1.4 第2课时百分率问题与几何图形相关问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第1章一元二次方程 第2课时 百分率问题与几何图形相关问题 山一阶·基础通关 融通新授知识，夺实双基▲ 1.[2024眉山中考]某村的“智慧春耕”提高了生产效率，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年 的670千克增长到了2023年的780千克.设该村水稻亩产量的年平均增长率为x,则可列方程为 () A.670×(1+2x)=780 B.670×(1+x)2=780 C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=3cm,点P以1cm/s的速度从 点A开始，沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始，沿边BC 向点C移动.当点Q移动到，点C时停止，点P也随之停止移动，连接PQ.如果AP→ (第2题) 点P,Q分别从点A,B同时出发，要使P,Q两点之间的距离为4√2cm,那么 需要经过 () A 6 D. B.2s C.5s 5s或2s 3.如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，那么它的周长为 4.某街道居民积极参加“创文明社区”活动，据了解，该街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A, B两个社区，B社区居民的人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍. (1)问：A社区居民人口至少有多少万人？ (2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”了解情况，发现：A社区有 1.2万人了解，B社区有1万人了解.为了提高了解率，街道工作人员用两个月的时间加强宣传， 使A社区了解人数的月平均增长率为m%,B社区的了解人数第一个月增长了m%,第二个月 增长了2m%,两个月后，街道居民的了解率达到76%，求m的值. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总个数是57，则这种植物每个支干长出的小分支 的个数是 () A.8 B.7 C.6 D.5 6.[2024绵阳中考]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元/个.因销量持续攀升，商家在3月 提价20%后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月售价的基础上，4,5月按照相同的降价率 连续降价.已知5月礼盒的售价为486元/个，则r= 15 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 7.化学课代表在老师的指导下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，课代表回到班上后，第一 节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学， 这样全班49人恰好都会做这个实验了.一名同学每节课手把手教会了 名同学 8.如图，A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P,Q分别从点A,C同时出 发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，设 移动的时间为ts (1)当t为何值时，P,Q两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接QB, ①当△BPQ为等腰三角形时，求t的值. ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB=90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说 明理由 (第8题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=7,AB=25,点D在边BC 上，沿AD将△ADB折叠，得到△ADB',AB'与边BC交于点E.如果△EDB' 为直角三角形，那么BD的长是 B 10.如图，等腰三角形ABC的直角边AB=BC=10cm,点P,Q分别从A,C两点 (第9题)》 同时出发，均以1cm/s的速度做直线运动.已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线 运动，PQ与直线AC相交于点D.设点P的运动时间为ts,△PCQ的面积为Scm. (1)用含t的代数式表示S. (2)当点P运动几秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积？ (3)过点P作PE⊥AC于点E,当点P,Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论. E AP (第10题) 16 “答案与解析”见P?