山东济宁市任城区部分学校2026-2027学年高三上学期10月学情调研数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 ǎ 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角 函数、解三角形。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.“x>2√3”是“x>√13”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 女 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2若函数f(x)=tan受的最小正周期为T,则 A.T=2且f(x)为奇函数 B.T=4且f(x)为奇函数 C.T=2且f(x)为偶函数 D.T=4且f(x)为偶函数 3.已知集合U=z1zIA=zlx<0,B={女|号2≤号引，则A)nB= A[o,3]U[号，) B[-1,-2]U[o, c[o,]u(号， n.(o,号]U[号，+∞) 4.“兮”字是《离骚》中出现频率最高的字，在《离骚》中几乎每个上句句末都出现，起舒缓语气、调 节节奏、增强咏叹感的作用， 线 帝高阳之苗裔兮，朕皇考日伯庸。 摄提贞于孟陬兮，惟庚寅吾以降. 皇览揆余初度兮，肇锡余以嘉名。 名余日正则兮，字余日灵均. 纷吾既有此内美兮，又重之以修能。 扈江离与辟芷兮，纫秋兰以为佩 汩余若将不及兮，恐年岁之不吾与， 朝搴阰之木兰兮，夕揽洲之宿莽。 上述这段选自《离骚》，共有8行，若从左到右数第n行中的“兮”字是位于该行的第m个字， 则∫(n)=m,例如：第1行“帝高阳之苗裔兮，朕皇考日伯庸”中的“兮”字是位于该行的 【高三数学第1页（共4页）】 Q夸克扫描王 ▣ 极速扫描，就是高效 ▣ 第7个字，所以f(1)=7.那么f(f(f(4)-3)= A.4 B.6 C.7 D.8 5.设a=1og4,b=0.24a2,c=1oga.0.24,则 A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 6.临沂广播电视塔坐落于山东临沂北城新区，是山东省最高的广播电视塔，也是临沂的标志性 城市建筑.如图，某测绘小组为了测量电视塔的实际高度OP,选取了与塔底O在同一水平面 内的两个测量基点A,B,现测得∠PAB=15°，∠PBA=135°，A,B两点相距1636m,在点 A测得塔顶P的仰角为a(c@&-),则塔高OP A A.313m B.163√3m C.326m D.133√6m 7.若函数f(x)=x(lnx-ax十l)存在单调递增区间，则a的取值范围是 A.(-0,) B(-o,) c(日，+) D.(,+∞) 8.设函数f(x)= x2+1)log二的最大值为M,且f(x)无最小值，则函数g(x)=xfx)的 x3+1 A最小值为一M B.最小值为M一M 1 C.最大值为 D.最大值为M一M 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.命题p:Vx∈N°，Wx2十x十1任Q,命题g:存在偶数m,使得函数f(x)=x十x"为偶函 数.关于这两个命题，下列判断正确的是 A.q是全称量词命题 B.p的否定：]x∈N",Wx2+x+1∈Q C.p的否定是假命题 D.q的否定：对每个偶数m,函数∫(x)=x十x"都不是偶函数 【高三数学第2页（共4页）】 ▣ ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 10.在平面直角坐标系x0y中，二次函数f(x)=ax2+bx的图象与方程(x一a)2十y= 示的圆可能是 C 0 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且曲线y=f(x)在R上是一条连续不 断的曲线，f(x)恰有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3),点P:(x,f(x,),i=1,2,3.若 函数g(x)的图象经过某个点集中的所有元素，则称该点集能被g(x)承载，否则不能被 g(x)承载.下列结论正确的是 A.Hc∈R,{P1,P2}不能被g(x)=c承载 B.Ha,b∈R,(P1,Pg)不能被g(x)=ax十b承载 C.3a,b,c∈R,{P1,P2,P3}能被g(x)=ax2+bx十c承载 D.若g(x)满足对任意的a,b∈R,当a≠b时，都有a）二g6>0,则(P1,P2,P,}能被 a-b g(x)承载 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若tana=3,tanβ=-6，则tan(a十β)=▲ 4cos(π-a-β) —’19sin(a+β)-cos(a十β) 1及已知质数)。E-a者Ee)治有奇数个学.a的款 值范围是 14.