3.2 确定圆的条件-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

个动点，.AD=DG=BC=CD=4,ON=OC=2, ∠ADC=∠DCB=90°.过点O作OH⊥AD于点H,则 ∠OHG=90°，∴.四边形OCDH是矩形.∴.OH=CD=4, DH=OC=2.∴.在Rt△OHG中，OG=OH+HG √4+(2+4)=2√13.∴.GN=OG-ON=2√13-2， 即AE+EF的最小值是2√/13一2. A H D --G 0 (第12题) 13.(1)设∠QPO=x.:QP=QO,∴.∠QPO= ∠QOP=x.∴.∠OQP=180°-2x.:OC=OQ, ∴.∠OCP=∠OQC=180°-2x.∠AOC=30°，即 ∠POC=30°，∠QP0=∠OCP+∠POC,∴.x=180° 2x+30°，解得x=70°.∴.∠0CP=180°-2×70°=40°. (2)存在.①如图①，当点P在OA的延长线上时，设 ∠QO℃=y,则∠QOP=y+30°.QP=QO, ∴∠QPO=∠QOP=y+30°，即∠CPO=y+30° ∴.∠OCQ=∠POC+∠CPO=30°+y+30°=y+60° OQ=O℃，∴.∠OQC=∠OCQ=y十60°.∴.在△OCQ 中，根据三角形的内角和定理，得∠QOC+∠OQC+ ∠OCQ=180°，即y+y+60°+y+60°=180°，解得y= 20°.∴.∠OQ=80°..∠0℃P=180°-∠OCQ=100°. ②如图②，当点P在OB的延长线上时，设∠QPO=之. QP=QO,∴.∠QPO=∠QOP=x.∴.∠CQO= ∠QOP+∠QPO=2x..OC=OQ,∴.∠OCP=∠CQO= 2.∠APC+∠OCP=∠AOC,∴.g+2x=30°，解得 之=10°.∴.∠OCP=20°.③当点P在线段OB上时，易知 QP≠Q0.综上所述，∠OCP的度数为100或20° B 0 ① ② (第13题) 3.2确定圆的条件 1.B第②块玻璃碎片出现一段完整的弧，可在这段弧上 任作两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平 分线的交点就是圆心，进而可得到半径，就能配到与原来 大小一样的圆形玻璃. 2.A如图，连接OA.点O为△ABC的外心，∴.OA OB=OC.∴.点B和点C在以点O为圆心，OA为半径的 圆上.∴.点B和点C的位置如图所示..C= √32+37=3√2 C (第2题) 易错警示 不会根据隐含条件动手操作解决问题 解答这类问题时，往往需要合理利用题中隐含的条 件，如本题的三角形的外心.三角形的外心到三角形的 三个顶点的距离相等，只需以，点O为圆心、OA为半径画 出圆孤即可确定经过的格，点，从而解决问题 3.5在同一平面内，点O到点A,B,C的距离均等于 a(a为常数)，.OA=OB=OC.∠C=90°，AB=10, .∴.O为Rt△ABC的斜边AB的中点.∴.OA=OB=OC= 1 AB=5.·常数a的值为5. 4.(一2，一1)如图，分别作线段AB,BC的垂直平分线 MN和EF,两条直线的交点O'即为△ABC的外接圆的圆 心.由图可知，△ABC的外接圆的圆心坐标是（一2，一1）. 0 E 0 M-- (第4题) 5.(1)如图所示.(2)如图，记AB的垂直平分线交⊙O 于点E,交AB于点D,连接OB.:OE⊥AB,∴.BD= AB=2×16=8(em.由题意可知，ED=4m设这个 1 圆形截面的半径为xcm,则OB=xcm,OD=(x一4)cm.在 Rt△OD中，由勾股定理，得OD+BD=OB2,即(x 4)+82=x2,解得x=10.∴.这个圆形截面的半径为10cm 0* LD、 E (第5题) 6.C分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图 ①，此时n=1.②当三点在一条直线上时，如图②，分别过 点A,B,C或点A,C,D或点A,B,D作圆，共3个圆，即 n=3.③当A,B,C,D四点不共圆，且其中的任何三点都 不共线时，如图③，分别过点A,B,C或点B,C,D或点C, D,A或点D,A,B作圆，共4个圆，即n=4.综上所述，n 的值不可能是2. B ② ③ (第6题) 7.D如图，连接OA,OB,OD.O为锐角三角形ABC 的外心，.OA=OC=OB.,四边形OCDE为正方形， ∴.OA=OC<OD.∴.OA=OB=OC=OE≠OD.由OA= OE=OB,得点O是△AEB的外心.∴.选项A正确，不符 合题意.由OB=OE=OC,得点O是△BEC的外心.∴.选 项B正确，不符合题意.由OA=OC=OE,得点O是 △AEC的外心.∴.选项C正确，不符合题意.'OB= OA≠OD,∴.点O不是△ABD的外心.∴选项D错误，符 合题意 D C (第7题) 8.5或4①如图①，当AD在△ABC内部时，：AB= 6,AC=8,高AD=4.8,∴.由勾股定理，得BD=3.6, CD=6.4.∴.BC=10.62+82=102,∴.△ABC是以BC 为斜边的直角三角形.∴.完全覆盖△ABC的圆的最小半 径为10×2=5.②如图②，当AD在△ABC外部，即 △ABC是钝角三角形时，：以AC为直径的圆是能完全 覆盖△ABC的最小圆，∴.能完全覆盖△ABC的圆的半径 r的最小值为8×2=4，综上所述，r的最小值为5或4. ① (第8题) 2 9.5x十2y≠9设直线AB对应的函数表达式为y=kx十 k十b=2, b.