面的长为(8一2x)cm,宽为(5一2x)cm.根据底面积是 18cm即可列出方程为(8一2x)(5一2x)=18. 2.D设原正方形的边长为xm依题意，有(x一3)(x一 2)=20,解得x1=7,x2=一2（不合题意，舍去）.∴.原正方 形的边长为7m. 3.2设道路的宽为xm.种植草坪的部分可合成长为 (32-x)m、宽为(20一x)m的矩形，∴.由题意，得(32一 x)(20一x)=540,解得x1=2,x2=50(不合题意，舍去). ∴.道路的宽为2m. 易错警示 不会运用图形平移性质解决问题而导致错误 解答这类问题时，常常需要对图形中的特殊图形通 过平移、翻折、旋转，使其转化为规则的图形，并挖掘隐 含的等量关系来建立恰当的方程，从而解决问题」 4.由题意，得道路的宽是xm,则停车位可合成长为(50一 2x)m,宽为(32-2x)m的矩形.∴.(50-2x)(32-2x)= 880.整理，得x2一41x十180=0，解得x1=5,x2=36(不符 合题意，舍去).答：道路的宽是5m. 5.D设小圆形场地的半径为xm,则大圆形场地的半径 为(x十5)m根据题意，得π(x+5)2=2xx2,解得x=5十 5√2或x=5-5√2（不合题意，舍去）.∴.小圆形场地的半 径为(5+52)m. 6.D如图，设AA'=xcm,则A'D=(12-x)cm.:'四边 形ABCD是正方形，∴.∠D=90°，AD=CD.∴.∠DAC= 45°.同理，∠B'A'C=45°.，△A'B'C由△ABC沿着AD 方向平移得到，∴.A'B'⊥AD,A'B'DC.∴.∠A'EA=45 .∠B'A'C'=∠A'EA=∠DAC..A'F∥EC,A'E AA'=xcm.,A'E∥CF,.四边形A'ECF为平行四边 形.易得SAp=A'E·A'D..x(12-x)=32,解得 x1=4,x2=8.∴.△ABC移动的距离AA'等于4cm或8cm A A'D F E B'C C (第6题) 7.54由题意，得长减少3，矩形菜地变成正方形菜地 ∴.设矩形菜地的宽为xm,则长为(x十3)m.根据题意，得 x(x十3)=180，解得x1=12,x2=一15（不合题意，舍去）. ∴.x+3=15.∴.这块矩形菜地的长为15m,宽为12m ∴.李叔叔原来的菜地的周长为2×(15+12)=54(m). 8.5设玻璃栈道的宽度为x,则扩建后矩形观景平台 的长为(30十2x)m,宽为(20+x)m.由题意，得(30+ 2x)(20+x)=1000.整理，得x2+35.x-200=0,解得x1= 5,x2=一40（不合题意，舍去）..玻璃栈道的宽度为5m 9.(1)(180一2x).由题意，易得AB=BF=EF=AE= GH=CD=x cm,DG=MN=CH=40 cm,EG=FH, .∴.EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm. ∴.EG=FH=(140-3x)cm.∴.AD=AE+EG+DG= x+140-3x+40=(180-2x)cm.(2)5.当x=45 时，则AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm.矩形置 物架ABCD是用总长为400cm的木板制作的，.EG+ FH=400-(6×45+3×40)=10(cm)..EG=FH= 5cm.(3)由题意可知，AB=AE=xcm.由(1)可知， AD=(180-2xcm,EG=(140-3x)cm.由题意，得 x(180-2x)=4000.整理，得x2-90z+2000=0,解得 x1=40,x2=50.当x=40时，EG=140-3×40= 20(cm)>18cm,符合题意；当x=50时，EG=140-3× 50=一10(cm),不符合题意，舍去.∴.x的值为40. 一微专题·围墙问题 1.20设矩形ABCD的边AB为xm,则AD=70+ 2-2x=(72-2x)m.由题意，得x(72-2x)=640.整 理，得2x2-72x十640=0，解得x1=16,x2=20.当x= 16时，AB=16m,AD=40m>35m,不符合题意；当x= 20时，AB=20m,AD=32m<35m,符合题意.∴.当羊 圈边AB为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈. 2.10或8设与墙垂直的边AB的长为xm,则与墙平 行的边BC的长是(50+2×2一3a)m.由题意，得 x(50十2×2一3x)=240.整理，得x2一18x+80=0,解 得x1=10,x2=8.当x=10时，50+2×2-3x=54 3×10=24,符合题意；当x=8时，50十2×2-3x=54 3×8=30,符合题意.∴.矩形菜地与墙垂直的边AB的 长为10m或8m. 第2课时百分率问题与几何图形相关问题 1.B利用2021年的亩产量×(1十年平均增长率)2= 2023年的亩产量，即可得出关于x的一元二次方程为 670×(1+x)2=780. 2.A设点P,Q分别从点A,B同时出发，xs后点P,Q 之间的距离为4√2cm,∴.AP=xcm,BQ=2xcm ∴.BP=AB-AP=(6-x)cm.在Rt△PBQ中，BP2+ 0=P0,即(6-x)P+(2)P=(4,解得，=号， x2=2(不合题意，舍去).