若存在正数，y,使得不等式y十2+9江≤2(m'+m一工十1》成立，则正数m的最小值 x2+y 为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:10:√139 (1)求C; (2)若CD=tCA(t>0),BC=3,且△BCD的面积为3√3，求线段BD的长. 【高三数学第3页（共4页）】 ▣ ○夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 16.(15分) 已知函数fx)=loga(x+)+1og,(4x+). (1)求f(x)的定义域； (2)若>0且a≠1，不等式fx)>1bg.3对任意的x∈（号，+o∞）恒成立，求a的取值范围. 17.(15分) 已知函数fz)=sin+V5 co-5 (w>0)的部分图象如图所示。 (1)求f(x)的解析式； 弥 (2)将f(x)的图象向左平移p(p>0)个单位长度，得到函 2 数g(x)的图象，若g(x)在[吾，]上的最大值小于 1 ,求p的取值范围 18.(17分) 如图，某工厂拟将A,B,C三个地点设为销售点，D为BC的中点，AD⊥BC.该工厂将建在 A与D之间（不含A和D).已知B与C之间的距离为40千米，A与D之间的距离为60千 封 米，工厂建在点E处.为便于运输，要修建EA,EB,EC三段快速路.设DE=t千米，三段快 速路的总长为L千米 (1)求L关于t的函数表达式； (2)求三段快速路的总长的最小值（结果精确到1千米）； (3)若修建EA段快速路的价格为每千米2万元，修建EB段快速路与EC 段快速路的价格相等，修建EB段快速路的价格为每千米a万元，2≤a ≤3，且t≥10，为了使得修建三段快速路的总费用最少，该如何选取t 的值？ 19.(17分) sin x 设函数f(x)=x2+4x+3 (1)求曲线y=∫(x)在坐标原点处的切线方程 (2)证明：对任意正整数n,f(x)在(nx,nx十）上存在唯一的极值点. (3)记(2)中f(x)在(nπ，nr+2)上的极值点为x,设点A,(x。,0),证明：存在定点B,使 得|f(x)川·|AnB2为定值 【高三数学第4页（共4页）】 ▣3 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效高三数学参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 答案 B A B A A BCD ABD AC 3 1 {-e2,-4}U(-3,0) √2 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分， 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第12题，答对第一空得2分，答对第二空得3分 【4】第13,14题，凡与答案不符的均不得分 1.B【解析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理的核心素养， 因为2√3=√/12<13，所以“x>2√3”是“x>√13”的必要不充分条件 2.A【解析】本题考查正切型函数的最小正周期与奇偶性，考查数学运算与逻辑推理的核心 素养 T=天=2.因为f(-x)=tan(-受)=一tan受=-f(x),所以fx)为奇函数. 2 3.C【解析】本题考查集合的运算与分式不等式，考查数学运算的核心素养 由U={x|x<1},A={xx<0},得A={x|0≤x<1} 由长号用二号<0，整理细二0解得<或x>号则B-女政 x>},所以A)nB=[o,]U(号，. 4.B【解析】本题考查函数求值与函数的新定义，考查数学运算的核心素养 因为第4行中的“兮”字是位于该行的第6个字，第6行中的“兮”字是位于该行的第7个字， 所以f(f(f(4))-3)=f(f(6)-3)=f(7-3)=f(4)=6. 5.D【解析】本题考查指数与对数的大小比较，考查逻辑推理的核心素养， 因为c=1og:0.2A>1oga:0.25=log4l6gs4=a,6<16g02=1,6=0.240>0.240- 1,所以a<c<b. 6.C【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养. 在公PAB中∠APB-115-1350南正发定理得2月Pna则PA PA _ABsin∠PBA_163,√6Xsin135°=3265m.因为在点A测得塔顶P的仰角为a,且cosa sin∠APB sin30° 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ，所以OP-PAsin&=326v3× 6 3 =326m. 7.A【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 由fa0,得f)lh-a+1+(会a)=hr-a+2>a,则a<> 0.