1.1 一元二次方程的概念&1.2 第1课时直接开平方法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第1章 1.1一元二次方程的概念 1.A3x2+1=6x,.3x2-6x+1=0.一次项系数 为一6，.二次项系数为3，常数项为1. 2.B.a是方程x2-2026x十1=0的一个根，∴.a2 2026a+1=0.∴.a2+1=2026a,a2=2026a-1,a≠0. ÷a-2026+2=0,即a+2=2026.÷a2-2025a十 2026 20202026a-1=2025a+2026a-1+20267 a2+1 1=2025 3.3(m十3)xm1-(m-3)x-5=0是关于x的一 fm+3≠0， 元二次方程， 解得m=3. m-1=2, 易错警示 忽视概念的隐含条件导致错误 解决与一元二次方程概念有关的问题时，常常会出 现仅考虑最高次项的未知数为2，却忽视隐含条件二次 项系数不能为0而导致的错误 4.-1把x=1代人(a-1)x2-ax十a2=0,得a2=1. ∴.a=±1.由题意，得a-1≠0，即a≠1.∴.a=-1. 5.C根据题意，得2x(-1)=15. 6.A:关于x的一元二次方程x2十a.x十b=0有一个非 零实数根一b,.b2一b十b=0.一b≠0，即b≠0，∴.方 程两边同时除以b,得b一a+1=0.,.a一b=1. 7.A关于x的两个不同的方程x2十a.x十1=0和 x2一x一a=0恰有一个公共根，∴.x2十ax十1=x2一x a,即(a+1)x十a+1=0.易得a≠-1，∴.a+1≠0. ∴.x=-1.∴.x=-1是公共根.把x=一1代人x2+ a.x+1=0,得1-a十1=0，解得a=2. 方法归纳 根据方程的根确定待定系数的一般方法 对于这类几个方程具有公共根，需确定其中待定系 数的问题，解答时，可先根据它们存在的一个公共根联 立方程组，通过消元、降次的方法，找到方程的根与待定 系数之间的数量关系，再根据隐含的条件确定这几个方 程的公共根，最后将方程的根代入方程求得待定系数 8.2023关于x的方程a(x十2)2+bx十2b=-1变形为 a(x十2)2+b(x十2)+1=0，此方程可看作关于(x+2)的 一元二次方程，x=2025是关于x的方程ax2十bx十 元二次方程 1=0的一个根，∴.x+2=2025是关于(x+2)的方程 a(x+2)2+b(x+2)+1=0的一个根.∴.x+2=2025,解 得x=2023.∴.关于x的方程a(x+2)2+bx+2b= 一1必有一个根为x=2023. 9.10根据一元二次方程的解的定义把x=m代人方程 得到m2+m-4=0,∴.m2+2m=m十4..m3+2m2- 3m+6=m(m2+2m)-3m+6=m(m+4)-3m+6= m2+m+6.由m2+m-4=0可知，n2+m=4,∴.m3+ 2m2-3m+6=m2+m+6=4+6=10. 10.(1)在Rt△ABC中，：BC=1,AC=2,.AB= √1？+2=√5.∴.AE=AD=AB=5.:点A表示的数 为1，∴.OE=AE-OA=5-1,OD=AD+OA=5+1. ∴.点D表示的数为5+1，即m=5+1,点E表示的数 为-√5+1，即n=-5+1.(2)把x=√5+1代人方程 x2+bx-4=0,得(W5+1)2+(W5+1)b-4=0,解得 b=一2，即b的值为一2.(3)琮琮说得不对.由(2)，得方 程为x2一2x一4=0.把x=-√5十1代入方程x2一2x 4=0,:左边=(-√5+1)2-2(-5+1)-4=5-2√5+ 1十25-2-4=0，∴.左边=右边.∴.x=n是此方程的 根∴.琮琮说得不对. 1.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法 1.D:关于x的方程(x一2)2=m+1有实数根， .∴.m十1≥0，解得m≥-1. 24由ar=6ab>0,得r=女解得x=±后， ∴.两根互为相反数.，一元二次方程ax2=b(ab>0)的两 个根分别是m一1和2m十4，∴.m一1+2m+4=0,解得 m=-1.∴.m-1=-2,2m十4=2.∴.一元二次方程 b=2. ax2=b(ab>0)的两个根分别是-2和2.六√ 六名=4 3.6+3解(x-2)2=3,得x1=2十√3，x2=2-3. :方程(x一2)2=3的两个根为a和b,且a>b,∴.a=2十 √3，b=2-√3.∴.2a+b=2×(2+3)+2-√3=6+3. 4.(1)x1=23,x2=-23.(2)x1=4,x2=-4. (3)x1=6,x2=-2.(4)y1=0y2=-8. 5.C由(a2+b2一3)2=25，得a2+b2-3=±5..∴.a2+ b2=3±5，解得a2+b2=8或a2+b2=一2（不合题意， 舍去). 易错警示 忽视代数式本身的隐含条件导致错误 因为a2≥0，b2≥0，所以a2+b2≥0.若忽视a2十 b2所隐含的条件，则易导致错误！ 