3.3 课时2 垂径定理 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第三章 圆 3．3 圆的对称性 课时2 垂径定理 ▌课时目标 1. 理解垂径定理及其推论，掌握“直径垂直平分弦及所对弧”的结论。 2. 掌握弦心距的概念，能运用勾股定理由半径、弦心距、弦长中的两个求第三个。 3. 能综合运用垂径定理与勾股定理解决圆中弦、弧、直径的计算与证明。 ▌课时目录 知识点01：垂径定理 知识点02：垂径定理的推论 知识点03：弦心距的概念与计算 知识点04：利用垂径定理求弦长、弦心距、半径 知识点05：垂径定理与勾股定理的综合应用 知识点06：圆中有关弦、弧、直径的计算与证明 ▌知识点01：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 即若直径CD⊥弦AB于E，则AE＝BE，，。 例如：⊙Ｏ中直径MN⊥弦AB于P，则AP＝BP。 注意：定理中“直径”可推广为“过圆心的直线”，但必须垂直于弦。 1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，于， ， ， ． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则__________________________． 【答案】 【分析】由，根据垂径定理，可得，在中利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：是的半径，是的弦，且于点， ，， 在中，根据勾股定理可得， ． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． ▌知识点02：垂径定理的推论 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦。 例如：直径平分弦AB（非直径）则必垂直AB。 注意：平分弦的直径垂直于弦时，该弦不能是直径，否则两条直径可互相平分却不垂直。 5．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（   ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论，根据圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直径是经过圆心的弦， ∴正确，符合题意； ∵等弧需在同一个圆或等圆中长度相等才成立， ∴错误，不符合题意； ∵相等的圆心角所对的弧相等需在同一个圆或等圆中， ∴错误，不符合题意； ∵平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直）， ∴错误，不符合题意； 故选：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的外接圆，若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，算术平方根．作于点，作交的延长线于点，作于点，证明四边形是矩形，设，，证明是等腰直角三角形，求得，利用三角形面积公式，求得，，据此求解即可． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，A、B、C、D四点在圆上，且点A、B、D为格点，；请仅用无刻度的直尺完成下列的作图： (1)请在图（1）中作出一条圆的直径（画出一条即可）； (2)请在图（2）中找出圆心O； (3)请在图（3）中画出的中点E． 【答案】(1) 如图线段所示； (2) 如图点O所示； (3) 如图中点E所示． 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，轴对称的性质，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键． （1）设的中点P，连接格点交圆于点，并延长交圆于点，易知，由垂径定理可知线段即为圆的直径． （2）连接，相交于点M，延长，相交于点N，连接，根据可知为弦和的对称轴，也是圆的对称轴，延长，交于点O，点O即为圆心． （3）由（2）可知直线为弦和的对称轴，故延长交圆于点E，点E即为的中点． 【详解】（1）解：略． （2）略． （3）略． ▌知识点03：弦心距的概念与计算 弦心距是圆心到弦的垂线段的长度。在同圆或等圆中，弦相等则弦心距相等。 弦长、半径、弦心距满足关系：弦心距²＋（弦长÷2）²＝半径²。 例如：半径5、弦心距4的弦，半弦长为3，弦长为6。 注意：弦心距是垂线段长度，需用勾股定理计算。 9．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 10．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的直径，垂直平分，垂足为．若，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由垂直平分得到，根据勾股定理求出的长，最后利用垂径定理求出的长即可． 【详解】解：为的直径，垂直平分， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 12．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键． 如图所示，连接，设，由圆的基础知识，垂径定理得到，根据勾股定理列式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径长为5， 故答案为：5 ． ▌知识点04：利用垂径定理求弦长、弦心距、半径 垂径定理常与勾股定理结合，由半径、弦心距、半弦长三者中的两个求第三个。 三者构成直角三角形，满足半径²＝弦心距²＋（弦长÷2）²。 例如：⊙Ｏ半径OB＝5，弦心距BE＝4，则半弦长BE＝＝3，弦长AB＝6。 注意：作弦心距是构造直角三角形的关键。 13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，已知半径为，弦的长为，则圆心到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理；垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；关键是根据勾股定理解答． 作于，连接，根据垂径定理得到，然后在 中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：作于，连接，如图，    ， 在中， ， 即圆心到的距离为 5 ； 故选：C． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的弦，于点若，，则的半径是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理. 由垂径定理可得的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是的弦，于点C， ， ， ， 的半径是5. 故选：B． 