设x)-h2x>0》则g)12令g≥0得xc(0,）.则g) 2x 在(0，）上单调递增，令g'(x)<0,得x∈（日，十∞），则g(x)在（日，十∞）上单调递减，则 g(x)=g()=号，则a<,故a的取值范围是(-∞，）： 8.A【解析】本题考查函数的同构，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养 易知f(x)的定义域为(0，+∞)， 1 则g(a)=xf(r=十+x)ogx (1+)log x3+1 1+ 由x∈(0，+∞)，得上∈(0，+o∞)，所以f(x)与f(2)的值域相同，则f(2) 的最大值为 M,则g(x)的最小值为一M又f(x)无最小值，所以g(x)无最大值. 9.BCD【解析】本题考查全称量词命题的概念、命题的否定以及命题真假的判断，考查逻辑推 理的核心素养。 q是存在量词命题，A错误.全称量词命题的否定是存在量词命题，B正确.因为当x∈N*时， x2<x2+x+1<(x+1)2,所以x<√x2+x+1<x十1，即√x+x+1介于两个连续正整数 之间，W√x2十x十1是无理数，则p是真命题，从而p的否定是假命题，C正确.存在量词命题 的否定是全称量词命题，D正确， 10.ABD【解析】本题考查二次函数的图象与圆的综合，考查直观想象与逻辑推理的核心素养， 二次函数f)=ar+:图象的顶点坐标为一名，一分)，与x轴的交点坐标为0,0. (一名。)，圆x-a)+y-名的圆心为a,0,半径为2☆则圆的直径等于fx)的图 象与x轴的两交点之间的距离，C错误.因为A,B中的圆都过原点，所以(0一α)2十02= 4a,即b=2a2,取a=1,b=2,与A图一致，A正确；取Q=1,b=-2,与B图一致，B正 确.D中的圆不过原点，圆在y轴左侧，抛物线的开口向下，取a-一2，b=4,与D图一致，D 正确， 11.AC【解析】本题考查导数的应用与新定义，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养. 因为x1,x2,x3(x1<x2<x3)是f(x)的三个极值点，所以f(x1),f(x2),f(x3)满足 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 f(x1)<f(x2),f(x2)>f(x3)或f(x1)>f(x2),f(x2)<f(x3),故Hc∈R,{P1,P2}不 能被g(x)=c承载，A正确.取f(x)=3.x4-4x3-12x2,则f'(x)=12x(x十1)(x-2),易 得一1,0,2是f(x)的3个极值点，且P1(一1，一5)，P2(0,0),P3(2,一32)，则{P1,P3}能被 g(x)=一9x-14承载，B不正确.由题意知P1,P2,P3三点不共线且横坐标均不相等，则 由该三点的坐标可以唯一确定一条对称轴垂直于x轴的抛物线，C正确.对任意的a,b∈R, 当a≠b时，都有8a）二gb)>0,则g(x)在R上单调递增，假设P1,P2,P,}能被g)承 a-b 载，则由x1<x2<x3,可得g(x1)<g(x2)<g(x3),即f(x1)<f(x2)<f(x3),这与 f(x1)<f(x2),f(x2)>f(x3)或f(x1)>f(x2),f(x2)<f(x3)矛盾，故{P1,P2,P3}不 能被g(x)承载，D错误. 12.一高1【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心索养， 4c0s(π-a-B) -4cos(a+3) ana+B)=tan gtan月g'19sin(a十B》-osa+B）i9 )sin(a十8=cosa+9》 -4 -4 =19tan(a+g)-1--3-1-l. 13.{一e2,一4}U(一3,0)【解析】本题考查分段函数、函数的零点及导数的综合应用，考查直 观想象与数学运算的核心素养。 g(x)的零点个数即方程f(x)=a的解的个数，即f(x)的图象与直线y=a的公共点个数. 当x≥0时，f'(x)=(x-2)e,令f'(x)>0,得x>2,则f(x)在(2，十∞)上单调递增，令 f'(x)<0,得0≤x<2,则f(x)在(0,2)上单调递减，且f(2)=-e,f(0)=-3,当x→ +o时，f(x)>十∞.作出f(x)的大致图象，如图所示.当f(x)的图象与直线y=a有 1个公共点时，a=一e2,有3个公共点时，a=一4或一3<a<0.故a的取值范围是 {-e,-4}U(-3,0). 14.√2【解析】本题考查不等式能成立问题、双变量及基本不等式，考查直观想象与数学运算 的核心素养」 由+2+9江≤2(m+m-工+1)，得y+2+9十2z≤2(m十m+1D,即工十兰+ xx2+y x+y 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 9 ,十x十2≤2m2+m+1D.