∴.要使P,Q两点之间的距离为 2 4√2cm,则需要经过5s. 3.24设中间的偶数是x,则另外两个偶数是x一2，x十 2.根据勾股定理，得(x一2)2十x2=(x十2)2，解得x1=8, x2=0(不合题意，舍去.∴这个直角三角形的三边长是 6,8,10..该直角三角形的周长为6十8十10=24. 4.(1)设A社区居民人口有x万人，则B社区居民人口有 (7.5一x)万人.依题意，得7.5一x2x,解得x≥2.5，即A 社区居民人口至少有2.5万人.(2)依题意，得1.2(1十 m%)2+1×(1+m%)×(1+2m%)=7.5×76%.设 m%=a,方程可化为1.2(1+a)2+(1十a)(1+2a)=5.7. 化筒，得2+5a-5=0,解得a=0.5或a=-瓷（不 合题意，舍去).∴.m=50. 5.B设这种植物每个支干长出的小分支的个数是x.由 题意，得1+x十x2=57.整理，得x2十x-56=0,解得 x1=7,x2=一8（不合题意，舍去）.∴.这种植物每个支干长 出的小分支的个数是7 6.10%根据题意，得500(1+20%)(1一r)2=486,解得 r1=0.1,r2=1.9(不合题意，舍去)..r=10%. 7.6设一名同学每节课手把手教会了x名同学.根据题 意，得(1+x)2=49,解得x1=6,x2=一8（不合题意，舍 去).∴·一名同学每节课手把手教会了6名同学. 8.(1)根据题意，可得AP=3tcm,CQ=2tcm:'AB= 16cm,AD=6cm,∴.PB=AB-AP=(16-3t)cm.当 PQ LAB时，PQ最短，易得此时四边形BCQP是矩形. CQ=PB.2=16-3,解得1=9.当9时， P,Q两，点间的距离最小，最小距离是6cm.(2)①由题 意，得0<9如图过点Q作@GLAB-于点G,易得四 边形BCQG,四边形AGQD为矩形.∴.BG=CQ=2tcm, QG=BC=6cm.∴.当点P在点G左侧时，PG=AB BG-AP=16-2t-3t=(16-5t)cm;当点P与点G重合 时由a.得/=9时PQ=6cmBP=2x号-号(am, PQ≠BP,△PBQ不是等腰三角形；当点P在点G右侧 时，PG=BG-(AB一AP)=(5t一16)cm.∴.点P不与，点 G重合时，PG=|16-5t|cm.在Rt△PQG和Rt△BQG 中，根据勾股定理，可得PQ=PG2+QG=[(16-5t)2+ 62]cm2,BQ2=BG2+QG2=[(2t)2 +62]cm2.PQ=PB 时，可得(16一5t)+62=(16一3t)2.整厘，得4t2一16t十 9=0,解得1二生，7当BQ=PB时，可得)少+62 (16一3t)2.整理，得5t2-96t+220=0,解得t= 48-2√301或t=48+230(不合题意，舍去)：当 5 QP=QB时，G为PB的中点，∴.16-5t=2t,解得t= 9综上所述，当△BPQ为等腰三角形时，：的值为 或8一。画或9②不存在一个时刻，传得 5 ∠PQB=90°.理由：当∠PQB=90°时，可得PQ+BQ= PB2,即(16-5t)2+62+(2t)2+62=(16一3t)2.整理，得 5t2-16t+18=0.△=(-16)2-4×5×18=-104<0， ∴.此方程无实数解.∴.不存在一个时刻，使得∠PQB=90°. D 0 P GB (第8题) 917或5 在Rt△ABC中，BC=VAB-AC=24.分 两种情况讨论：①当∠EDB'=90°时，如图①，过点B'作 B'F⊥AC,交AC的延长线于点F.由折叠的性质，得 AB=AB'=25,BD=B'D.易得四边形B'DCF为矩形. .CD=B'F,CF=B'D.设BD=x,则B'D=CF=x, B'F=CD=24-x,AF=7+x.在Rt△AFB'中，由勾股定 理，得(7+x)2+(24-x)2=252,即x2一17x=0,解得 x,=0(不合题意，舍去)，x2=17.∴.BD=17.②当 ∠DEB'=90时，如图②，此时点E与点C重合.由折叠的 性质，得AB=AB=25,∴.B'C=25-7=18.设BD=y, 则B'D=y,CD=24-y.在Rt△B'CD中，由勾股定理，得 (21-y+18=y,解得y华D-华缘上所述， BD的长是17或写 A (E)- C ---2-B D --B B B ① ② (第9题) 10.(1)当0<t<10时，点P在线段AB上，此时CQ= 1em,PB=10-)mS=2×(10-4)=2102 t).当t=10时，易得无法构成△PCQ.当t>10时，点P 在AB的延长线上，此时CQ=tcm,PB=(t一10)cm. S=7×11-10)=号(-102).综上所述，S f20-01K10 (2)△ABC的面积= 2(t2-10t)(u>10). 1 2AB·BC=50cm,当<10时，号(10t-)=50.整 理，得2-10+100=0，此方程无解.当>10时，号(：- 10t)=50.整理，得t2一10t-100=0,解得t1=5+5√5， t2=5-55(不合题意，舍去).∴.当点P运动(5+5√5)s 时，△PCQ的面积等于△ABC的面积.(3)当点P,Q运 动时，线段DE的长度不会改变.如图，当点P在线段AB 上时，过点Q作QM⊥AC,交直线AC于点M,连接QE, PM,易证△APE≌△QCM..∴.