6.x1=2,x2=一2由题意，得(2x十1)￥x=8可化为 (2x十1)x一x=8,解得x=士2.∴.该方程的解为x1=2, x2=-2. 7.2或-1min{(x-1)2,x2}=1,.当(x-1)2= 1时，解得x1=2,x2=0(不合题意，舍去)；当x2=1时，解 得x3=一1，x1=1(不合题意，舍去).综上所述，x=2 或一1. 8.(1)32;9.d(-3,4)=4×(-3)2-4=32,d(3, -2)=3×(-2)2-3=9.(2)|d(a,2)=8,∴.d(a, 2)=±8.若d(a,2)=8,当a>2时，4a-a=8,解得a= 号：当a<2时，2a-2=8解得a,=-5a:=5(不合 题意，舍去).若d(a,2)=-8,当a>2时，4a一a=一8，解 得a=-号（不合题意，合去)：当a<2时，2a-2=-8,无 实数根，综上所述，当1da,21-8时a的值为或一5 第2课时配方法 1.Dx2-6x+7=0,x2-6x=-7,x2-6x+9=-7+ 9,(x一3)2=2，则m=3,n=2. 2.A先移项，再配方，变形后即可判断甲的解法是正确 的：移项，方程两边都除以2，再配方，即可判断乙的解法也 是正确的. 易错警示 对配方法缺乏本质的理解而导致错误 配方法的本质是方程一边转化为完全平方式，另一 边是实数如果这个实数是非负数，那么这个方程有实 数根：反之，如果这个实数是负数，那么这个方程没有实 数根.关键是左边是一个什么形式的完全平方式，方程 的变形只需满足等式的性质即可.解题时往往会由于对 配方法缺乏本质的理解而导致错误 3.1由(x十m)2=3,得x2十2m.x十m2-3=0,,∴.2m= 4,m2-3=n.∴.m=2,n=1.∴.(m-n)2027=1. 4.3x2+6x=40,x2+6x+9=40十9，(x+3)2=49, .m=3. 5.(1)x1=-5+33,x2=-5-33.(2)x1=-2+ 22=-2-2.-+-2 3 (4)x1=-4,x2=2 6.D由题意知，x2-2-2023=0,x2-2x=2023,x2- 2x+1=2023+1,(x-1)2=2024,..a=-1,b=2024 .a0=(-1)221=1. 7.D方程x2一6x十g=0配方后是(x一p)2=7, .x2一2r+b2=7..一6=-2，解得=3，即(x一 3)2=7..x2-6x+9-7=0.∴.q=2..x2+6x十g=0, 即x2十6x十2=0配方后是(x+3)2=7. 8.72a2+b2-4a-6b+11=0,∴.2a2-4a+2+b2- 6b+9=0..2(a-1)2+(b-3)2=0.∴.a-1=0,b-3= 0,解得a=1,b=3.∴.3-1<c<3+1,即2<c<4.:c是 正整数，.c=3.∴.△ABC的周长为1十3十3=7. 9.a>b>c'm,n均不为0，.a-b=m2+m十 n2-mn+n2=m2+2n2>0.:.a>b.b-c=mn-n2- 5m+4m2+3n2=4m2-4mm+2n2=(2m-n)2+n2>0, ∴.b>c..a>b>c. 10.0.(a2+4a+6)(2b2-4b+7)10,.(a2+4a+ 4+2)(2b2-4b+2+5)10..[(a+2)2+2][2(b 1)2+5]≤10..2(a+2)2(b-1)2+5(a+2)2+4(b- 1)2+1010.,∴.2(a+2)2(b一1)2+5(a+2)2+4(b 1)2≤0..2(a+2)2(b-1)2≥0,5(a+2)2≥0,4(b- 1)20,.a+2=0,b-1=0.∴.a=-2,b=1..a十 2b=-2十2=0. 11.(1)把x=0代入方程，得a2一4=0，解得a1=2, a2=-2.由题意，得a十2≠0.∴.a≠-2.∴.a=2. (2)把a=1代人方程，得3x2+3x-3=0,即x2十x=1. 重方，得+十子=是即(+)》°=子解得 15 2+2x25-22 12.将原方程拆成两个二次三项式组成的方程，得(a2x2一 2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0.∴.(ax-b)2+(ba- c)2=0.又：a,b,c,x都是实数，即(a.x-b)≥0，(bx一 c)≥0，.ax-b=0,bx-c=0.又：a,b均不为0，易 得==x b a 一微专题·配方法的应用 1.a<-4分式 1 x2-Ax-a 不论x取何值总有意 义，∴.其分母必不等于0.把分母整理，得(x2一4x十 4)-a-4=(x-2)2-a-4,∴.(x-2)2-a-4≠0. ∴.-a-4D0,即a<-4. 2.>A-B=x2+6y+1-(-y2+2x-9)=x2 2x十1+y2+6y+9=(x-1)2+(y+3)2.x≠1， y≠-3，.A-B=(x-1)2+(y+3)2>0..A>B. 3.22或24将等式配方变形后，可得(a一5)2+(b 8)2=0.:(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴.a-5=0,b 8=0,解得a=5,b=8.c为最长边的长，∴.8<c< 5十8，即8<c<13.,c为奇数，.c为9或11.