点A(1,2),B(3,-3)在直线AB上， 3k+b=-3, 5 Ik=- 2 解得 .直线AB对应的函数表达式为y= b一2 .5 -号x+号“A1,2),B3,-3》,C,)三点可以确定 -个圆点C不在直线AB上y≠-号x十号即 9 x,y需满足的条件是5x十2y≠9. 10.(1)D是△ABC的边BC的中点，∴.BD=CD. :BC∥EF,AD⊥EF,∴.AD⊥BC.∴.AB=AC (2)连接BO.D是△ABC的边BC的中点，.BD= CD.ADLBC,..BO=CO..AO=CO,.AO= BO=CO..点O是△ABC的外接圆的圆心. 11.设点O为等腰三角形ABC外接圆的圆心，连接AO并 延长，交BC于点D,连接OB,OC.:AB=AC,OB=OC, ∴.点A,O都在线段BC的垂直平分线上.∴.AD⊥BC, BD-CD=2BC=5cm.设等腰三角形ABC外接圆的半 径为Rcm,则OA=OB=OC=Rcm.在Rt△ABD中，由 勾股定理，得AD=√AB2-BD=12cm.∴.OD=AD一 OA=(12-R)cm.在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2= OD+BD,即R=12-R+5,解得R=架等腰 三角形ABC外接圆的半径为”m 方法归纳 求三角形外接圆半径的一般方法 直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，其外接圆 的半径为斜边的一半.对于求解等腰三角形的外接圆的 半径问题，往往先确定其外接圆圆心的位置，其外接圆 圆心必在底边的垂直平分线上，再根据外接圆圆心到各 顶，点的距离相等，构造以等腰三角形底边的一半和圆的 半径为边的直角三角形，运用勾股定理解决问题」 12.D:R,R,R2分别为△ABC,△ABD,△ACD的外 接圆半径，∠BAC=S0,AD LBC,R=2BC,R,= 合ABR,=号AC:C=AB+ACR=R+R. 13.(1):AB=AC,∠BAC=50°，.∠ABC= 2(180-∠BAC)=65:AE/BC,.∠BAE=180- ∠ABC=115°.∴.∠DAC=∠BAE-∠BAC-∠DAE= 115°-50°一50°=15°.(2)四边形ADCE为菱形.理由： :点D为△ABC的外心，.AD=BD=CD. ∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE ∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， (BA=CA, ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS).∴.BD= AD-AE, CE.又：AD=AE,.AD=AE=CD=CE.∴.四边形 ADCE为菱形 3.3圆的对称性 第1课时圆的旋转不变性 1.COB=OA,.∴.∠OBA=∠OAB=72°. .∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-72°-72°= 36°.B是劣弧AC的中点，∴.BC=AB.∴.∠BOC= ∠AOB=36°.∴.∠AOC=2∠AOB=72. 2.C如图，作∠AOB的平分线交⊙O于点E,连接AE, BE.则∠A0E=∠0E-3∠A0R.:∠A0B=2∠0OD. ∴.∠AOE=∠BOE=∠COD.∴.AE=BE=CD. AB<AE+BE,∴.AB<2CD. (第2题) 易错警示 仅凭主观臆断导致错误 解答这类问题时，往往会不能运用推理确定两弦长 之间的关系，而是仅凭同圆中等孤、等弦、圆心角之间的 相等关系主观推断其他量之间仍然存在类似的数量关 系，从而导致错误 3.48°连接OA.AB=CD,.AB=CD..CD AD=AB-AD.∴.AC=BD.∴.∠AOC=∠BOD=84, :0C-0A,∠AC0=∠C40=2(180°-∠A0C)= 2×180°-840=48 4.=OE⊥AB,OF⊥CD,AE=BE=2AB, CF-DF-CD.AB=CD.AE-CF.OA= OC,.Rt△AEO≌Rt△CFO(HL)..OE=OF. 5.(1)OA,OB是⊙O的半径，.OA=OB.D,E分 别是0A,0B的中点0D=号0A.0E=号0B. .OD=OE.:AC=BC,∴.∠AOC=∠BOC.在△DOC OD=OE, 和△EOC中，{∠DOC=∠EOC,∴.△DOC≌△EOC OC=OC, (SAS)..CD=CE.(2)连接OM,ON.由(1)知， △DOC≌△EOC,∴.∠OCD=∠OCE,即∠OCM= ∠OCN..'OM=OC,ON=OC,.∴.∠OMC=∠OCM, ∠ONC=∠OCN.∴.∠OMC=∠ONC.在△OMC和 ∠OMC=∠ONC, △ONC中，∠OCM=∠OCN,∴.△OMC≌△ONC(AAS). OM-ON, ∴.CM=CN. 6.D连接OB,OC,则OA=OB=OC=OD,∴.∠OBA= ∠A=75°，∠OCD=∠D=60°.∴.∠AOB=180° ∠OBA-∠A=180°-75°-75°=30°，∠COD=180°- ∠0CD-∠D=180°-60°-60°=60°.∠AOD=150°， ∴.∠B0C=150°-∠AOB-∠COD=150°-30°-60°= 60°∴.BC的度数为60°. 7.D连接OD,OF.:'DE⊥AB,AB是⊙O的直径， .DE=EF.