易得AE=PE=CM= QM-12 tcm,四边形PEQM是平行四边形，且DE 2EM又：EM=BC+CM=C+AE=AC=10Ecm, ∴.DE=5√2cm..当点P,Q运动时，线段DE的长度不 会改变.同理，当点P在线段AB的延长线上时，DE 5√2cm.综上所述，当点P,Q运动时，线段DE的长度不 会改变. 10 P B (第10题)》 第3课时市场营销问题 1.A设这种台灯每盏的售价应定为x(40x60)元.依 题意，得[600-10(x一40)](x-30)=10000.整理，得 x2-130x+4000=0,解得x1=50,x2=80(不合题意，舍 去).：'50一40=10（元），∴.每盏台灯应涨价10元. 2.40当参加旅游的人数为30时，总费用为30×80 2400(元).，2800>2400，.该公司参加旅游的人数大 于30.设该公司参加旅游的人数为x.依题意，得[80 (x一30)]·x=2800.整理，得x2一110x十2800=0，解得 x1=40,x2=70.当x=70时，80-(x-30)=40<50, ∴.x=70不符合题意，舍去.当x=40时，80一(x一30) 70>50,.x=40符合题意.，∴.参加旅游的人数为40. 3.(1)设计划购买A种树苗x棵，B种树苗y棵.依题意， 得/+y=10, 解得/-60， ∴.计划购买A种树 40x+35y=3800, y=40. 苗60棵，B种树苗40棵.(2)依题意，得(40一a)(60+ 2a)+(35-a)(40+3a)=3800+300.整理，得a2-17a+ 60=0,解得a1=5,a2=12(不合题意，舍去).∴.60十2a十 40+3a=60+2×5+40+3×5=125.∴.该小区实际购买 A,B两种树苗共125棵. 4.B设每个的售价为x元，则每个的销售利润为(x 40)元，销售量为180一10(x一52)=(700一10x)个.根据题 意，得(x一40)(700-10z)=2000.整理，得x2-一110x+ 3000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时，700-10x 700-10×50=200>180,不合题意，舍去.当x=60时， 700-10x=700-10×60=100<180,符合题意..每个的 售价应为60元. 5.B设该天生产的产品属于第x档次，则该天的产量为 [95一5(x一1)门件，每件利润为[6+2(x一1)]元.根据题 意，得[6+2(x-1)]·[95-5(x-1)]=1120.整理，得 x2-18x十72=0，解得x1=6,x2=12(不合题意，舍去). ∴.该天生产的产品属于第6档次 6.100设该头盔的售价为x元/个.由题意，得(x一 80)(30-0.2x)=200.整理，得x2一230x+13000=0,解 得x1=100,x2=130.:80×(1+30%)=104(元)，.当 x=100时，100<104，符合题意；当x=130时，130104， 不符合题意，舍去.∴x=100,即该头盔的售价应为 100元/个. 7.15设储藏x个星期再出售这批农产品可获利122000元， 由题意，得(1200+200.x)(80一2x)-1600x一64000= 122000.化简，得x2一30x+225=0,解得x1=x2=15. ∴.储藏15个星期再出售这批农产品可获利122000元. 8.任务1：设该车间4月到6月生产数量的平均增长率为 x.由题意，得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%, x2=一2.2（不合题意，舍去）.∴.该车间4月到6月生产数 量的平均增长率为20%.任务2：设该零件应在原价的基础 上上涨m元，则月销售量为(600一10m)个.由题意，得 (40+m-30)(600-10m)=10000.整理，得m2一50m十 400=0,解得m,=10,m2=40.·要尽可能让车企得到优 惠，∴.该零件应在原价的基础上上涨10元. 9.根据题意，得200×(10一6)+(10一x一6)(200+ 50x)+(4一6)·[600一200一(200+50x)]=1250.整理， 得x2一2x+1=0,解得x,=x2=1.”售价不得低于进 价，.10一x≥6，即x≤4..x=1符合题意..第二周每 个旅游纪念品的售价为10一1=9（元）. 专题特训三一元二次方程的综合应用 1.(1)不是.原方程分解因式，可得(x十1)(2x一1)=0， 1 解得=一1，=之小不符合其中一个根为另一个根 的2倍，即该方程不是“倍根方程”.(2)2.设该方程 x2-3x十c=0的两个根为x1,2x1∴.x1十2x1=3x1=3, x1·2x1=2x=c.∴.x1=1,c=2.(3)由方程(x 2)(m-n)=0(m≠0)，可得x=2或x=”.由新定义可 知，三4或21.4m=5m十n2三4n-0(m白 当”-4即n=4m时，原式的值为0：当”=1，即 m=n时，原式的值为0.综上所述，4m2一5n+n2的值 为0. 2.(1)设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小 时铺设路面(2x十30)米.由题意，得32x+32(2x+30)= 4800,解得x=40.∴.2x十30=110.∴.A型设备每小时铺