因为>0，y>0,所以x十义+9十z+2≥25十 C 22=6+22,当且仅当x+义=9且x=2,即x=2,y=32-2时，等号成立，所 2 x x大y 以2(m2+m十1)≥6+2√2，整理得m2十m-2-√2≥0，解得m≤-√2-1或m≥√2，故正 数m的最小值为v√2 15.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养. 解：(1)设角A,B,C的对边分别为a,b,c. 由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:10:√I39. 2分 设a=3k,b=10k,c=√139k, 3分 则cosC=3k)2+(10)2-(W139k)2 1 2·3k·10k 2 5分 因为0<C<所以C-等 6分 (2)由BC=3,得a=3.…7分 因为Ci=CA(>0),所以D在射线CA上，则∠BCD= 3 8分 所以△BCD的面积为号×3XCD×in-35, …9分 獬得CD=4.… …10分 在△BCD中，BD2=32+4-2X3X4X(-）=37,…11分 则BD=√37，故线段BD的长为√37.… …13分 【评分细则】 【】第(1)间中，也可以写为120°，得到0sC=-号后，未写0<C<,直接得到C- 3, 扣1分. 【2】第(2)问还可以这样解答： 由BC=3,得a=3k=3,即k=1.… 7分 因为CD=tCA(t>0),所以CD=tCA=tb=10t, 8分 2x=33, 所以△BCD的面积为2×3X10 tXsin3 9分 2 解得1=号，则CD=4. 10分 在△BCD中，BD2=32+4-2×3X4X(-2)=37, 11分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 则BD=√37，故线段BD的长为√37.…13分 16.【解析】本题考查函数的定义域、对数函数、不等式恒成立问题及基本不等式，考查数学运算 与逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想. 解：1D因为x+是>0,4女+>0， 1分 所以2+1>0,4+10. 2分 因为x2+1>0,4x2+1>0,所以x>0, 3分 所以f(x)的定义域为(0，十∞). 4分 (2)fx)=log[(x+2(4x+2)]-logs(4x2+是+5. 6分 因为x>0,所以4x2+>2,4r2· =4 8分 当且仅当42=是，即x- 时，等号成立，… 9分 所以f(x）m血=log39=2.… 10分 依题意可得2>l0g。3.… 11分 当0<a<1时，log3<0<2,则0<a<1满足题意 12分 当a>1时，l0g。3<2=log。a2,… 13分 则3<a2,又a>1,所以a>√3.… 14分 综上，a的取值范围为(0,1)U(W3,十0∞).…15分 【评分细则】 第(1)问中，定义域未写成集合或区间的形式，扣1分. 17.【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算、直观想象及逻辑 推理的核心素养 解：(1)f(x)=sin wxcos wx十√3cos2wz sin2ax+ √3 2 2C0s2wt…2分 =sin(2wx+F） …3分 因为f()=sin(2g+）=-1,所以2g+5-+2kx,k∈z. 32 …4分 得u=1+号，k乙 …5分 T7π 212’ 设f(x)的最小正周期为T,则 <T< 得 6分 3T、7π 412 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 略<晋得<号 …7分 12 由u=1+7k,k∈Z,可得w=l,则f(x)=sim(2x+5). 8分 (2)g(x)=f(x+9)=sin(2x+2p+5）. 9分 由z[看】得2z+2g+号∈[+2e,餐+2p] 10分 >5π+2k元， +2g> 因为g(红)在[吞，]上的最大值小于2，且p>0,所 k∈N,… 3r+2k, 4+29<6 …13分 解得登+女<p<受+kx,k∈N,放的取值范围为（径+k:受十xEN0。…15分 【评分细则】 第(2)问中，若将“∈N”写为“k∈Z”,扣1分. 18.【解析】本题考查函数与导数的实际应用，考查数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养. 解：(1)依题意可得CD=20千米，AE=(60-t)千米，BE=CE=√DE2+CD=√2+400千米， …1分 所以1=60一t十2W/t2+400,其中0<t<60.