15．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在⊙中，为弦，，垂足为．若，则弦_____． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据定理求出的长度，然后根据垂径定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 16．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________．    【答案】9 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由于点，，根据垂径定理得，而，，则，由勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】：连接，   是的直径，是的弦，且于点，， ， ，， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为： ▌知识点05：垂径定理与勾股定理的综合应用 解决弦长、半径、弦心距问题，通常过圆心作弦的垂线，得到由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，再用勾股定理求解。 例如：拱形桥最高点到弦的距离已知，可构造直角三角形求半径。 注意：构造直角三角形时垂线必须过圆心且垂直于弦。 17．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考了垂径定理，连接，过点P作于点，由垂径定理可得，根据坐标可得，从而得到即可求出点A的坐标． 【详解】解：连接，过点P作于点D， ∴， ∵点P的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：C． 18．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于E点，连接，根据垂径定理可得，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出其长度即可． 【详解】解：延长交于E点，连接， ∵， ∴E为的中点， ∵的半径长为4，恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 19．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，点在内，已知的半径为，，则经过点的最短弦长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，正确理解过的最短的弦的位置是关键．先证出弦与垂直时，弦最短，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作弦，过点作，， ， ， ， 当弦与垂直时，弦最短，如图所示： ， 则， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，的半径为，圆心到的距离，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据勾股定理求得，再根据垂径定理求解即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到的距离， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：6． ▌知识点06：圆中有关弦、弧、直径的计算与证明 综合垂径定理与圆心角、弧、弦关系，可解决圆中弦、弧、直径的计算与证明。 例如：已知弦被直径垂直平分，可推得所分两段弧相等，对应圆心角相等。 注意：证明中要先说明“过圆心作垂线”，再结合定理得出结论，逻辑要完整。 21．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，相交于点O，，以O为圆心，为直径的交于点．设长为x，长为y，则当x，y的值发生变化时，下列代数式的值始终不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于点F，则，根据平行四边形的性质可得，在和中，分别用x，y表示出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点F，则， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即的值始终不变． 22．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，是的直径，弦，垂足为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由已知可得，即得，再利用勾股定理可得，进而根据垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在，， ∵是的直径，弦， ∴． 23．（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 【答案】 【分析】根据直径的长度求出半径，结合线段的数量关系求出的长，在直角三角形中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：是的直径， ，且 在 中，由勾股定理得 是直径， 由垂径定理得． 24．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【答案】5 【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵，点E是的中点，， ∴， 由勾股定理得， 则 解得． ▌课时训练 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 2．（2025·江苏南京·二模）在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的利用垂径定理；先根据垂径定理得到的长，根据勾股定理和线段的和差得到的长度，进而即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵为的直径， ， ∴， ∵弦于E， ∴， 在中，， ∴ 即 ∴， ∴， ∴的面积为； 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先过点作于点，连接，由垂径定理求出，再根据勾股定理求得，进而可求出的取值范围． 【详解】解：过点作于点，连接， 依题意得：，， ， ， ， ， 四个选项中只有符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理、垂线段最短，解题关键是作出辅助线，构造出直角三角形． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）往直径为的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为____________． 