3.3 第2课时圆的轴对称性-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 第2课时圆的轴对称性 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.已知P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm,最短弦的长为6cm,则OP的长为() A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6cm 2.[2024西安一模]如图，在⊙O内，以弦AB为边作等边三角形ABE,AE,BE的延长线分别交 ⊙O于C,D两点，过点O作OF⊥BD于点F,延长FO交AC于点G.若DE=4,EG=6,则AB 的长为 () A.8 B.9 C.10 D.12 D C y 0 A B (第2题》 (第3题) 3.一题多解如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点，点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为 (2,0),则点B的坐标为 4.易错题已知⊙O的半径为5cm,弦AB/CD,且AB=6cm,CD=8cm,则AB与CD之间的距 离为 5.如图，在⊙O中，AB=2AC,AD⊥OC于点D. (1)求证：AB=2AD. (2)若AB=8,CD=2,求⊙O的半径及OD的长. (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，在平面直角坐标系中，⊙A的直径在x轴上，且直径的右端与原点O重合，平行于x轴的 直线交⊙A于M,N两点.若点M的坐标是（一4，一2），则点N的坐标为 () A.(1,-2) B.(-1,-2) C.(-1.5,-2) D.(1.5,-2) x B (第6题) (第7题) 7.如图，⊙O的半径为5，弦AB=6,点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D,则CD长的取值范 围是 () A.6≤CD≤8 B.8≤CD≤10 C.9<CD<10 D.9<CD<10 52 第3章圆 8.考探究题某项目化研究小组只用一张矩形纸条和一把刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的 直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交 于A,B,C,D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,AB=4cm,CD=3cm.经计算， 纸杯杯底的直径为 cm. D B (第8题) (第9题) 9.如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为ABE的中点，CD⊥AB,垂足为D.若AE=8, DB=2,则⊙O的半径为 10.如图，在⊙O中，AB,AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E,BF⊥AC于点F,BF与CD相交 于点G,连接BD,∠C=∠DBE (1)求证：EG=ED. (2)若AB=8,OG=1,求⊙O的半径. D (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A(5,0),直线y=kx 2k+3(k≠0)与⊙O交于B,C两点，则弦BC长的最小值为 12.如图，有一个圆弧形桥拱，它的跨度AB为30m,拱高PM为9m,当水位上升 0 A 至水面跨度A'B'只有15m时，就要采取紧急措施.在某次洪水中，拱顶离水面 只有2m,即PN=2m. (第11题) (1)求桥拱所在圆的半径. (2)通过计算说明此时是否需要采取紧急措施. M (第12题) ●“答案与解析”见P30 5310.(1)连接AE.,'四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC.∴.∠EAF=∠AEB,∠GAF=∠B.AE= AB,∴.∠AEB=∠B.∴∠EAF=∠GAF..EF=FG. (2)EG的度数为140°，∴.∠EAG=140°.AG=AE ÷∠BB=∠ABG=180-∠EAG)=号X(180- 140)=20°. 方法归纳 解答求弧的度数问题的一般方法 “圆心角的度数与它所对的孤的度数相等”这一性 质揭示了圆心角的度数与它所对的孤的度数之间的关 系，所以要说明同圆中的两条孤之间的数量关系，可以 转化为说明它们所对的圆心角之间的数量关系，从而转 化为构造等腰三角形或直角三角形，根据“等边对等角” 或“直角边与斜边之间的数量关系”确定角的关系或大 小，进而解决问题 11.尝试：连接AC,BD.'∠AOB=120°，C,D是AB的 三等分点，∠A0C=号∠A0B=号×120=40 0M=0B∠0AB=∠0BA=7(180°-∠A0B) 30°..∠AOC=40°，∴.∠AEC=∠OAB+∠AOC= 30°+40°=70°..·OA=0℃，∠AOC=40°，.∠ACE= ∠0AC=2(180-∠A0C)=70.·∠ACE=∠AEC. ∴.AC=AE.同理，可得BF=BD.:C,D是AB的三等 分点，∴.AC=CD=BD.∴.AE=BF=CD.