又OD=OF,∴∠AOD=∠AOF ∴.AD=AF.D是AC的中点，∴.AD=DC.∴.AC= DF..AC=DF.⊙O的直径为10，.OF=OA=5. AE=2,∴.OE=OA-AE=5-2=3.在Rt△OEF中， 由勾股定理，得EF=√OF2-OE=√52-3=4. .DE=EF=4...AC=DF=DE+EF=4+4=8. 8.√7-1如图，延长DC交AO于点E,连接OD.:'AM 是⊙0的直径，B是MM的中点，OD=之AM=4, ∠A0B=×180=90:.:CD∥/0B,∠ABC= ∠AOB=90°.：OA=OB,∴.∠BAO=45.:AC=√2， .易得AE=CE=1..EO=OA-AE=4-1=3. OD=4,∠DEO=180°-∠DEA=90°，∴.在Rt△DEO 中，DE=√OD2-OE=√4-3=√7..CD=DE- CE=7-1. (第8题) 9.√2作点B关于MN的对称点E,连接AE交MN于 点P,此时AP+BP的值最小，且等于AE的长.：A是 MN上的一个三等分点（靠近点M),∴.∠AOM=60°.连 接OB,OE.:B是AM的中点，∴.∠BOM= 3∠A0M=0:∠M0E=∠B0M=30.÷∠A0E= ∠AOM+∠MOE=90°.又.⊙O的直径为2，..OA= OE=1.∴.易得AE=2,即AP+BP的最小值为√2.拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 3.2确定圆的条件 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻 璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 () A.① B.② C.③ D.④ 0 ③ ④了 A (第1题) (第2题) (第4题) 2.易错题如图，A,O在网格中小正方形的顶点处，每个小正方形的边长为1，在此网格中找两个格 点（即小正方形的顶点）B,C,使点O为△ABC的外心，则BC的长是 () A.32 B.25 C.4 D.√/17 3.在△ABC中，∠C=90°，AB=10,在同一平面内，点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数)， 则常数a的值为 4.如图，在平面直角坐标系中，A(0,3),B(2,1),C(2,一3)，则经画图操作可知，△ABC的外接圆 的圆心坐标是 5.某根圆柱形输水管道破裂，为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示为水平放置的破 裂输水管道中有水部分的截面. (1)用无刻度的直尺和圆规补全这根输水管道的圆形截面（不写作法，保留作图痕迹）： (2)若这根输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深处的高度为4cm,求这个圆形截 面的半径 AE (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.平面内有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则n的值 不可能为 ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.如图，点O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在 △ABC的外部.下列叙述中，不正确的是 ( D A.点O是△AEB的外心 B.点O是△BEC的外心 C.点O是△AEC的外心 D.点O是△ABD的外心 (第7题) 48 第3章圆 8.在△ABC中，AB=6,AC=8,高AD=4.8,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为r,则r的最小 值为 9.如果A(1,2),B(3,一3)，C(x,y)三点可以确定一个圆，那么xy需要满足的条件是 10.如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD的延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足，EF 与AB的延长线相交于点F,点O在AD上，AO=CO,BCEF.求证： (1)AB=AC. (2)点O是△ABC的外接圆的圆心. (第10题)》 11.*如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,求等腰三角形ABC外接圆的 半径 (第11题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,△ABC,△ABD,△ACD的 A 外接圆半径分别为R,R1,R2,则有 B.R-R:+R: B D A.R=R1十R2 2 (第12题) C.R2=R R2 D.R2=R+R号 13.在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=50°，连接BD和CE,将 △ADE绕，点A旋转（△ADE始终在AB所在直线的右侧）， (1)如图①，在△ADE绕点A旋转的过程中，当AEBC时，求∠DAC的度数. (2)如图②，当点D恰好是△A℃的外心时，连接DC,试判断四边形ADCE的形状，并说明理由. (① (第13题) “答案与解析”见P27 49