专题特训4 反比例函数系数“k”的几何意义-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

:S△on十S△m0=S梯形BPED+S△DFO,S△r0=S△DFO= 号k,=3San=Snm=(DE+BF)·EF- 合×8+1DX4=8 12①)将D3,D代入y冬，得1=令解得=3这 个反比例函数的表达式为y一 ,(2)① 思路导引 △ABC与△EFG 成中心对称 △ABC≌△EFG 中点D的坐标(3,1) EG=AC=1,FG=BC=2 反比例函数的表达式BC-2 点E的横坐标 点E的坐标 C0的长 求得OF的长 D(3,1)是边BC的中点，∠ACB=90°，∴.易得点B的 坐标为(3,2..BC=2,OC=3.△ABC与△EFG成 中心对称，∴.△EFG≌△ABC.∴.EG=AC=1,FG= BC=2,∠EGF=∠ACB=90°.∴.点E的横坐标为1.在 y=2中，当x=1时3=号-3.5点E的坐标为1.3. ∴.0G=3.∴.OF=OG-FG=3-2=1. ②OC=3,AC=1,∴.AO=0C-AC=3-1=2. .FG=AO=2,∠EGF=∠FOA=90°，GE=OF=1, ∴.△EFG≌△FAO(SAS)..FE=AF,∠GEF= ∠OFA.∠EGF=90°，∴.∠GFE+∠GEF=90°. ∴.∠GFE+∠OFA=90°.∴.∠EFA=90°.同理，得 ∠FAB=90°.∴.∠FAB+∠EFA=180°.∴.EF∥AB. △EFG≌△ABC,∴.EF=AB.∴.四边形ABEF是平 行四边形.又：∠EFA=90°，∴.四边形ABEF是矩形.又 FE=AF,∴.四边形ABEF是正方形 专题特训四反比例函数系数 “k”的几何意义 1.A设涂色部分的面积为S3,则S3十S1=4,S3+S2= 4,S3+S1+Sg+S2=8.S1+S2=6,.2S3=2,解 得S3=1. 易错警示 不能理解反比例函数系数“k”的几何意义导致错误 解答这类问题的关键是明确过点作坐标轴垂线所 围成矩形的面积都是|k|,由此建立以涂色部分的面积 为未知数的方程，即可解决问题 2C:A,B是函数y=的图象上关于原点0对称的 任意两点，且AC∥y轴，BD∥y轴，.设点A的坐标为 (x,y),则点B的坐标为（一x,一y)..OC=OD=x, 1 AC-BD-y.SAMo=2y=SAc =2:SAnE- 2=Sam=号&S=Sam+Sax十Sar十 1 S△0m=2X4=2. 3号“点P在第一象限内，且在L上，“设点P的 坐标是(a,)a为正数).：PALx轴，点A的横坐 标是a.:点A在L上，点A的坐标是(a,-) :PBLy轴，点B的纵坐标是：点B在L上 “}-兰解得x-一2a∴点B的坐标足(-2a,)】 x PA-日-(--子，PB=la-(-2a1=a :易得PALPB,.△PAB的面积=号PA·PB-× 4.1连接OC,OB,设直线BC与x轴交于点D. BCy轴，点A在y轴上.∴.BC∥OA..SAc= Sc:点B.C分别在反比例函数y=二和y一的图 象上Sm=号=2，Sm-号=15m S△c=S△on-S△on=1. 5.过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥OA于点F,则易得 CF=AE.AB=8,AC=BC,CE⊥AB,∴.BE=AE= CF=2AB=4.”AC=BC=5.由勾股定理，得AF= AC2-CF2=3.(1).OA=AB=8,..OF=OA- AF=5.点C的坐标为(，4.：点C在函数y- (x>0)的图象上，.k=5X4=20.(2)BD=BC=5, AB=8,∴.AD=3.设点A的坐标为(m,0),则C,D两点 的坐标分别为(m-3,.m,3.:点C,D在国数y一号 (x>0)的图象上，..4(m一3)=3m,解得m=12. 1 .A(12,0),则OA=12.又：CF=4,∴.S△0c=2 12×4=24. 6.C如图，连接OB,过点C作CDLy轴于点D,过点B 作BE⊥y轴于点E,则∠BEP=∠CDP=90°.：BC的中 点P恰好落在y轴上，∴.PB=PC,∠BPE=∠CPD.在 ∠BEP=∠CDP=90°， △BEP和△CDP中，∠BPE=∠CPD,∴.△BEP≌ PB=PC, △CDP(AAS).∴.S△sP=S△cp..SAOP=S△D+ SAcp=S△ocn+S△m..SAox=S△oBP+S△cP= S△or十S△acn十S△p=S△cn+S△osR.根据反比例函数 比例系数的几何意义，得Saw一号e1,Sam含× 8=4.Same=号k1+4又：S.=125a 25.0m=6号lk1+4=6k=4.“友=士4 :曲线y=(x<0)在第二象限k<0.k=一4. 0 E DO C (第6题) (第7题) 7.一7如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D,过点A作 AE⊥x轴，垂足为E.:点B的坐标为（一1,3），☐ABCO 的面积为4，∴.OC·BD=4,即3OC=4.∴.OC=AB= 专点A的坐标为(-1专3，即（子认：函数 y=(<0)的图象经过口ABC0的顶点A,“k=3X (-3)=-. 8.5AC∥BD∥y轴，点A,B的横坐标分别为2,4， .点C,D的横坐标分别为2,4.又：点A,B在函数y= 士>0)的图象上，点C.D在函数y=之(k>0>0)的 图象上，A(2,2),B(4,),C(2,),D(4,) “AC-6分，BD-月自E国可知，Sac=号ACX 2=号，Sm=BDX2=行.