猜想：连接 AC,BD.:在⊙O中，∠AOB=n°，C,D是AB的三等分 点，：∠A0C=子∠A0B=(3)水：OA=OB, ÷∠0AB=∠0BA=3(180-∠A0B)=(1802） :∠A0C=(S)°，·.∠AC=∠OAB+∠A0C- (2802+号）°=(0-g)水：0A=0c,∠A0c- (3),·.∠ACE=∠0AC=7(180°-∠A0C) 2(180-号）P=(90-g)·∠ACE=∠AEC. .AC=AE.同理，可得BF=BD.C,D是AB的三等 分点，∴.AC=CD=BD.∴AE=BF=CD 第2课时圆的轴对称性 1.B如图，CD⊥AB于点P.根据题意，得AB=10cm, CD=6cm.:AB是⊙O的直径，且CD⊥AB,∴.OC= 2AB=5cm,CP=2CD=3cm在R△0PC中，由勾股 定理，得OP=√OC2-CP=√5-3=4(cm). D B (第1题) 2.C:△ABE是等边三角形，∴.∠AEB=60° OF⊥BD,.∠GFE=90°..∠EGF=90°-∠AEB= F63.DF-DE+EF-4+ 3=7.OF过圆心O,且OF⊥BD,BF=DF=7. .BE=EF十BF=3十7=10.，∴.在等边三角形ABE中， AB=BE=10. 3.(6,0)解法一：过点P作PM LAB于点M,则点M的 坐标是(4,0).∴OM=4.又点A的坐标为(2,0)， ∴.OA=2..AM=OM-OA=4-2=2.PM⊥AB, ∴.BM=AM=2..OB=OM+BM=4+2=6.∴.点B 的坐标是(6,0).解法二：设点B的坐标为(x,0),则x一 4=4一2，解得x=6.∴.点B的坐标是(6,0). 4.1am或7m过点O作直线OE⊥AB于点E,交CD 于点F.ABCD,∴.OF⊥CD.:OE过圆心，OE⊥ AB,BE=号AB=3em:OB=5cm,在R△0EB 中，OE=√OB2-BE=√5-32=4(cm).同理，可得 OF=3cm.当AB,CD位于圆心O的同侧时，如图①， ∴.EF=OE-OF=4-3=1(cm.当AB,CD位于圆心O 的两旁时，如图②，∴.EF=OE十OF=4+3=7(cm).综上 所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm 0 ① ② (第4题) 易错警示 不会分类讨论导致错误 由于圆是轴对称图形，因而对于平行的定长弦，可 能会有两种情形，可能分布于圆心的两侧，也可能分布 于圆心的同侧，因此，解题时往往会出现不能考虑可能 出现的位置而导致漏解的情况 5.(1)如图，延长AD交⊙0于点E.OC⊥AD, .AE=2AC,AE=2AD.AB=2AC,.'.AE=AB. ∴.AB=AE.∴.AB=2AD.(2)如图，连接OA,设⊙O 的半径为x,则OA=x,OD=x-2.AB=2AD,AB= 8,.AD=4.在Rt△OAD中，根据勾股定理，得OA2= OD+AD2,即x2=(x-2)2+42,解得x=5.∴.OD=5- 2=3..⊙0的半径及OD的长分别为5和3. B 0 D E (第5题) 6.B如图，设直线MN交y轴于点C,分别过点M,N作 x轴的垂线，过点A作AB⊥MN于点B,连接AN,则 BM=BN.设⊙A的半径为r,则AN=r.M(-4, 一2)，MN∥x轴，∴.AB=2,MC=4,BM=BN=4一r.在 Rt△ABN中，根据勾股定理，得AB2+BN2=AN2,即 22+(4-r)2=r2,解得r=2.5..BN=4-2.5=1.5. ∴.NC=BC-BN=2.5-1.5=1.又点N在第三象限， .点N的坐标为（一1，一2） B N C (第6题) 7.D如图，过点O作OHLAB于点H,则BH=2AB= 号×6=3：00的半径为50B=501= √OB一BH=4.当点C和点H重合时，OC长取得最小 值，是4，∴.CD长的最小值是4+5=9.当CD是⊙O的直 径时，CD长取得最大值，是5×2=10.∴.CD长的取值范 围是9≤CD≤10. 0 C/H A B (第7题) 8.5如图，设纸杯杯底圆的圆心为点O,过点O作MN⊥ AB,分别交CD,AB于点M,N,连接OD,OB,则易得 MN=3.5cm.:CD∥AB,纸条的宽为3.5cm,AB= 4em,CD=3em,.MNLCD.“DM-2CD=号×3 1.5(cm,BN=2AB=号×4=2(am.设0M=xm, .ON=MN -OM=(3.5-x)cm.OM2 +MD2= OD2,ON2+BN2 =OB2,OB=OD,.OM2+MD2= ON2+BN2..x2+1.52=(3.5-x)2+22,解得x=2. .OM=2cm.∴.OD=√OM+MD=√22+1.5= 2.5(cm)...纸杯杯底的直径为2.5×2=5(cm). D M 02 B (第8题) 9.5如图，连接CO并延长，交AE于点T.设⊙O的半径 为r.C为ABE的中点，.AC=CE..CT⊥AE AT=TE-号AE=4,∠AT0=90.:CD⊥AB, ∴.∠ATO=∠CDO=90°.又.'∠AOT=∠COD,AO= CO,.△AOT≌△COD(AAS).∴.AT=CD=4.在 Rt△COD中，OC=CD2+OD2,∴.r2=42+(r-2)2,解 得r=5..⊙0的半径为5. D T (第9题) 10.(1).AB⊥CD,BF⊥AC,∴.∠CFG=∠GEB=90° ∠CGF=∠BGE,∴.易得∠C=∠GBE.∠C= ∠DBE,∴.∠GBE=∠DBE.AB⊥CD,∴.∠GEB= ∠GEB=∠DEB, ∠DEB=90°.在△BGE和△BDE中，BE=BE, ∠GBE=∠DBE, ∴.