……3分 (2)设l(t)=60-t+2√t2+400,0<t<60, 2t 2t-√e+400 则'(t)=-1+2· …4分 2√t2+400 √t2+400 令1'()=0，得=203 , 5分 当0<<03时，)<0，L单调递减，当0<60时，7G@>0,10)单调递增 3 6分 所以10)m=1(20g3）=60+20v5. …7分 因为60+20W3≈60+20×1.732=94.64≈95， 所以三段快速路的总长的最小值约为95千米. 8分 (3)设修建三段快速路的总费用为∫(t)万元， 则f(t)=2(60-t)+2aWt2+400,10≤t<60, 9分 则f'(t)=-2+ 2at 2(at-√t+400) √t2+400 √t2+400 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 20 令f'(t)=0,得t= (2<a≤3). 10分 √a2-1 当20 a2-1 >10,即2≤a<5时， 11分 20 20 ，60)上单调递增，… 12分 20 所以f(t)在t= 13分 a2-1 处取得最小值；… 当 20 ≤10，即w/5≤a≤3时，… 14分 a2-1 f'(t)≥0对t∈[10,60)恒成立，则f(t)在[10,60)上单调递增，…15分 所以f(t)在t=10处取得最小值.…16分 20 综上，当2≤a<√5时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取t= （或t= Wa2-1 20a）:当5<0≤3时，为了使得修建三段快速路的总费用最少，应该取110，中 …17分 【评分细则】 【1】第(1)问中，未写“0<t<60”或“t∈(0,60)”，扣1分 【2第(2)问中，未写“60+20√3≈60+20×1.732”，直接得到“60十20W3≈95”，且最后得到 “三段快速路的总长的最小值约为95千米”，不扣分. 【3】第(3)问中，求导的结果正确即可给1分，后面的解析过程和步骤踩点给分. 19.【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， (1)解：因为f'(x)=z2+4z+3)cosx-(2x+4)sinx (x2+4x+3)2 1分 所以f'(0)=} 2分 故曲线y=∫(x)在坐标原点处的切线方程为y一3工. 3分 (2)证明：设h(x)=(x2+4x十3)cosx-(2x+4)sinx,则h'(x)=-(x2+4x十5)sinx. 当x∈(nπ，nπ+)时，若n为偶数，sinc>0,h'(x)<0,h(x)单调递减，若n为奇数， sinx<0,h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)在(n元，n元十受）上单调.…5分 又h(n元)=(-1)[(n)2+4n元+3]，h(n元+）=(-1)+(2n元十元+4： 因为对于任意正整数n,(mm)2+4mx+3>0且2m元十元十4>0，所以h(mx)h(n元十)<0。 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 因为h(x)的图象是连续不断的，所以结合h(x)在(n,nπ十）上的单调性可知，存在唯一 的x,∈(n元，m元+)，使得h(z,)=0. .e..a..e 8分 h(x) 叉f'x)a+4+3,且(x+4z+3》>0对x>0恒成立，所以当x∈(nx,mx+) 时，h(x)与f'(x)同号，零点相同，即f'(x)在x左、右两侧的符号相反，且f'(xn)=0. 故对任意正整数n,f(x)在(n元，π十）上存在唯一的极值点.…10分 (3)证明：由(2)可知f'(xn)=0,即(x十4xn十3)cos xn-(2xm十4)sin=0. 令tm=xn十2.因为xm>0,所以tm>2.将xn=tn一2代人上式，可化简为(t员一1)cos In 2 tn sin an=0,即(t一l)cos n=2 tn sin n 由x,∈(n元，nr+受)，得c0sx,≠0且2，>0， sin xn 所以f(xn)= -sin Encos n x+4xn十3t-12tm 又1am,-2,所以co,-1+tamx t场-1 1 1 4t员 4t员十(t-1)2 …12分 因为4t十(t员-1)2=t十2t十1=(t号十1)2，所以COs= 4t品 (t员+1)2 2tn 面t>2,得≥0，则cosc,号所以Fz)cosa 1 2tt+1 将，=x,+2代入，得1f(x)川=(z,+2)+1+4,十5 1 1 …14分 设定点B(xoyo),则|AnB|2=(xm一xo)2十y=x日-2xoxm十x6十y, 所以f(x)|A,B1=层-2xx,十x号+ x员十4xn十5 若使其为定值C恒成立，只需x员一2xoxm十x十y=C(x十4xn十5).比较得C=1,一2xo =4C,x+y=5C,解得xo=-2,y=1,即yo=1或yo=-1, 所以存在定点B(-2,1)或B(-2,-1),使得|f(xm)·|AnB2为定值1.…17分 【评分细则】 第(1)问中，所求切线方程还可以写为x一3y=0. 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】