【答案】/1米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 四边形内接于，，若的半径是3，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，弦，弧，圆心角的关系，勾股定理的应用，过作交于，交于，证明，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：过作交于，交于，而， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径是3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为___________． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 则半径为 故答案为：． 三、解答题 9．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明：如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再在中由勾股定理解得，可得的长度，即可获得答案； （2）过点作于点，证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴在中，可得，即， ∵，且， ∴， 解得，即的半径为5； （2）略 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的直径，， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度． （1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系； （2）连接、，利用垂径定理得，结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度． 【详解】（1）略 （2）解：连接、， 则， ∵且， ∴， ∵是的直径，是的弦，于点 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即的长是． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第三章圆 3.3圆的对称性 课时2垂径定理 课时目标 理解垂径定理及其推论，掌握“直径垂直平分弦及所对弧”的结论。 2. 掌握弦心距的概念，能运用勾股定理由半径、弦心距、弦长中的两个求第三个。 3 能综合运用垂径定理与勾股定理解决圆中弦、弧、直径的计算与证明。 课时目逯 知识点01：垂径定理 知识点02：垂径定理的推论 知识点03：弦心距的概念与计算 知识点04：利用垂径定理求弦长、弦心距、半径 知识点05：垂径定理与勾股定理的综合应用 知识点06：圆中有关弦、弧、直径的计算与证明 知识点01：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 1/13 即若直径CD⊥弦AB于E,则AE=BE,AC=BC,AD=BD。 例如：⊙O中直径MN⊥弦AB于P,则AP=BP。 注意：定理中“直径”可推广为“过圆心的直线”，但必须垂直于弦。 C D 1.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E,CD=8,则CE为 () A.2 B.3 C.4 D.6 2.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，OC是⊙0的半径，AB是⊙0的弦，且0C1AB于点D」 若OA=10,OD=6,则AB= B 3.(2026江苏苏州中考真题)苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月 华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”·某月洞门示意图如图②所示， 其内廓由ABC ,线段CD,DE,EA四部分构成，ME,CD分别垂直于地面'.经测量，该月洞门的 2/13 最高点B到地面的距离为21分米，1E=CD=3分米，DE=12分米，则BC所在圆的半径为 分米. B C mgrmmdml 图① 图② ⊙ 4.(25-26八年级下江苏南京期末)已知，如图： 0的半径R=55,4=14.点C在B上 CD⊥AB交⊙O于点D. D 0. (1)若BC=4,求线段CD的长， (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 知识点02：垂径定理的推论 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并平分弦所对的弧：平分弧 的直径垂直于这条弧所对的弦。 例如：直径平分弦AB(非直径)则必垂直AB。 注意：平分弦的直径垂直于弦时，该弦不能是直径，否则两条直径可互相平分却不垂直。 5.(25-26九年级上：江苏无锡·期中)下列说法中正确的是() ① ② 直径是弦： 长度相等的两条弧是等弧： ③ ④ 相等的圆心角所对的弧相等：平分弦的直径垂直于弦 A.① B.② C.③ D.④ 3/13 ⊙0 6.(25-26九年级上江苏南京期末)如图，在中，C,D分别是 B和弦4B的中点，若4B=8, CD=2 ⊙0 ,则的半径是 0 B 7.(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，O0是△1B 的外接圆，若∠CAB=45°Sa=6 ·则CAs SAOCA=1 8.(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)如图，A、B、C、D四点在圆上，且点A、B、D为格点， AB=CD;请仅用无刻度的直尺完成下列的作图： 图(1) 图(2) 图(3) (1)请在图(1)中作出一条圆的直径（画出一条即可）： (2)请在图(2)中找出圆心O; BD (3)请在图(3)中画出的中点E. 知识点03：弦心距的概念与计算 弦心距是圆心到弦的垂线段的长度。在同圆或等圆中，弦相等则弦心距相等。 4/13 弦长、半径、弦心距满足关系：弦心距2十（弦长2)2=半径。 例如：半径5、弦心距4的弦，半弦长为3，弦长为6。 注意：弦心距是垂线段长度，需用勾股定理计算。 A B E 0 9.(2026江苏宿迁一模)如图，CD为O0的直径，弦4B1CD于B,BC=3,ME=3,则△4CB的 面积为() B A.3 B.4 C.5 D.6 10.(25-26九年级下江苏盐城期中)如图，AB是⊙0的弦，半径OC1AB,垂足为点E,设⊙0的半径 为4，CE=2,则AB的长为() E B C A.2 B.4 C 43 D.25 11.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图，AB为O0的直径，CD垂直平分OA,垂足为E.若 AB=4,则CD=() 5/13 A B E D A.3 B.25 C.2 D.3 12.