△BGE≌△BDE(ASA)..EG=ED.(2)连接OA. 设OA=r,则DG=r十1.由(1)可知，EG=ED.∴.EG= 00-1.0E-G-0G-号：ABLD于 点E,AB=8,∴.AE=BE=4.在Rt△OAE中，由勾股定理， 得0E+AE=0A,即（会）+=，解得，=号 ,=-5(不合题意，舍去).01-号即©0的半径为号 11.43对于直线y=kx-2k+3=k(x-2)+3(k≠0)， 当x=2时，y=3..直线y=kx一2k十3(k≠0)恒经过点 (2,3),记为点D.如图，连接OD,OB,过点D作DH⊥ x轴于点H,则OH=2,DH=3.∴.OD=√OH+DH= √13.点A的坐标为(5,0)，.OA=5..OB=OA= 5.,过⊙O内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短， 即当BC⊥OD时，弦BC的长有最小值，∴.易得弦BC长 的最小值=2BD=2√OB2-OD=43. (第11题) 12.(1)如图，设桥拱所在圆的圆心为O,连接OA,OA', OM,易知点P,M,O在同一条直线上.设圆弧所在圆的半 径为xm,则OA=OA'=OP=xm.由垂径定理可知 AM=BM,A'N=B'N.AB=30 m.:AM=7AB= 15m.在Rt△AOM中，OM=OP-PM=(x-9)m,由勾股 定理，得AO=OM+AM,即x2=(x-9)2+15,解得 x=17,即桥拱在圆的半径为17m.(2),OP=17m, ∴.ON=OP-PN=17-2=15(m.在Rt△A'ON中，由 勾股定理，得A'N=√OA-ONW产=√17-15=8(m), ∴.A'B=2AN=16m>15m∴.此时不需要采取紧急措施. A 0 (第12题) 3.4圆周角 第1课时圆周角的概念与性质 1.C连接OB,OC.由圆周角定理，得∠BC=2∠BAC= 60°.OB=OC,∴.△OBC是等边三角形..BO=BC= 2,即⊙0的半径为2.∴.⊙0的直径为4. 2.C连接OC..∠ABC=19°，∴.∠AOC=2∠ABC= 38°.半径OA,OB互相垂直，∴.∠AOB=90. ∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-38°=52. ÷∠BAC=3∠B0C=26. 3.50由圆周角定理，得∠AOC=2∠ADC=50°.：CD∥ AB,∴.∠DCO=∠AOC=50° 4.120∠ACB=a,∴.优弧AB所对的圆心角为2a. ,∴.2a十a=360°，解得a=120° 5.(1)点A,B,C,D都在⊙0上，OC⊥AB,.AC BC.∴.∠AOC=∠BOC.:∠ADC=30,.∠AOC 2∠ADC=60°..∠BOC=60°.(2)由(1)知，∠AOC= ∠BOC=60°..OB=OC=OA,∴.△BOC和△AOC都是 等边三角形.∴.BC=OB=OC=OA=AC.∴.四边形 AOBC是菱形. 6.D如图，作半径OC⊥AB于点D,连接OA,OB.将 ⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,∴.OD=CD. 0D=20C=20A.易得∠0AD=30.又：0A= OB,∴.∠OBA=∠OAB=30°.∴.∠AOB=180° ∠OAB-∠OBA=180°-30°-30°=120°.∴.∠APB 3∠A0B=60 M D (第6题) 易错警示 不会挖掘图形中隐含的线段间的数量关系导致错误 解答这类翻折问题时，往往会忽视隐含的半径之间 的数量关系，从而不能确定图形中存在的角度大小，导 致解题错误 7.D如图，连接OC,OD,设OD交AC于点E.D是 AC的中点，.AD=CD..AD=CD.又OA=OC, ∴.OD垂直平分AC..∠AED=90°.：AD=CD, ∠CAB=a,∠BPC=B,∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB+ ∠BPC=Q+B.:OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD= ∠CAB+∠DAC=a+a+B=2a+B.:∠DAC+ ∠ODA=90°，∴.a+B+2a+B=90°.∴.3a+23=90° D (第7题) 8.240连接OC,OE.∠CAE=60°，∴.∠COE= 2∠CAE=2X60=120∠B+∠P的度数-=号(MDC 的度数+AB配的度数)-之（周角+∠COE)-号× (360°+120°)=240° 9.75°如图，连接OA,OB,OC,OD.:OA=OB=OC= OD=1,AB=2,CD=1,..OA2+OB2=AB2,OC= OD=CD.∴.△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边 三角形.∴.∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD= 60°.∠CDB=∠CAB,∠ODB=∠OBD,∴.a=180°- ∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-(∠CDB+ ∠ODB)=180°-45°-60°=75°. B (第9题) 10..AD⊥BC,.∠AGB=∠DGC=90°.∴.∠A+ ∠B=90°.AC=AC,∴.∠B=∠D..∠A+∠D= 90°.E为AB的中点，∴.EA=EG..∠A=∠AGE.又