由题意，得Se 5m=1,即号6-1，解得6=5 99 连接DC.:AE=3EC,△ADE的面积为3， .△CDE的面积为1..△ADC的面积为4.设点A的 坐标为(a,b).AB⊥y轴于点B,∴.AB=a,OB=b. ∴.OC=2AB=2a..D为OB的中点，∴.BD=OD= 1 1 z6.:S#0Mc=SaAm+SaAx十Saa,2(a十 2a)x6=a×6+4计2×2aX26.h=9把 1 1 Aa6术人y=皇得=a6=号 方法归纳 运用系数“k”的几何意义解决与图形面积有关的问题 解决这类与图形面积有关的问题时，需要将问题中 的图形面积进行转化，与反比例函数图象上的一个特殊 点结合起来，常用待定系数法设出这个，点的坐标，进而 用含有待定系数的代数式表示面积，建立等量关系式， 并化简求得待定系数的值，既而确定系数“”的值 10.过点A作AD⊥x轴于点D,取CD的中点E,连接 BE.:A,B是函数y=(x>0)的图象上的两点，A,B 两点的横坐标分别为1,2，在y=(x>0)中，令x=1, x 则y=6:令x=2,则y=令点A的坐标为1，k),点B 的坐标为(2，今)0D=1.AD=.:点C在x轴上， 即点C的纵坐标为0，∴.易得B为AC的中点.：'E为 CD的中点，∴.BE为△ADC的中位线，CE=DE.∴.BE∥ AD.AD⊥x轴，∴.BE⊥x轴.∴.OE=2.∴.CE= DE=OE-OD=1.∴.OC=3.:△AOC的面积为6， ·合×3谈=6，解得=4 11.(1)AD∥x轴，∴.AD⊥y轴，即AD⊥AE.点A 的坐标为(0,2)，点C的纵坐标为一4，∴.在□ABCD中， 对边AD与BC之间的距离AE=2一（一4）=6. :SAn=AD·AE=24,.AD=4.∴.易知点D的坐 标为4,2.又：反比例函数y=的图象经过点D, =4X2=8反比例函数的表达式为y=》 (2)点B在该反比例函数的图象上，且当y=一4时， 一4=8，解得x=一2，点B的坐标为（一2，一4）.设 AB所在直线对应的函数表达式为y=mz十n(m≠0).把 A0,2),B(-2,-4)代人，得=2， 解得 -2m十n=-4, m=3, ∴.AB所在直线对应的函数表达式为y=3x十2. n=2.拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 专题特训四 反比例函数系数“k”的几何意义 类型一已知反比例函数的表达式求面积 1.易错题如图，A,B两点在函数y=4(x>0)的图象上，分别过A,B两点向坐标轴作垂线段.若 S1十S2=6,则涂色部分的面积为 () A.1 B.2 C.4 D.6 52 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，A,B是反比例函数y=二的图象上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，交x轴于点 C,BD∥y轴，交x轴于点D.设四边形ADBC的面积为S,则下列结论中正确的是 () A.S=1 B.1<S<2 C.S=2 D.S>2 3,如图，两个反比例函数y=上和y=一二的图象分别是L1和L,已知点P在第一象限内，且在 L1上，PC⊥x轴，垂足为C,交L2于点A,PD⊥y轴，垂足为D,交L2于点B,则△PAB的面 积为· 4如图所示为反比例函数y子和y一在第一象限内的图象，直线BC少轴，分别交两条曲线于 B,C两点，点A在y轴的正半轴上，连接AC,AB,则S△ABc=· 5.如图，在△ABC中，AC=BC=5,AB=8,AB⊥x轴，垂足为A,函数y=(x>0)的图象经过 点C,交AB于点D. (1)若OA=AB,求k的值. (2)若BC=BD,连接OC,求△OAC的面积 (第5题) 32 第2章反比例函数 类型二已知面积求反比例函数的表达式 6.如图，☐ABC0的顶点B在曲线y=8(x>0)上，顶点C在曲线y=(x<O)上，BC的中点P 恰好落在y轴上.已知Sao4Bc=12,则k的值为 () A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 0 (第6题) (第7题) (第8题) (第9题) 7,如图，函数y=(x<0)的图象经过口ABC0的顶点A,OC在x轴上.若点B的坐标为(-1， 7 3),□ABCO的面积为4，则实数k的值为· 8.如图，点A,B在函数y=1(x>0)的图象上，点C,D在函数y=(k>0,x>0)的图象上，AC∥ BD∥y轴.已知点A,B的横坐标分别为2,4，△OAC的面积比△ABD的面积大1，则k的值为 9.*如图，点A在函数y=(x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B,点C在x轴的正半轴上，且OC= 2AB,点E在线段AC上，且AE=3EC,D为OB的中点.若△ADE的面积为3，则k的值 为 10.如图，A,B是函数y=(x>0)的图象上的两点，A,B两点的横坐标分别为1,2，线段AB的 延长线交x轴于点C,连接OA.若△AOC的面积为6，求k的值. C x (第10题) 11.如图，在□ABCD中，点A的坐标为(0,2)，AD∥x轴，BC交y轴于点E,顶点C的纵坐标为 一4，□ABCD的面积是24，反比例函数y=飞(k≠0)的图象经过点B,D,求： (1)反比例函数的表达式. (2)AB所在直线对应的函数表达式. B (第11题) “答案与解析”见P17 33