∴.这个 三角形的周长为5+8十9=22或5+8+11=24.第1章一元二次方程 1.1一元二次方程的概念 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知一元二次方程3x2+1=6x的一次项系数为一6，则它的二次项系数和常数项分别为（) A.3,1 B.-3,-1 C.3,-1 D.-3x2,-1 2已知a是方程x2-2026x+1=0的-个根，则a2-2025a+2026, a2牛引的值为 A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 3.易错题若(m十3)xm-1一(m一3)x一5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 4.若关于x的一元二次方程(a一1)x2-a.x+a2=0的一个根为1，则a的值为 归二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.窃情境体育比赛要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场 比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设邀请x支球队参加比赛，则下列方程符合题意的是() Axx+1)=15 B.x(x+1)=15 C2rx-1)=15 D.x(x-1)=15 6.已知关于x的一元二次方程x2十ax十b=0有一个非零实数根一b,则a一b的值为（) A.1 B.-1 C.0 D.-2 7.*若关于x的两个不同的方程x2十ax十1=0和x2一x一a=0恰有一个公共根，则a的值为 () A.2 B.-3 C.一3或2 D.2或3 8.若x=2025是关于x的方程a.x2+bx十1=0的一个根，则关于x的方程a(x十2)2十bx十 2b=一1必有一个根为 9.已知m为方程x2+x一4=0的一个根，则代数式m3+2m2一3m十6的值为 10.舒向探究题如图，数轴上点A与点C表示的数分别为1和3，O为原点，宸宸同学以C为直 角顶点作Rt△ABC,BC=1,再以点A为圆心，AB长为半径画圆，交数轴于D,E两点.莲莲同 学说：“若点D,E分别表示数m和，我发现x=m是一元二次方程x2+bx一4=0的一个根.” 踪踪说：“x=n一定不是此方程的根.” (1)请写出m与n的值. (2)求出b的值. (3)你认为琮琮说得对吗？为什么？ B Ei o Acip 3-2-10123 (第10题) :注：标“易错题”的设有“易错警示”，标“★”的题目设有“方法归纳”，详见分册“答案与解析”. “答案与解析”见P1 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 1.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.若关于x的方程(x一2)2=m十1有实数根，则m的取值范围是 () A.m>1 B.m>-1 C.m≥1 D.m≥-1 2.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m-1和2m十4，则2的值为 3.已知一元二次方程(x一2)2=3的两个根为a和b,且a>b,则2a十b的值为 4.用直接开平方法解下列方程： (1)x2-12=0. (2) 32-2=6 (3)(x-2)2=16. (4)2(y+4)2+3=35. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.易错题若(a2十b2-3)2=25,则a2+b2的值为 () A.8或-2 B.-2 C.8 D.2或-8 6.新考向新定义题定义运算：ab=ab一b,例如：1￥2=1X2一2=0，则方程(2x十1)￥x=8的解 为 7.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数，如min{1,2}=1.若min{(x一 1)2,x2}=1,则x= 8.已知a,b为实数，且a,b均不为0，现定义有序实数对(a,b)的“真诚值”为d(a,b)= ab2-a(a>b), 如数对(3,2)的“真诚值”为d(3,2)=3×2一3=9；数对(-5，一2)的“真诚值” ba2-b(a<b); 为d(-5,-2)=(-2)×(-5)2-(-2)=-48. (1)根据上述的定义填空：d(一3,4) ,d(3,-2)= (2)数对(a,2)的“真诚值”的绝对值为d(a,2).若ld(a,2)川=8，求a的值. 2 >“答案与解析”见PI