 【尝试应用】 (2)如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE,交AC于点F,请利用无刻 度的直尺与圆规在线段CF上确定点P,使∠DPE=90°.（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 (3)在(2)的基础上，若AB=6,BE=2AE,直接写出线段DP的长， D 图① 图② 15.(24-25九年级上·江苏徐州期中)【推理证明】(1)如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， 求证：A、B、C、D四点共圆.小明认为：连接AC,取AC的中点O,连接OB、OD即可证明， 请你按照小明的思路完成证明过程： B 图① 【尝试应用】(2)如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE,交AC于点F, 请利用无刻度的直尺与圆规在线段CF上确定点P,使△DEP是直角三角形.（不写作法，保留作图 8/16 痕迹) B 图② 【拓展延伸】(3)在(2)的基础上，若AB=3,BE=2AE,求线段DP的长， 16.(25-26九年级上江苏南京·阶段检测)从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可 在下面的答题中直接运用. A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在 同一个圆上。 B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和 图① 图② C C 图③ 图④ (1)根据以上两个命题.结合下面的图①填空： 因为∠ACD= 一，所以A,B,C,D四点共圆，此时AC×BD= 2)如图②， ⊙0 是等边△AB C的外接圆，点P在BC上运动不与B,C重合），连结PB,PC求证： PA=PB+PC. C中，∠B0c=9 OBC ,点A在BC上，MB=2AC=4 OB (3)如图③，在扇形 ,求扇形的半径的长。 4)如图④，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，连接AD,点E在AC边上，连接BE,且 ∠AEB=2∠ADB,CD=4,AE=5,那么BE的长为一· 9/16 知识点05：圆内接四边形性质的计算与证明应里 利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，可求角度、证角相等或线段关系。 例如：已知一内角为100°，其对角为80°；利用外角等于内对角可转化角。 注意：解题先识别“四点共圆”，再选用对应性质，避免与平行四边形性质混淆。 17.(25-26九年级下·江苏南京阶段检测)如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且 ∠BAC=46°，AD=CD,则∠DAB= 18.(24-25九年级上江苏盐城阶段检测)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为BC延长线上 一点，BD=AD. E E D B 图① 图② (I)如图①，若∠DCE=60°，求证：△ABD为等边三角形： 2)如图②，对角线AC,BD交于点F,AC⊥BD,若DF=3,AF=4,求OO的半径. 19.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)问题背景：如图1，AB是⊙0的直径，点C,点D在圆上 (在直径AB的异侧)，且D为弧AB的中点，连接AD,BD,CD,AC,BC.探究思路：如图2，将 △ADC绕点D顺时针旋转9O°得到△BDE,证明C,B,E三点共线，从而得到△DCE为等腰直角三角 形，BC+BE=√2CD,从而得出AC+BC=V2CD 10116 D B 6 D D 图1 图2 图3 图4 (I)请你根据探究思路，写出完整的推理过程： 问题解决： (②)若点C,点D在直径AB的同侧，如图3所示，且点D为弧AB的中点，连接CD, BC=a,AC=b(a>b) 求线段CD的长（用含有a,b的式子表示）： 拓展探究： B)将△CBD沿BD翻折得到△MBD,如图4所示，试探究：MA,MB,MD之间的数量关系，并说明理由. 20.(24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测)【回归教材】 (1)苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点.点 B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O,则点A、D、O、E四点也在同一个 圆上.请对教材原题或小明提出的问题进行解答.（选择一个解答即可） E F G B M M 图1 图2 图3 【直接应用】 (2)如图3，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G,EF⊥BD于F,求证：FG∥BC, 【拓展延伸】 (3)如图4，等边三角形ABC中，AB=6,P为AB边上一动点，PD1BC,PE1AC,垂足分别为 D、E.则DE的最小值为- 11/16 B B 图4 图5 图6 (4)如图5，小明完成上面的问题后发现△ABC的两条高BDCE相交于点O,连接AO并延长交BC 于点F.则AF为△ABC的边BC上的高.即三角形的三条高所在直线交于同一点.如图6，己知⊙0 是△ABC的外接圆，BD、CE是△ABC的高，BD、CE相交于点P.若BC=mAP=n,请直接写出 ⊙0 的面积_·（结果请用m,n的代数式表示，并保留） 课时训练 一、选择题 1.(2026山东青岛二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙O的直径，点E在⊙0上，且 ∠BEC=40°，则∠ADC的度数为() D A.120° B.130 C.135° D.140° 2.(2026江苏准安·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠D=100°，AB=AC,则∠BAC的度数是 () 12116 A.80° B.30° C.20° D.10° 3.(2026江苏泰州二模)如图，△ABC内接于⊙0，∠BAC=70°.下列说法错误的是() A 70° A.劣弧BC的度数为140° B.优弧BC与劣弧BC的度数之差为80° C.弦BC所对的圆周角有2个，小者与大者的度数之比为7：11 D.若弧AB的度数为80°，则弧AC的度数为70° 4.(2026江苏盐城模拟预测)如图，四边形ABCD内接于圆O,∠ABC=125°，则∠AOC的度数是 () A.80° B.90° C.100° D.110° 二、填空题 5.(2026江苏盐城模拟预测)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OB,OD,若LBCD=II0°， 则∠BOD=一. 13116 C 6.(2026江苏南京·二模)以AB为直径的半圆O上，点C,D的位置如图所示，若∠CAB=22°，则 ∠D=°. B 7.(2026江苏常州模拟预测)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠B=40°，则∠D的度数为度. D 8.(2026江苏扬州二模)如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C,使得B,C,B共线.若AC=2, ∠ABC=30°，则CC的长为一· B A 三、解答题 9.(25-26九年级上·江苏南京阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1 ,点A,B,C都在格点上. 14116 B (1)△ABC的外接圆的圆心坐标为一，该外接圆的面积为 (2)点D在格点上，画出∠ADB,使得∠ADB+∠ACB=180° 10.(25-26九年级上：江苏苏州期中)我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四 边形叫这个圆的内接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个 圆的“邻等内接四边形” (1)理解 请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形.其中是邻等 内接四边形的是（填序号）· ① (②)探索 如图，∠BAD=60°，且AB=AD.请你用尺规作图在平面内找出动点C的轨迹，使得四边形ABCD 总是邻等内接四边形.（保留作图痕迹，不写作法） 0 B 3)应用 为喜迎元旦，某地准备在如图所示的邻等内接四边形空地上摆放花卉，已知∠BAC=90°，AB=30米. AC=40米，且AB=AD.求四边形空地ABCD的面积. 15116 16/16