(25-26九年级上江苏南通阶段检测)如图，AB为⊙0的弦，AB=8,OD1AB,交⊙0于点D,垂 足为C,CD=2,则⊙0的半径长为一· D 知识点04：利用垂径定理求弦长弦心距、半径 垂径定理常与勾股定理结合，由半径、弦心距、半弦长三者中的两个求第三个。 三者构成直角三角形，满足半径=弦心距2+（弦长÷2）2。 例如：⊙0半径OB=5,弦心距BE=4,则半弦长BE=V53-4=3,弦长AB=6。 注意：作弦心距是构造直角三角形的关键。 E D 13.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)在⊙0中，已知半径为13，弦AB的长为24，则圆心O到AB 的距离为() A.3 B.4 C.5 D.6 6/13 14.(25-26九年级上江苏南通期中)如图，AB是⊙0的弦，0C⊥AB于点C.若AB=8,OC=3,则 ⊙0 的半径是() A.4 B.5 C.6 D.10 15.(2025九年级上江苏苏州专题练习)如图，在⊙0中，AB为弦，0C⊥AB,垂足为C.若 0A=5,0C=3 ，则弦B、 16.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，在⊙0中，直径AB⊥弦CD,垂足为E,若CD=6,BE=1, 则AE= A E B 知识点05：垂径定理与勾股定理的综合应用 解决弦长、半径、弦心距问题，通常过圆心作弦的垂线，得到由半径、弦心距、半弦长组 成的直角三角形，再用勾股定理求解。 例如：拱形桥最高点到弦的距离已知，可构造直角三角形求半径。 7/13 注意：构造直角三角形时垂线必须过圆心且垂直于弦。 17.(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为 (6,3) (9,0) 点B的坐标为， 则点A的坐标为() A B A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 18,(2526九年级上江苏徐州阶段检测如图。00的半径0C长为4，将O0沿40折叠， ⊙0 OC B合好经 过OC的中点D,且OC⊥AB,则折痕AB长为() C D B 3v5 A.2 B.2W15 C.4 D.23 19.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，点P在⊙0内，已知⊙0的半径为5Cm,OP=3cm,则经过 点P的最短弦长为 cm 20.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，⊙0的半径为5cm,圆心O到AB的距离0C=4cm,则 AB=cm. 8/13 A B 知识点06：圆中有关弦孤直径的计算与证明 综合垂径定理与圆心角、弧、弦关系，可解决圆中弦、弧、直径的计算与证明。 例如：己知弦被直径垂直平分，可推得所分两段弧相等，对应圆心角相等。 注意：证明中要先说明“过圆心作垂线”，再结合定理得出结论，逻辑要完整。 21. (2026江苏泰州一模)如图，在oABCD中，AC,BD相交于点O,AC=2,BD=4,以O为圆心， AC ⊙O,BC.E BE CE 为直径的交于点.设长为x,长为y,则当x,y的值发生变化时，下列代数式的 值始终不变的是() x2+xy A. B.2+2 C x+y D.x-y 22.(25-26九年级下江苏南通阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，弦CD1AB,垂足为 P,PA=18,PB=8,则CD的长为() D B D A.12 B.20 C.24 D.26 23.(2026江苏常州一模)如图，在⊙0中，AB是直径，弦CD1AB于点E,若AB=6cm,OE=2EB。 9/13 则CD= cm O E D 24.(2026江苏徐州一模)如图，在⊙0中，直径AB经过CD中点E,己知CD长度为8，BE长度为2， ⊙0 半径是 E 课时训练 一、选择题 1.(2425九年级上江苏无锡期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,连接AD.若OE=3, CD=8,则AE的长为() E D B A.5 B.6 C.7 D.8 2.(2025·江苏南京·二模)在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示.已知水面的 宽度AB=24cm,则水的最大深度为() 10113 ⊙ A.5cm B.7cm C.8cm D.10cm 3.(2025江苏苏州模拟预测)如图，CD为⊙0的直径，弦4B1CD于E,CD=3 2’AE=3,则 △ACB的面积为() D B A.3 B.4 C.5 D.6 4.(25-26九年级上江苏盐城阶段检测)如图，⊙0的半径为10，弦AB=16，,M是弦AB上的动点，则 OM不可能为() M A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题 5.(25-26九年级上·江苏无锡期末)如图，拱桥可以近似的看作直径为260m的圆弧，桥拱和路面之间 用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为100m，那么这些钢索中最长的一根的长度为 11/13 m 钢索 A B路面 桥拱 6.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)往直径为10m的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示. 若水面宽AB=6m,则水的最大深度为. A B 6 7(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图。四边形1BCD内接于o0,B=20D,若O0 的半径 是3，AB=4V2,则CD的长为 D B 8.(25-26九年级上·江苏镇江阶段检测)某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性 纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与 杯底相交于AB,C,D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,AB=3cm,CD=4cm.则 纸杯杯底的半径为 cm B 三、解答题 12113 9.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，BC,BD是⊙0的两条弦，点C与点 D在AB的两侧，E是OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC-2LBCE. E D 图1 D图2 1)如图1，若BE=2,CE=4,求⊙0的半径： (②)如图2，若BD=2OE,求证：BD∥OC 10.(25-26九年级上：江苏宿迁期中)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD1AB于点E,点F 在o0上且F=CA,连接4F C B (I)求证：AF=CD: (2)连接BD,若AE=2,AF=8,求BD的长. 13/13